2025年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班-創(chuàng)新試點(diǎn)班初試備考數(shù)學(xué)測(cè)試卷

2025中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班/創(chuàng)新試點(diǎn)班初試備考測(cè)試卷數(shù)學(xué)本卷考查內(nèi)容：高中課程內(nèi)容及拓展。本卷考查形式：書面作答（客觀題18小題＋解答題4題）。卷首語(yǔ)：中科大少年班、創(chuàng)新班每年大規(guī)模招錄在數(shù)理成績(jī)優(yōu)異的中學(xué)學(xué)生。其中初試數(shù)學(xué)試題在高考基礎(chǔ)上略有拓展，難度又略低于聯(lián)賽一試，考法靈活，需要考生極其深刻的洞察力和問題分析能力。本卷仿往年真題卷而命制，但不拘泥于形式，希望在考生的備考過程中起良好作用。填空題（共18小題）1．設(shè)，則_________．2．不等式的解集為_________．3．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)、、，則的最小值為__________．4．已知圓錐的表面積為，則其體積的最大值為_________．5．設(shè)是隨機(jī)事件，則的最大值為_________．6．設(shè)是隨機(jī)事件且，則的取值范圍為_________．7．已知點(diǎn)，直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍為__________．8．已知實(shí)數(shù)，，，，，，試比較的大小關(guān)系：_________．9．把一根繩子隨機(jī)分成三段，則這三段能構(gòu)成三角形的概率是_________．10．一個(gè)正方體的展開圖共有_________種（旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)后全等的圖形視作一種）．11．若方程無(wú)實(shí)根，則的取值范圍為_________．12．設(shè)和是4050個(gè)不等實(shí)數(shù)，則函數(shù)和的圖象至多有_________個(gè)公共點(diǎn)．13．半徑為1的小球在棱長(zhǎng)為的四面體容器內(nèi)自由滾動(dòng)，則小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積為_________．14．點(diǎn)在拋物線上，R為△ABC的外接圓半徑，則R的取值范圍為_________．15．已知函數(shù)單調(diào)，且對(duì)任意，，則的值為_________．16．設(shè)集合滿足，則滿足條件的有序集合對(duì)共有_________對(duì)．17．設(shè)為空間內(nèi)一平面，一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體在上的投影面積為S，則S的最大值為_________．18．一次變換可以調(diào)換字母串中相鄰兩個(gè)字母的順序，譬如一次變換：AB→BA，ABC→ACB，則要將ABCDEFG變成GFEDCBA至少需要_________次變換．解答題（共4題）19．已知，證明：．20．設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增，證明：存在，使得．21．設(shè)和分別是兩個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬，且，證明：第一個(gè)矩形能放入第二個(gè)矩形當(dāng)且僅當(dāng)．22．點(diǎn)D,E,F分別在△ABC的邊BC,CA,AB上，記△AFE,△BDF,△CED,△DEF的面積分別為，證明：．2025中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班/創(chuàng)新試點(diǎn)班初試備考測(cè)試卷數(shù)學(xué)參考答案填空題（共18小題）1．設(shè)，則_________．【答案】02．不等式的解集為_________．【答案】3．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)、、，則的最小值為__________．【答案】4．已知圓錐的表面積為，則其體積的最大值為_________．【答案】5．設(shè)是隨機(jī)事件，則的最大值為_________．【答案】6．設(shè)是隨機(jī)事件且，則的取值范圍為_________．【答案】7．已知點(diǎn)，直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍為__________．【答案】8．已知實(shí)數(shù)，，，，，，試比較的大小關(guān)系：_________．【答案】9．把一根繩子隨機(jī)分成三段，則這三段能構(gòu)成三角形的概率是_________．【答案】10．一個(gè)正方體的展開圖共有_________種（旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)后全等的圖形視作一種）．【答案】1111．若方程無(wú)實(shí)根，則的取值范圍為_________．【答案】12．設(shè)和是4050個(gè)不等實(shí)數(shù)，則函數(shù)和的圖象至多有_________個(gè)公共點(diǎn)．【答案】202513．半徑為1的小球在棱長(zhǎng)為的四面體容器內(nèi)自由滾動(dòng)，則小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積為_________．【答案】14．點(diǎn)在拋物線上，R為△ABC的外接圓半徑，則R的取值范圍為_________．【答案】15．已知函數(shù)單調(diào)，且對(duì)任意，，則的值為_________．【答案】16．設(shè)集合滿足，則滿足條件的有序集合對(duì)共有_________對(duì)．【答案】17．設(shè)為空間內(nèi)一平面，一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體在上的投影面積為S，則S的最大值為_________．【答案】18．一次變換可以調(diào)換字母串中相鄰兩個(gè)字母的順序，譬如一次變換：AB→BA，ABC→ACB，則要將ABCDEFG變成GFEDCBA至少需要_________次變換．【答案】21解答題（共4題）19．已知，證明：．【解答】令，由已知得，，即，兩邊取共軛得，兩邊同乘得，即，故．結(jié)論得證．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角及指數(shù)形式（歐拉公式）及運(yùn)算20．設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增，證明：存在，使得．【解答】反證：假設(shè)對(duì)任意，都有------①，定義數(shù)列，由①知，所以------②，由遞推關(guān)系可知，，又f單調(diào)遞增，則------③，由②③可知，對(duì)一切整數(shù)，都有------④，由可知，當(dāng)時(shí)，有，這與④矛盾，故假設(shè)不成立，結(jié)論得證．【考點(diǎn)】反證法證明命題；數(shù)列遞推公式；函數(shù)及其性質(zhì)21．設(shè)和分別是兩個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬，且，證明：第一個(gè)矩形能放入第二個(gè)矩形當(dāng)且僅當(dāng)．【解答】設(shè)第一個(gè)矩形已放入第二個(gè)矩形內(nèi)，且第一個(gè)矩形長(zhǎng)為b的邊與第二個(gè)矩形長(zhǎng)為c的邊的夾角為，計(jì)算第一個(gè)矩形兩邊分別在第二個(gè)矩形兩邊上的投影的長(zhǎng)度，可得------①，反過來(lái)，若存在使得不等式組①成立，則可依上面所述將第一個(gè)矩形放入第二個(gè)矩形內(nèi)．因此，可將第一個(gè)矩形放入第二個(gè)矩形內(nèi)的充要條件為：存在，使①成立，設(shè)，則①等價(jià)于，這又等價(jià)于直線與直線的交點(diǎn)不在圓的內(nèi)部，它等價(jià)于．故第一個(gè)矩形能放入第二個(gè)矩形當(dāng)且僅當(dāng)．結(jié)論得證．【考點(diǎn)】角度設(shè)元；方程及其解；點(diǎn)到直線的距離22．點(diǎn)D,