安徽省合肥市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

第1頁(yè)/共1頁(yè)合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥九中命題教師：馮文華審題教師：王偉第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線l過、兩點(diǎn),則直線l的傾斜角的大小為（）A.不存在 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn),求出的直線方程,進(jìn)而可求傾斜角大小.【詳解】解:由題知直線l過、兩點(diǎn),所以直線的方程為,故傾斜角為.故選:C2.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的方向向量和平面分法向量的關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，所以A不正確，C正確；對(duì)于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；故選：C.3.已知兩平行直線，的距離為，則m的值為（）A.0或-10 B.0或-20 C.15或-25 D.0【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)直線方程得：，利用兩條平行線間的距離公式計(jì)算可得.【詳解】化簡(jiǎn)得：，兩平行直線，的距離為：，，或，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考兩條平行線間的距離公式，關(guān)鍵是化簡(jiǎn)直線方程，使兩個(gè)直線方程x，y的對(duì)應(yīng)系數(shù)相同，屬于簡(jiǎn)單題.4.已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】【分析】由A，B，C三點(diǎn)共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D5.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是正方形的中心，則的值為（）A.不確定 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,2,，，,1,，．故選：D．6.在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出圖象，利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，所以，故選：A.7.臺(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)速度向西北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為（）A.1小時(shí) B.小時(shí) C.小時(shí) D.2小時(shí)【答案】B【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合求直線與圓相交的弦長(zhǎng)，進(jìn)而可得城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng).【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當(dāng)臺(tái)風(fēng)進(jìn)入圓內(nèi)，則城市處于危險(xiǎn)區(qū)，又臺(tái)風(fēng)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，圓心到直線的距離，則，所以時(shí)間，故選：B.8.已知圓：的圓心為點(diǎn)，直線：與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，若，則的值為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】設(shè)弦的中點(diǎn)為，得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】設(shè)弦的中點(diǎn)為，由題可知圓的半徑為，因?yàn)?，，所以，所以，，可得，解?故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，若，的夾角是鈍角，則的可能取值為（）A. B. C.0 D.1【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意分析得，再去除共線的情況即可.【詳解】由題意得，再去掉其共線反方向的情況，則，解得，當(dāng)，共線時(shí)，解得，故且，對(duì)照選項(xiàng)知AC正確，BD錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知直線：，則（）A.直線的一個(gè)方向向量為B.直線過定點(diǎn)C.若直線不經(jīng)過第二象限，則D.若，則圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量、直線過定點(diǎn)、直線截距、直線與圓的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：由方程可得可得一個(gè)方向向量：，可判斷A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，所以，則直線過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若，則直線，此時(shí)直線不過第二象限，又直線過定點(diǎn)，要使得直線不過第二象限，則，解得，所以若直線不經(jīng)過第二象限，則，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，直線方程為：，圓心到直線的距離為：，而圓的半徑為，因?yàn)?，所以圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，正確；故選：BD11.已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)是直線：上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，又設(shè)直線分別交，軸于，兩點(diǎn)，則（）A.的最小值為B.直線必過定點(diǎn)C.滿足的點(diǎn)有兩個(gè)D.過點(diǎn)作圓的切線，切線方程為或【答案】BCD【解析】【分析】A：將問題轉(zhuǎn)化為求PQ的最小值，由此可解；B：根據(jù)是以為直徑的圓與圓相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否過定點(diǎn)；C：分析以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系，由此可判斷結(jié)果；D：設(shè)出切線方程，根據(jù)相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑求解出結(jié)果.【詳解】A：因?yàn)?，?dāng)PQ最小時(shí)，取最小值，PQ取最小值時(shí)即為到直線的距離，所以PQ最小值為，所以的最小值為，故A錯(cuò)誤；B：設(shè)，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，又圓，兩圓方程相減可得，即為令，解得，所以公共弦所在直線過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：對(duì)于，令，則，所以，令，則，所以，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故以為直徑的圓的方程為，又因?yàn)?