八年級數(shù)學下冊 第18章 單元綜合測試卷（人教版 2025年春）

八年級數(shù)學下冊第18章單元綜合測試卷（人教版2025年春）限時:90分鐘滿分:120分一、選擇題(每小題3分，共30分)1．若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2，則其中較大的內(nèi)角是()A．45° B．60° C．90° D．120°2．[2023上海]在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是()A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D3．[2024湛江二模]如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M，N分別為BC，OC的中點，AB＝6，∠ACB＝30°，則MN的長為()A．3 B．4 C．5 D．64．[2024南陽期末]如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為邊AB上一點，且AE＝OA，則∠BOE的度數(shù)為()A．20° B．22.5° C．25° D．27.5°5．如圖，有一四邊相等的四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點O，若AC＝4，且∠BAC＝60°，則對角線BD的長為()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3) C．6 D．86．[2024寧波一模]如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，過點D作AB的垂線，交BC于E，連接CD，AE，若CD＝4，AE＝5，則AC＝()A．3 B．eq\f(24,5) C．5 D．eq\f(24,7)7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AC，垂足為E，AE＝3CE，則BD的長為()A．6cm B．3eq\r(2)cm C．12cm D．3eq\r(3)cm8．[2024保定期末]我們都知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．老師制作了一個正方形教具用于課堂教學，數(shù)學課代表小亮在取教具時不小心使教具發(fā)生了形變(如圖)，若正方形教具的邊長為10cm，∠D′＝30°，則正方形教具的面積減少了()A．50cm2 B．50eq\r(2)cm2 C．100cm2 D．100eq\r(2)cm29．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是()A．eq\r(7) B．eq\r(7)－1 C．eq\r(3) D．210．[2024重慶模擬]如圖，已知四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，且G是AB的中點，連接AE，若AB＝2，則AE的長為()A．2eq\r(2) B．4 C．eq\r(17) D．eq\r(15)二、填空題(每小題3分，共15分)11．如圖，在?ABCD中，請?zhí)砑右粋€條件：________，使得?ABCD成為矩形．12．如圖，在平面直角坐標系中，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為(－3，0)，(2，0)，點D在y軸上，則點C的坐標是________．13．小雨在參觀故宮博物院時，被太和殿窗欞的三交六椀菱花圖案所吸引，他從中提取出一個含60°角的菱形ABCD(如圖所示)．若AB的長度為a，則菱形ABCD的面積為________．14．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點E是CD的中點，HG垂直平分AE且分別交AE，BC于點H，G，則BG＝________．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點E是CD的中點，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿A→B→C→E運動，最終到達點E，設點P的運動時間為t秒，那么當t＝________時，△APE的面積等于5.三、解答題(共75分)16．(12分)[2023濟南]如圖，點O為?ABCD對角線AC的中點，過點O的直線與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn).求證：DE＝BF.17．(12分)[2024高碑店期末]如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E.(1)求證：CD＝CE；(2)若∠E＝60°，求∠DOC的度數(shù)．18．(12分)[2024陽泉模擬]如圖，已知△ABC.(1)按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)：①分別作邊AB，AC的中點，記為點D，E；②連接DE并延長，在DE的延長線上取點F，使EF＝DE；③連接CF.(2)在(1)所作的圖中，試判斷四邊形DBCF的形狀，并說明理由．19．(12分)[2024泰安期末]如圖，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA＝PE，PE交CD于點F.(1)求證：PC＝PE；(2)求∠CPE的度數(shù)．20．(12分)如圖，某中學的校門是伸縮電動門，安裝驅(qū)動器的門柱EFGH是寬度為30cm的矩形，伸縮電動門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30cm，當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為60°時，校門打開了5m.(1)求該中學校門的總寬度是多少米．(2)當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為90°時，校門打開了多少米？21．(15分)(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形；(2)【類比應用】如圖②，直線EF分別交矩形ABCD的邊AD，BC于點E，F(xiàn)，將矩形ABCD沿EF所在的直線翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為D′，若AB＝3，BC＝4，求四邊形ABFE的周長；(3)【拓展延伸】如圖③，直線EF分別交平行四邊形ABCD的邊AD，BC于點E，F(xiàn)，將平行四邊形ABCD沿EF所在的直線翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為D′，若AB＝2eq\r(2)，BC＝4，∠C＝45°，求EF的長．

