滬科版九年級數(shù)學(xué)常見題型專練：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（原卷版）

第02講二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

百)【知識梳理】

—.二次函數(shù)的圖象

(1)二次函數(shù)y=o?(aWO)的圖象的畫法：

①列表：先取原點(0,0),然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂

點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序用

平滑的曲線連接起來.畫拋物線y=o?(aWO)的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描

點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè).

(2)二次函數(shù)yuai？+bx+c(aWO)的圖象

二次函數(shù)(aWO)的圖象看作由二次函數(shù)》=內(nèi)2的圖象向右或向左平移?區(qū)?個

2a

單位，再向上或向下平移|4ac-b2?個單位得到的.

4a

二.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)y^ax^+bx+c(〃W0)的頂點坐標(biāo)是(——,4ac-b),對稱軸直線工=-—,

2a4a2a

二次函數(shù)y二蘇十版+c(。#0)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時，拋物線y=ax1+bx+c(〃W0)的開口向上，x<-上?時，y隨x的增大而減小；

2a

2

上時，y隨工的增大而增大；1=-且時，y取得最小值二Lb,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當(dāng)a<0時，y=ax2+bx+c(a#0)的開口向下，x<-工時，y隨尤的增大而增大；

2a

2

X>-旦時，y隨X的增大而減?。粁=-2時，y取得最大值4am一,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線y=o?+6x+c(aWO)的圖象可由拋物線y=o?的圖象向右或向左平移|-也|個單

位，再向上或向下平移但生二直?個單位得到的.

4a

三.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：

①一般式：y=ajT+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）；②頂點式：y=a（x-A）2+k.（a,h,k

是常數(shù)，aWO）,其中（h,k）為頂點坐標(biāo)；③交點式：y=a（x-xi）（尤-尤2）（a,b,c是

常數(shù)，aWO）；

（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系

式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列

三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；

當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.

D【考點剖析】

二次函數(shù)的圖象（共9小題）

1.（2022秋?安徽期中）aSy=ax+ly=cu?+bx+\（aWO）的圖象可能是（）

2.（2022秋?懷遠(yuǎn)縣期中）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)＞=Cm-2）x2-3x+n?+m-6的圖

3.（2022秋?大觀區(qū)校級月考）已知函數(shù)y=p-4|的大致圖象如圖所示，那么：方程￡-4|

=m.（%為實數(shù)）

①若該方程恰有3個不相等的實數(shù)根，則m的值是.

②若該方程恰有2個不相等的實數(shù)根，則根的取值范圍是.

4.（2022秋?潁上縣期中）如圖是二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖象，則函數(shù)?+c的

圖象可能是（）

5.（2022秋?蚌山區(qū)月考）對于二次函數(shù)y=（x-1產(chǎn)+2的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下

B.對稱軸是直線x=-l

C.頂點坐標(biāo)是（-1,2）

D.當(dāng)尤＜1時，y隨尤的增大而減小

6.（2022?包河區(qū)三模）已知二次函數(shù)y=o?+（b-1）龍+c+l的圖象如圖所示，則在同一坐

標(biāo)系中州=/+公+1與＞2=x-C的圖象可能是（）

7.（2022秋?利辛縣校級月考）如圖，點￡、尸、G、X分別是正方形ABC。邊A3、BC、CD、

上的點，且AE=BF=CG=DH.設(shè)A、E兩點間的距離為x,四邊形石既汨的面積為

8.（2021秋?金安區(qū)期末）已知等腰直角△ABC的斜邊48=4M，正方形DEFG的邊長為

如,把△A3C和正方形DEFG如圖放置，點B與點E重合,邊A3與所在同一條直線

上，將aABC沿A2方向以每秒加個單位的速度勻速平行移動，當(dāng)點A與點￡重合時停

止移動.在移動過程中，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積S與移動時間/（s）的

函數(shù)圖象大致是（）

9.（2022秋?杜集區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y=（x-2）2-4.

（1）在給定的直角坐標(biāo)系中，畫出這個函數(shù)的圖象；

（2）根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)y<0時x的取值范圍.

—.二次函數(shù)的性質(zhì)（共17小題）

10.（2022秋?田家庵區(qū)校級月考）拋物線y=2（x+9）2-3的頂點坐標(biāo)是（）

A.（9,3）B.（9,-3）C.（-9,3）D.（-9,-3）

11.（2022秋?淮南月考）拋物線-6x+9的頂點坐標(biāo)是（）

A.（3,0）B.（-3,0）C.（-3,9）D.（3,9）

12.（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）拋物線y=（x+1）2-1的對稱軸是（）

A.直線x=0B.直線兀=1C.直線％=-1D.直線y=l

13.（2022秋?蕪湖期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=27,y=-2?,了得乂？的圖象，

