滬科版九年級數(shù)學(xué)重難點專項突破：相似三角形中的“一線三等角”模型（原卷版）

重難點專項突破08相似三角形中的“一線三等角”模型

D【知識梳理】

一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，

也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形

形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：

當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往

是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉(zhuǎn)化。

一般類型：

同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”

【考點剖析】

4DRFq

例1.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD,NABC=90。，點E在邊BC上，且一=——=-,AD10,

ECCD4

求AAED的面積.

例2.已知：如圖，是等邊三角形，點小￡分別在邊寬；AC±,//龐=60°.

(1)求證：AABD^叢DCE；

(2)如果/8=3,￡0=2,求加的長.

3

E

60°

BD

例3.已知，在等腰AABC中，AB=AC=10,以BC的中點。為頂點作NEDF=NB,分別交AB、AC于點

E、F,AE=6,AF=4,求底邊BC的長.

【過關(guān)檢測】

—.選擇題（共3小題）

1.（2020?安徽?校聯(lián)考三模）如圖，。為AABC的邊AC上一點，AB=BC=CD=4,ZDBC=2ZA,則

3。的長為（）

A.-2+2石B.-2-275C.2+2百D.君-1

2.（2017?利辛縣一模）如圖，D、E、尸分別是等腰三角形ABC邊BC、CA.AB上的點，如果AB=AC,

BD=2,C0=3,CE=4,AE=3,ZFDE=ZB,那么AE的長為（）

3.（2022秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,點。是邊BC上一動點（不

與B,C重合），ZADE=45°,OE交AC于點E,下列結(jié)論：①△AQE與△ACO一定相似；②△ABO

與△DCE一定相似；③當(dāng)4。=3時，CE=-L；④0CCEW2.其中正確的結(jié)論有幾個？（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題（共2題）

4.（2022?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E為邊AD上一個動點，連接BE,

取BE的中點G,點G繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點尸，連接CF,在點E從A到。的運動過程中，點G的

運動路徑=,ACEF面積的最小值是.

5.（2022秋?安徽淮北?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABC。中，0A=0D=12O°,AB=6、AD=4,點

E、E分別在線段A。、DC±（點E與點4。不重合），若回BEF=120。，AE=x,DF=y,則y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式為

三.解答題（共5小題）

6.（2021秋?大觀區(qū)校級期中）已知矩形ABC。的一條邊AD=8,將矩形A2CD折疊，使得頂點B落在C。

邊上的P點處.如圖，已知折痕與邊BC交于點O,連接AP、OP、OA.

(1)求證:OC=OP.

PDAP,

(2)若OP與孫的比為1：2,求邊AB的長.

7.(2022?碩山縣模擬)如圖1,在四邊形ABCZ)中，AC是對角線，且AB=AC.尸是BC邊上一動點，連

接AP,DF,。尸交AC于點E,其中/QAF=90°,ZAFD=ZB.

(1)求證：AOEC=BF?CF；

(2)若AB=AC=10,BC=16.

①如圖2,若DF//AB,求更的值；

AB

8.(2017秋?固鎮(zhèn)縣月考)已知：如圖.△ABC是等邊三角形，點D、￡分別在邊BC、AC上，ZADE=60°

(1)求證：Z\ABDsADCE；

(2)如果，AB=3,EC=2,求OC的長.

3

9.（2022秋?安徽滁州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在AABC中，8，至于。，班，4。于￡,試說明:

(1)xABE?4CD

(2)ADBC=DEAC

10.（2020?安徽合肥?校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接2E,作

CF^\BE分別交BE于點G,