答案一、1．D2．C3．A4．B5．B6．B【點撥】∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝4，∴AB＝2CD＝8.∵ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5.∵AC2＝AE2－CE2＝AB2－BC2，∴52－CE2＝82－(5＋CE)2，解得CE＝1.4，∴AC＝eq\r(52－1.42)＝eq\f(24,5).7．C【點撥】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，OD＝eq\f(1,2)BD，CD＝AB＝6cm.∵AE＝3CE，∴OE＝CE.又∵DE⊥AC，∴OD＝CD＝6cm，∴BD＝2OD＝12cm.8．A9．B【點撥】如圖，當M，A′，C三點共線時，A′C的長度取得最小值，過點M作MF⊥DC交CD的延長線于點F.由翻折知A′M＝AM.∵M為AD的中點，∴AM＝MD.∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，∴AD＝CD＝2，∠ADC＝120°，∴A′M＝AM＝MD＝1，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝eq\f(1,2)MD＝eq\f(1,2)，∴FM＝eq\f(\r(3),2)，CF＝eq\f(5,2)，∴MC＝eq\r(FM2＋CF2)＝eq\r(7)，∴A′C＝MC－MA′＝eq\r(7)－1，即A′C長度的最小值是eq\r(7)－1.10．C【點撥】如圖，過點E作EH⊥AD于點H，交BC于點M.∵G是AB的中點，AB＝2，∴BG＝eq\f(1,2)AB＝1.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，BC＝AD＝AB＝2，AD∥BC.∵EH⊥AD，∴EH⊥BC.∴∠CME＝90°，∴∠MCE＋∠CEM＝90°.∵四邊形CEFG為正方形，∴CE＝CG，∠GCE＝90°，∴∠MCE＋∠GCB＝90°，∴∠GCB＝∠CEM.在△GCB和△CEM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠CME＝90°，,∠GCB＝∠CEM，,GC＝CE，))∴△GCB≌△CEM(AAS)，∴ME＝BC＝2，CM＝BG＝1.∵∠DAB＝∠B＝∠HMB＝∠HMC＝∠DCB＝∠D＝90°，∴四邊形HDCM，四邊形ABMH為矩形，∴DH＝CM＝1，HM＝AB＝2，∴AH＝AD－DH＝2－1＝1，EH＝HM＋EM＝2＋2＝4，∴AE＝eq\r(AH2＋HE2)＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17).二、11．∠A＝90°(答案不唯一)12．(5，4)13．eq\f(\r(3),2)a2【點撥】過A作AH⊥BC于H.∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝a.∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AH垂直平分BC，∴BH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)a，∴AH＝eq\f(\r(3),2)a，∴菱形ABCD的面積＝BC·AH＝eq\f(\r(3),2)a2.14．1【點撥】連接AG，EG.由垂直平分線的性質(zhì)得AG＝EG.由正方形的性質(zhì)得AB＝CB＝CD＝8，∠C＝∠B＝90°.∵E是CD的中點，∴CE＝eq\f(1,2)CD＝4.設BG＝x，則CG＝8－x，在Rt△ABG和Rt△ECG中，由勾股定理得82＋x2＝42＋(8－x)2，解得x＝1.即BG＝1.15．eq\f(10,3)或5【點撥】∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴∠D＝∠B＝∠C＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝3.∵點E是CD的中點，∴CE＝DE＝eq\f(1,2)DC＝2.當點P在AB上時，AP＝t，且0＜t≤4，∵S△APE＝eq\f(1,2)AP·AD＝5，∴eq\f(1,2)×3t＝5，解得t＝eq\f(10,3)；當點P在BC上時，BP＝t－4，CP＝4＋3－t＝7－t，且4＜t≤7，∵S△APE＝S矩形ABCD－S△APB－S△EPC－S△ADE＝AB·BC－eq\f(1,2)AB·BP－eq\f(1,2)CE·CP－eq\f(1,2)AD·DE＝5，∴4×3－eq\f(1,2)×4(t－4)－eq\f(1,2)×2(7－t)－eq\f(1,2)×3×2＝5，解得t＝5；當點P在CE上時，PE＝4＋3＋2－t＝9－t，且7＜t＜9，∵S△APE＝eq\f(1,2)PE·AD＝5，∴eq\f(1,2)×3(9－t)＝5，解得t＝eq\f(17,3)，不符合題意，舍去．綜上，當t＝eq\f(10,3)或5時，△APE的面積等于5.三、16．【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC.∵點O為對角線AC的中點，∴AO＝CO.在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO，,∠OEA＝∠OFC.,AO＝CO，))∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.17．(1)【證明】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥ED.又∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴AB＝CE，∴CD＝CE.(2)【解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD.∵四邊形ABEC是平行四邊形，∴BE＝AC，∴BD＝BE.又∵∠E＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴∠DBE＝60°.∵AC∥BE，∴∠DOC＝∠DBE＝60°.18．【解】(1)①②③如圖．(2)四邊形DBCF為平行四邊形．理由如下：∵D，E分別為AB，AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.∵EF＝DE，∴DE＝eq\f(1,2)DF，∴DF＝BC.又∵DF∥BC，∴四邊形DBCF為平行四邊形．19．(1)【證明】∵四邊形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的對角線，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°.在△ABP和△CBP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABP＝∠CBP，,PB＝PB，))∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC.∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)【解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∴∠EDC＝90°.由(1)知△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.又∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°.20．【解】(1)連接BD.由題知AB＝30cm＝0.3m.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD.又∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝0.3m，∴該中學校門的總寬度是0.3×21＋5＝11.3(m)．(2)當菱形的∠A＝90°時，四邊形ABCD是正方形．連接BD，則易得BD＝eq\f(3\r(2),10)m，∴11.3－0.3－eq\f(3\r(2),10)×20＝(11－6eq\r(2))(m)，即當每個菱形的內(nèi)角為90°時，校門打開了(11－6eq\r(2))m.21．(1)【證明】∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO.∵EF垂直平分AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC，∴△EAO≌△FCO(ASA)，∴OE＝OF，∴四邊形AFCE為平行四邊形．∵EF⊥AC，∴平行四邊形AFCE為菱形．(2)【解】如圖①，過點F作FH⊥AD于H，由折疊可知AF＝CF，∠AFE＝∠EFC.∵FC＝4－BF，∴AF＝4－BF.在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2，即(4－BF)2＝BF2＋9，解得BF＝eq\f(7,8)，∴AF＝eq\f(25,8).易知AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF＝eq