八年級數(shù)學(xué)下冊 第1章 單元綜合測試卷（北師山西版 2025年春）

八年級數(shù)學(xué)下冊第1章單元綜合測試卷（北師山西版2025年春）一、選擇題(每題3分，共30分)題序12345678910答案1.P3隨堂練習(xí)T1變式已知等腰三角形的頂角為70°，則它的底角為()A．70°B．55°C．40°D．110°2．木工師傅想利用木條制作一個直角三角形的工具，那么下列各組數(shù)據(jù)(單位：米)不符合直角三角形的三邊長的是()A．3，4，5B．7，24，25C．9，12，15D．1，2，33．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，點D到AB的距離為3cm，則DB的長是()A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm4．如圖，在△ABC中，若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則對于∠1和∠2的大小關(guān)系，下列說法正確的是()A．一定相等B．當(dāng)BD＝CD時相等C．一定不相等D．當(dāng)DE＝DF時相等5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠B＝30°，P是線段BC上的一動點，連接AP，則AP的長不可能是()A．4.5B．5.5C．6.5D．9.56．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是BC邊上的中線，BE是∠ABC的平分線，AD與BE交于點O，則∠AOB的度數(shù)為()A．130°B．125°C．120°D．115°7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小麗進行如下步驟的尺規(guī)作圖：(1)分別以點B，C為圓心，大于eq\f(1,2)BC的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，連接EF分別交BC，AB于點D，G；(2)連接AD，CG.根據(jù)操作，有下列判斷：①AD平分∠BAC；②AD是△ABC的中線；③CG⊥AB；④S△ADC＝S△ABD.其中正確的序號是()A．①②③④B．②④C．③D．②③④8.某社區(qū)為了讓居民享受更多“開窗見景，推門見綠”的空間，決定將一塊四邊形區(qū)域改造為兒童游樂場．如圖是該四邊形區(qū)域的幾何示意圖，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照計劃要先在該區(qū)域鋪設(shè)塑膠，已知鋪設(shè)1m2塑膠需要花費200元，則鋪滿該區(qū)域需要的費用是()A．40800元B．91600元C．60800元D．48000元9．如圖，在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝126°，∠CDE＝72°，則∠ACD的度數(shù)是()A．36°B．45°C．46°D．48°10．[2024大同多校聯(lián)考]如圖①，在△ABC中，∠ABC＝60°.動點P從點A出發(fā)沿折線A→B→C勻速運動至點C后停止．設(shè)點P的運動路程為x，線段AP的長度為y，圖②是y隨x變化的關(guān)系圖，其中M為曲線DE的最低點，則△ABC的面積為()A.eq\f(3\r(3),2)B.eq\f(5\r(3),2)C.eq\f(7\r(3),2)D.eq\f(9\r(3),2)二、填空題(每題3分，共15分)11．命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是________________________________________________________________________，該逆命題是________命題(填“真”或“假”)．12．[2024臨汾期末]用反證法證明“在△ABC中，若AB≠AC，則∠B≠∠C”時，首先應(yīng)假設(shè)________．13．如圖，在△ABC中，AC＝BC，過點A,B分別作過點C的直線的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn).若AE＝CF＝3,BF＝4.5，則EF的長度為________．14．如圖，E是等邊三角形ABC中AC邊上的點，∠1＝∠2，BE＝CD，則△ADE是________三角形．15．如圖，△ABC為等邊三角形，在△ABC內(nèi)部作△MAC，使得MA＝MC，且MA⊥MC，連接BM，再以BM為一邊作等邊三角形MBN，點M，N分別在BC的兩側(cè)，連接CN，若CN＝6，則BM＝________．三、解答題(共75分)16．(6分)如圖，為改善一線環(huán)衛(wèi)工人的工作環(huán)境，某社區(qū)服務(wù)中心計劃修建一個“愛心驛站”，請你幫忙確定“愛心驛站P”所在的位置，要求：①“愛心驛站P”到公路AB和BC的距離相等；②“愛心驛站P”到兩個小區(qū)M，N的距離相等；③尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．17．(7分)如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BM平分∠ABC交AC于點M，求證：AM＝BM.18．(8分)如圖，點P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點C，∠AOB＝30°，點D在邊OB上，且OD＝DP＝2.求線段CP的長．19．(9分)P23習(xí)題T1變式如圖，直線l與m分別是△ABC的邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點D和點E，連接CD，CE.(1)若AB＝10，則△CDE的周長是多少？(2)若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．20．(10分)[2024呂梁期末]觀察與繪圖如圖，已知正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點都叫做格點．(1)如圖①，A，B，C三點都在格點上，則AB＝________，∠ABC＝________；(2)在圖②中，以格點為頂點畫一個面積為10的正方形；(3)在圖③中，以格點為頂點畫一個三角形，使該三角形的三邊長分別為2，eq\r(5)，eq\r(13).21．(10分)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使CE＝CA，連接AE.(1)求證：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．22．(12分)閱讀與思考閱讀下列材料，并解決相應(yīng)的問題．定義：如圖①，線段BE把等腰三角形ABC分成△ABE與△BCE，如果△ABE與△BCE均為等腰三角形，那么線段BE叫做△ABC的完美分割線．(1)如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，BE為△ABC的完美分割線，則∠A＝________°，∠BEC＝________°；(2)如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的完美分割線，BD<CD，求∠B的度數(shù)；(3)如圖③，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，AD是它的一條完美分割線，BD<CD，將△ABD沿AD折疊，使點B落在點B1處，AB1交CD于點E，請直接寫出圖中所有以AD為邊的等腰三角形．23．(13分)綜合與探究已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點(點D不與點B，C重合)．連接AD，以AD為邊向逆時針方向作等邊三角形ADE，連接CE.(1)如圖①，當(dāng)點D在線段BC上時：①求證：△ABD≌△ACE；②AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是____________________．(2)如圖②，當(dāng)點D在BC的延長線上時，其他條件不變，判斷AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖③，當(dāng)點D在BC的反向延長線上時，其他條件不變，則AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為____________________．