它們的共同點是（）

A.關(guān)于y軸對稱，拋物線的開口向上

B.關(guān)于〉軸對稱，拋物線的開口向下

C.關(guān)于y軸對稱，拋物線的頂點都是原點

D.當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小

14.（2022秋?淮南月考）定義符合加〃{a,6}的含義為：當(dāng)a>6時，疝〃{a,b}=b；當(dāng)

b,min{a,b}=a,如：min{1?-3}=-3,min[-4,-2}=-4.則加，〃{一f+l,-x}

的最大值是（）

A.0B.1C.疾+]D.辰

22

15.（2022秋?蚌埠期中）下列拋物線中，與拋物線-2x+4具有相同對稱軸的是（）

A.y=4/+2x+lB.y—J?-4xC.y=2/-%+4D.y=-2/+4x

16.（2022秋?安徽期中）若拋物線產(chǎn)-2（x+加-1）2-3加+6的頂點在第一象限，則加的

取值范圍是（）

A.m<lB.m<2C.l<m<2D.-2<m<-1

17.（2022秋?利辛縣月考）如圖選項中，能描述函數(shù)與（ab<0）的圖

象可能是（）

x

D.

18.（2022秋?包河區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y=ox2+Ax+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y

=6x+c的圖象和反比例函數(shù)尸也工的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）

19.（2022?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖，函數(shù)若直線y=x+機(jī)與

-x(x<0)

該圖象只有一個交點，則機(jī)的取值范圍為

20.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）求下列二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標(biāo)和對稱軸:

(1)-6x+4；(2)y=--x^+2x+—.

22

21.（2022秋?利辛縣月考）已知關(guān)于x的二次函數(shù)丫=以2-2依+1（a<0）：

（1）該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=.

（2）當(dāng)天>加時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是

22.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）已知拋物線y=--2x-2.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線.

（2）直接寫出這條拋物線的對稱軸，頂點坐標(biāo).

（3）直接寫出當(dāng)x取什么值時，y隨x的增大而減?。?/p>

（4）直接寫出當(dāng)x取什么值時，>>1?

>

X

23.（2022?包河區(qū)二模）在函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表，描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合

圖形研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的過程，以下是研究三次函數(shù)丫=依3+總%2（。=0）的性質(zhì)時.列

表和描點的部分過程.請按要求完成下列各小題.

(2)結(jié)合圖象，直接寫出工》+3忘0?+旦/的解集為：

24

24.(2022?淮北一模)設(shè)二次函數(shù)與、”的圖象的頂點坐標(biāo)分別為(a,b)、(c、d),若a=

2c、b=2d,且兩圖象開口方向相同，則稱yi是”的“同倍項二次函數(shù)”.

(1)寫出二次函數(shù)y=f+x+l的一個“同倍項二次函數(shù)”；

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)”=/+加和二次函數(shù)”=7+3加+1,若州+”是yi的''同

倍項二次函數(shù)”，求〃的值.

—x+2(1)

25.(2021秋?安慶期末)已知函數(shù)>="；

-x+4x(x>1)

(1)用描點法畫出此函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)x為何值時，y隨著x的增大而減?。?/p>

(3)當(dāng)時，對應(yīng)的自變量x的值有2個，直接寫出左的取值范圍.

26.（2022秋?迎江區(qū)期中）定義符號加應(yīng){a,6}含義為：當(dāng)a>6時〃而{a,b\=b；當(dāng)a<

6時〃〃7z{a,b}=a.如：min{1,-3}=-3,min{-4,2）=-4.則，"iw{-7+l,-x}

的最大值是（）

A.遍B.遙+]C.1D.0

22

三.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共11小題）

27.（2022秋?蚌山區(qū)校級月考）已知拋物線的頂點坐標(biāo)是（2,-1）,且與y軸交于點（0,

3）,這個拋物線的表達(dá)式是（）

A.y=xz-4x+3B.丁=爐+4%+3C.y=x2+4x-1D.y=d-4x-1

28.（2022秋?杜集區(qū)校級月考）若某二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線>=3/相同，且頂點坐

標(biāo)為（0,-2）,則它的表達(dá)式為.

29.（2022?蜀山區(qū)校級三模）如圖，直線y=-x+1與x軸交于點A,直線機(jī)是過點A、B

（-3,0）的拋物線的對稱軸，直線y=-x+1與直線相交于點C,已知點

D（n,5）在直線y=-x+1上，作線段CD關(guān)于直線機(jī)對稱的線段CE,若拋物線與折線

DCE有兩個交點，則。的取值范圍為（）

A.B.0＜忘1

C.或0＜。＜1D.或a＜--

22

30.（2022秋?包河區(qū)期中）請寫出一個開口向下，并且與y軸交于點（0,3）的拋物線的表

達(dá)式：.

31.（2022秋?無為市期中）形狀與開口方向都與拋物線y=-2）相同，頂點坐標(biāo)是（0,-

5）的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為

32.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）二次函數(shù)的圖象如圖所示，求該圖象的解析式.

33.（2022秋?包河區(qū)期中）已知二次函數(shù)（aWO）中的尤和y滿足下表:

X???-4-3-2-1012???

y.??-50343m-5???

（1）根的值為;

（2）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

34.（2022秋?瑤海區(qū)校級月考）如圖，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點A（-1,0）,點B（2,-

3）,與y軸交于點C,拋物線的頂點為。.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點P,使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫

出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

35.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x的圖象與

二次函數(shù)了=-x1+bx

（6為常數(shù)）的圖象相交于O,A兩點，點A坐標(biāo)為（3,m）.