，且，所以圓與圓相交，所以滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，故C正確；對(duì)于D：如圖所示，不妨設(shè)切線方程為，即，因?yàn)榕c圓相切，所以，所以，解得，所以切線方程為或，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在平面內(nèi)，為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，若，則________．【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，根據(jù)共面得到，得到答案.【詳解】由，得，即．因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，得．故答案為：.13.直線過點(diǎn)，且與以、為端點(diǎn)的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】作出圖形，求出、，觀察直線與線段的交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，直線的傾斜角的變化，可得出直線的取值范圍.【詳解】如下圖所示：設(shè)過點(diǎn)且與軸垂直的直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）的過程中，直線的傾斜角為銳角，此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)（不包括點(diǎn)）移動(dòng)到點(diǎn)的過程中，直線的傾斜角為鈍角，此時(shí)，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.14.如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架、的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直.長(zhǎng)度為1的金屬桿端點(diǎn)在對(duì)角線上移動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，且始終保持，則端點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______.【答案】【解析】【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合長(zhǎng)度可得，分析可知端點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，即可得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，可得，因?yàn)?，即，可得，則，則，整理可得，可知端點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，所以端點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.已知直線：與直線：的交點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；（2）求點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值，并求距離最大時(shí)的直線的方程.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）先求直線的交點(diǎn)，然后通過條件得到直線的方程，進(jìn)而確定的中點(diǎn)坐標(biāo)，最后確定的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)條件得到點(diǎn)到的距離不超過，然后在取到該值的條件下得到的斜率，進(jìn)而確定直線的方程.【小問1詳解】聯(lián)立方程,解得所以兩直線，的交點(diǎn)為.設(shè)，則的中點(diǎn)為.聯(lián)立方程，解得所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值為.由題意，與垂直，則，故的斜率為.所以直線的方程為，即所以當(dāng)距離最大時(shí)，直線的方程為.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)空間向量求解直線與法向量的夾角的余弦值即可；【小問1詳解】∵、分別為，的中點(diǎn)，∴，∵為正方形，∴，則，∵平面，平面，∴平面.【小問2詳解】由題知平面，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A0,0,0，，，，∴，，∴，，，設(shè)平面ADNM的一個(gè)法向量為，則令，則，，∴.設(shè)直線與平面所成的角為，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是2.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)，且被曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用條件求出點(diǎn)的軌跡方程，所求方程表示一個(gè)圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是，，即，則，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；【小問2詳解】由（1）可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為，圓心到直線的距離，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得，解得或，此時(shí)直線方程為或.綜上，直線的方程是或.18.如圖1所示中，．分別為中點(diǎn)．將沿向平面上方翻折至圖2所示的位置，使得．連接得到四棱錐，記的中點(diǎn)為N，連接，動(dòng)點(diǎn)Q在線段上．（1）證明：平面；（2）若，連接，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求動(dòng)點(diǎn)Q到線段的距離的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角；（3）根據(jù)向量共線求出，利用空間向量表示出點(diǎn)到直線距離，利用二次函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)檎郫B前為中點(diǎn)，，所以，折疊后，，所以，所以，在折疊前分別為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)檎郫B前，所以，所以在折疊后，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，為中點(diǎn)，所以，，設(shè)平面的法向量為，又，，所以，，令，則，，所以，所以，所以，所以平面.【小問2詳解】設(shè)，由（1）知，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)Q在線段上，且，所以，所以，所以，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【小問3詳解】設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)Q在線段上，所以，，即，即，所以，，，設(shè)點(diǎn)Q到線段的距離為，，，，，，令，，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q到線段距離的取值范圍為.19.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知向量，點(diǎn).若直線l以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.（1）證明：向量是平面的法向量；（2）若平面，平面，直線l為平面和平面的交線，求直線l的單位方向向量（寫出一個(gè)即可）；（3）若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，，，平面，平面，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由空間向量的垂直即可證明；（2）設(shè)直線l的方向向量，由與兩平面的