答案一、1.B2.D3.D4.D5.A6.D7.B8．A點撥：連接BD，如圖所示，∵∠C＝90°，BC＝9m，CD＝12m，∴BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(92＋122)＝15(m)，∵AD2＋BD2＝202＋152＝625，AB2＝252＝625，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AD·BD＋eq\f(1,2)BC·CD＝eq\f(1,2)×20×15＋eq\f(1,2)×9×12＝204(m2)，∴鋪滿該區(qū)域需要的費用為204×200＝40800(元)．9．B思路點睛：延長ED交AC于點F，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠ACB＝27°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CFD＝∠A＝27°，最后由三角形外角的性質(zhì)即可求得∠ACD的度數(shù)．10．D點撥：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，當(dāng)點P在BC上時，動點P運動到點D時，線段AP的長度最短，此時點P運動的路程為3eq\r(3)，即AB＋BD＝3eq\r(3)，當(dāng)動點P運動到點C時，運動結(jié)束，線段AP的長度就是AC的長度，∴AC＝eq\r(21)，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，∴AB＋BD＝3BD＝3eq\r(3)，∴BD＝eq\r(3)，∴AB＝2eq\r(3)，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝3，在Rt△ACD中，AC＝eq\r(21)，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝2eq\r(3)，∴BC＝BD＋CD＝3eq\r(3)，∴△ABC的面積為eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×3＝eq\f(9\r(3),2).二、11.如果a2＝b2，那么a＝b；假12．∠B＝∠C13.7.514．等邊點撥：由題意易證得△ABE≌△ACD，∴AD＝AE，∠CAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等邊三角形．15．3eq\r(6)－3eq\r(2)三、16.解：如圖，點P即為所求．17．證明：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)×(180°－36°)＝72°.∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABM.∴AM＝BM.18．解：如圖，過點P作PE⊥OB于點E.∵點P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA，∴∠BOP＝eq\f(1,2)∠AOB＝15°，PC＝PE.∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO＝15°，∴∠PDE＝∠BOP＋∠DPO＝30°.又∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝eq\f(1,2)DP＝1，∴PC＝1.19．解：(1)∵直線l與m分別是△ABC的邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△CDE的周長＝CD＋DE＋CE＝AD＋DE＋BE＝AB＝10.(2)∵AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE.∵∠ACB＝125°，∴∠A＋∠B＝180°－125°＝55°，∴∠ACD＋∠BCE＝55°.∴∠DCE＝∠ACB－(∠ACD＋∠BCE)＝125°－55°＝70°.20．解：(1)2eq\r(5)；45°點撥：連接AC，如圖①，∵正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，∴由勾股定理得AC＝eq\r(10)，BC＝eq\r(10)，AB＝2eq\r(5)，∴AC2＋BC2＝10＋10＝20＝AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，又∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB＝45°.(2)如圖②所示．(畫法不唯一)(3)如圖③所示．(畫法不唯一)21．(1)證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADB和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,∠ADB＝∠ADC，,AD＝AD，))∴△ADB≌△ADC，∴∠B＝∠ACB.(2)解：∵△ADB≌△ADC，∴AB＝AC.∵AC＝CE，∴AB＝AC＝CE＝5.在Rt△ADB中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(52－42)＝3，∴BD＝CD＝3，∴DE＝DC＋CE＝8，BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11.在Rt△ADE中，AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，∴△ABE的周長＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4eq\r(5)＝16＋4eq\r(5)，S△ABE＝eq\f(1,2)BE·AD＝eq\f(1,2)×11×4＝22.22．解：(1)36；72點撥：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴∠A＝180°－∠C－∠ABC＝36°，∵BE為△ABC的完美分割線，∴△BCE為等腰三角形，∴BC＝BE，∴∠BEC＝∠C＝72°.(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵AD為△ABC的完美分割線，BD<CD，∴△ABD和△ACD均為等腰三角形．∴AD＝BD，CD＝AC，∴∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠ADC.∴∠CAD＝∠ADC＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°.∴5∠B＝180°.∴∠B＝36°.(3)以AD為邊的等腰三角形有△ADE，△ADB，△ADB1和△ACD.點撥：由