2025屆高三年級(jí)港澳臺(tái)學(xué)生8月月考數(shù)學(xué)試卷

第1頁/共1頁8月考試數(shù)學(xué)一、單選題1.若一個(gè)扇形的半徑為1，圓心角為，則該扇形的面積為（）A.15 B.30 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.【詳解】由一個(gè)扇形的半徑為1，圓心角為，即為，所以該扇形的面積為.故選：C.2.已知角α的終邊過點(diǎn)P(4，－3)，則sinα＋cosα的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可求得sinα與cosα，從而可得sinα+cosα的值【詳解】∵知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4，-3），∴sinα，cosα，∴sinα+cosα．故選：A．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式即可.【詳解】.故選：D.4.函數(shù)圖象在點(diǎn)處切線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式得出方程.【詳解】由題意可得，則，則所求切線方程為，即.故選:：C5.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，第四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的五點(diǎn)作圖求解即可【詳解】令，得.∴該點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A【點(diǎn)睛】本題考查”五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）的圖象，y＝cosx的第一個(gè)周期內(nèi)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（0，1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，1）．6.已知函數(shù)與是互為反函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得到的解析式，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與是互為反函數(shù)，所以，則，，，，即正確的只有D.故選：D7.已知，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解.【詳解】，所以.故選：A.8.已知與是方程的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解．【詳解】與是方程的兩個(gè)根，，兩邊平方得：，，得．即．故選：D．9.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩角和與差的正切公式即可求解.【詳解】．故選：D.10.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】參變分離可得恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，所以恒成立，又由（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以．故選：A．11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象．若曲線的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.若，則在區(qū)間上的最大值為【答案】CD【解析】【分析】首先利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出和的關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)距離和周期關(guān)系即可判斷A；求出正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心即可判斷BC；利用整體法即可求出的最值.【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以，由于將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則，對(duì)于A，因?yàn)榍€的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，故，解得，故A不正確；所以函數(shù)，則或，，則或，對(duì)于B，令，解得，，令，解得，則的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,令，解得，，所以當(dāng)時(shí)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，由A可得，當(dāng)時(shí)，即為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，故，此時(shí)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為，故D正確；故選：CD.12.若函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且fx+2=?fx，，則下列說法不正確的是（A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0中心對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)，賦值令，即可得結(jié)果；對(duì)于C：根據(jù)結(jié)合奇函數(shù)定義可得，即可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)選項(xiàng)B中結(jié)論分析可得，即可得結(jié)果；對(duì)于D：分析可知：4為的周期，結(jié)合周期性分析求解.【詳解】因?yàn)?，，?duì)于選項(xiàng)A：令，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，則，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，則，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，令，可得，令，可得，又因?yàn)?，則，可知4為的周期，可得，即，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：D二、填空題13.，單調(diào)減區(qū)間是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，直接寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以所求單調(diào)減區(qū)間是.故答案為：14.若，則________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)特殊角的正弦值以及反正弦函數(shù)的定義，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.15.已知，若冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性可得，則可得出所求.【詳解】在0,+∞上單調(diào)遞增，，，，則，.故答案為：2.16.若是一次函數(shù)，且，則__________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求出的值即可.【詳解】設(shè)，則，又，，解得或或.故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可先設(shè)出函數(shù)解析式的一般形式，再利用已知條件求其中的系數(shù).17.已知函數(shù)（）的一段圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_________【答案】【解析】【分析】由最值求，由周期求，由圖象過求，從而可得結(jié)果.【詳解】由圖可知，，所以，所以，又因?yàn)閳D象過，所以，可得，因?yàn)椋?所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要通過已知三角函數(shù)圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求是解題的關(guān)鍵.求解析時(shí)求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時(shí)，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn).18.函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的最大值為________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意存在唯一的變號(hào)正實(shí)根，當(dāng)符合題意，當(dāng)時(shí)參變分離可得沒有除之外的正實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，x∈0,+∞所以，依題意可得存在唯一的變號(hào)正實(shí)根，即存在唯一的變號(hào)正實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程只有唯一變號(hào)正實(shí)根，符合題意，當(dāng)，方程，即沒有除之外的正實(shí)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在0,2上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則實(shí)數(shù)t的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．三、解答題19.已知.（1）化簡(jiǎn)求值：；（2）若是第一象限角，，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再弦化切求值；（2）先求出、的正弦、余弦，再利用兩角和與差的三角函數(shù)求值.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】由為第一象限角，且，故：，；又，且，故.所以：.20.端午節(jié)賽龍舟是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，一共有8支龍舟隊(duì)伍，其中專業(yè)組2支，業(yè)余組6支，從中隨機(jī)取出3支隊(duì)伍．（1）求既有專業(yè)組又有業(yè)余組的概率；（2）設(shè)X表示取到業(yè)余組的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案；（2）根據(jù)超幾何分布的知識(shí)求得的分布列并求得數(shù)學(xué)期望．【小問1詳解】依題意，既有專業(yè)組又有業(yè)余組的概率為．【小問2詳解】的可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布列如下：123．21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上的值域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用三角恒等變換化成正弦型函數(shù)，再整體代換即可求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）運(yùn)用圖象變換得到解析式，再根據(jù)得到值域，建立不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋栽鰠^(qū)間，由不等式，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，.當(dāng)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)樗?，所以，即?22.設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）代入,求得，分別求得導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，進(jìn)而可得單調(diào)性；（Ⅱ）可化為，構(gòu)造函數(shù)，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性求得最值，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】（Ⅰ