（1）求根的值以及二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點P為拋物線的頂點，連結(jié)OP,AP,求△POA的面積.

36.（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)交于頂點A（-4,-1）和點8

（-2,3）兩點，一次函數(shù)與y軸交于點C.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）y軸上是否存在點P使△孫8的面積為3.若存在，請求點P的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

y

37.(2022秋?定遠(yuǎn)縣期中)已知二次函數(shù)y=-2/+bx+c的圖象經(jīng)過點A(0,4)和8(1,

-2).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)求此拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

(3)設(shè)拋物線的頂點為C,試求△CA。的面積.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.(2023?安徽亳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)下列拋物線中，與拋物線y=/-2x+8具有相同對稱

軸的是()

A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x

2.（2022秋?安徽六安?九年級?？茧A段練習(xí)）將拋物線y=（x+l）2向右平移3個單位，再向

上平移1個單位，則平移后的拋物線的解析式是（）

A.y=（x+4）2+1B.y=（%+4）2-1

C.y=（x—2）2-1D.y=（x—2）~+1

3.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模）若拋物線y=x?+26+（°-1）2的頂點在第二象限，則。的取

值范圍是（）

A.0<G<—B.<2>0C.a>—D.a<0

22

4.（2023?安徽合肥?合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┒魏瘮?shù)丁=/-2的圖象經(jīng)過點

（a，b）,則代數(shù)式62+64的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）二次函數(shù)>=-3尤2-6x+5的圖象的頂點坐標(biāo)

是（）

A.（-1,8）B.（1,8）C.（-1,2）D.（1,-4）

6.（2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)>=衣2+e-1）尤+。+1的圖象如圖所示，則

在同一坐標(biāo)系中％=辦2+云+1與％=X-C的圖象可能是（）

7.（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線>=以2+/+。-2的圖

象如圖所示，其對稱軸為直線X=；,那么一次函數(shù)、=公+。的圖象大致為（）

8.（2023?安徽,模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于x軸的直線分別交拋物線》

=/（x>0）和拋物線（x>0）于點A和點B,過點A作ACHx軸交拋物線y=于

點C,過點8作加以軸交拋物線y=/于點。，則絲的值為（）

9.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)>與二次函數(shù)

X

>的圖象可能是（）

10.（2023春?安徽安慶?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)

丫=涼+法+。（"0）的圖象與x軸交于點A（TO）,與y軸的交點3在（0,-2）和（0,-1）之

間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=L下列結(jié)論：①a歷>0；②4a+2b+c>0；③

12

4ac-b2<Sa;④耳<。<§；⑤人>。.其中含所有正確結(jié)論的選項是（）

A.①③B.①③④C.②④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

二、填空題

11.（2023?安徽淮南?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線＞=-9，+1的頂點坐標(biāo)是.

12.（2022秋?安徽蚌埠?九年級?？计谥校┤鬋、,%］為二次函

數(shù)y=（x-2『的圖象上的三點，則%,為，為大小關(guān)系為.

13.（2023?安徽?九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=（〃z+l）尤的圖象開口向下，則

m的值是.

14.（2023春?安徽蚌埠?九年級?？茧A段練習(xí)）把拋物線y=-（x+l）2+3向左平移2個單位

長度，然后向下平移3個單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式為.

15.（2016秋?安徽蕪湖?九年級統(tǒng)考期中）點《（-Lx）,E（3,丫2）,6（5,%）均在二次函數(shù)

y=-f+2x+c的圖象上，則%,%,丫3的大小關(guān)系是.

16.（2023春?安徽宿州?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知y關(guān)于x的函數(shù)＞=爐-2如+2加+4,

點尸為拋物線頂點.

（1）當(dāng)尸點最高時，加=；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)3V函數(shù)有最小值8,則〃=.

17.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考二模）設(shè)二次函數(shù)，=爐-（2a-4）x-1,其中。為實數(shù).

（1）二次函數(shù)的對稱軸為直線.（用含。的式子表示）

（2）若二次函數(shù)在0Wx＜3有最小值-5,則實數(shù)a的值是.

18.（2023?安徽合肥?合肥38中?？级＃┮阎cM（a,b）是拋物線y=V-4x+5上一動

點.

（1）當(dāng)點M到y(tǒng)軸的距離不大于1時，6的取值范圍是；

（2）當(dāng)點M到直線x的距離不大于時，6的取值范圍是546410,則加+〃的

值為?

三、解答題

19.（2022秋?安徽蚌埠?九年級?？计谥校τ趻佄锞€y=f-4x+3.

⑴將拋物線的表達(dá)式化為頂點式.

（2）填下表并在坐標(biāo)系中畫出此拋物線.

⑶結(jié)合圖象，當(dāng)0<x<3時，則y的取值范圍是

20.（2023?安徽亳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)、=加+法+。（"0）中的x和y滿足下

表:

X-4-3-2-1012

y-50343m-5

⑴根據(jù)表格，直