高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列問(wèn)題（解析版）

專題27數(shù)列問(wèn)題

例1.隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭(zhēng)奪越來(lái)越激烈，5G手機(jī)也頻頻降價(jià)

飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測(cè)

試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣.

(1)公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為5+2,抽中的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)

補(bǔ)充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè).若某次抽獎(jiǎng)，剩余全部用戶均中獎(jiǎng)，則

活動(dòng)結(jié)束.

參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均在其中.

①請(qǐng)分別求出甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率;

②請(qǐng)求出甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和期望.

(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測(cè)試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.

報(bào)名參加第一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有2。萬(wàn)用戶，該公司設(shè)置了第次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為尸,=9+；”,每

次中獎(jiǎng)的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充相同人數(shù)的新用戶，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行方(“eN+)次，已知用戶丙參加了

第一次抽獎(jiǎng)，并在這為次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證：用戶丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的均值小于旦.

2

【解析】(1)①甲在第一次中獎(jiǎng)的概率為2=卷=(

乙在第二次中獎(jiǎng)的概率為外咤嚕瞽

②設(shè)甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為X,則X=1,2,3,

p（x=1）=A1.p（x=2）=也x&=生；尸（x=3）=105,_10

=-------Xx---------Xx1---------

153151339151339

X123

P1610

3939

+2x2+3嗡咤

(2)證明：丙在第奇數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為工，在第偶數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為

54

m

3

設(shè)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為T,"丙中獎(jiǎng)”為事件4,則P(A)=1-■HI=1-

3

令mWn,mGN\則丙在第2m—1次中獎(jiǎng)的概率尸&=2m-1）4

m-\m-1

3413*

在第2m次中獎(jiǎng)的概率尸（K=2m）=X—X—=

I54I

m—1

3

即P(T=2m-l)=P(Y=2m)=If

1m—1

在丙中獎(jiǎng)的條件下，在第2m-1,2m次中獎(jiǎng)的概率為巨

尸⑷

則丙參加活動(dòng)次數(shù)的均值為

m—\

E(Y)=—^—(l+2)+y(3+4)+(5+6)+L+3(2〃-1+2〃)

5P(A)1

設(shè)S=3+7嗎+11、國(guó)+L+(4〃一嗚:

3

則3s3/7⑶+L+(4〃一陪「+(4〃-1)

5

m—\

233

.*.-5=3+49+L+_(4〃一1)

5

m-\

12〃+273

22

In3

9

所以E（y）=-<9,

2r2

1-3

例2.某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個(gè)服務(wù)公司提供A、B兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購(gòu)買時(shí)每次只買其

中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買產(chǎn)品的人購(gòu)買A的概率為2、購(gòu)買3的概率為工，而

33

前一次購(gòu)買A產(chǎn)品的人下一次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為工、購(gòu)買8產(chǎn)品的概率為3,前一次購(gòu)買3產(chǎn)品的人

44

下一次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為工、購(gòu)買呂產(chǎn)品的概率也是工，如此往復(fù).記某人第幾次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率

22

為p.

(1)求尸2,并證明數(shù)列3-是等比數(shù)列；

(2)記第二次來(lái)公司購(gòu)買產(chǎn)品的3個(gè)人中有X個(gè)人購(gòu)買A產(chǎn)品，求X的分布列并求E(X);

(3)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)每天來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人,假定這800人都已購(gòu)買過(guò)很多次該兩款產(chǎn)品,

那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備A、3產(chǎn)品各多少份.(直接寫結(jié)論、不必說(shuō)明理由).

【解析】(1)+=l

234323

依題意，知P=尸x工+(1_尸)x工，則P1_§=(">l,n￡N*)

〃+i〃4、n/2415)

當(dāng)〃=1時(shí)，可得尸_2=4,

1515

二數(shù)列［尸一2］是首項(xiàng)為二公比為__L的等比數(shù)列.

(2)第二次買A產(chǎn)品的概率p=2xl+lxl=l;

△34323

第二次買8產(chǎn)品的概率尸=2X2+1X1=2

B34323

第二次來(lái)的3人中有x個(gè)人購(gòu)買A產(chǎn)品，

X的所有可能取值為。、1、2、3

有p(x=z)=c［me川,2,3),

.，.X的分布列為

X0123

8±2_1

P

279927

故石(X)=0x&+1x4+2x2+3x^=1.

v7279927

（3）由⑴知:p=2_史.（__L）"

"5154

，當(dāng)〃趨于無(wú)窮大時(shí)，Pn即第〃次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率約為

故公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備A產(chǎn)品320份、8產(chǎn)品480份.

例3.從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按向量。=（0,1）移動(dòng)的概率為7:，按向量。=（。,2）移動(dòng)的概率為:1，設(shè)M

可到達(dá)點(diǎn)（0〃）的概率為匕

（1）求片和生的值；（2）求證：Pn+2-Pn+l=-g（4+「P”）；⑶求％的表達(dá)式.

【解析】⑴乙=|也=[3+；=小2）證明：加到達(dá)點(diǎn)（0,〃+2）有兩種情況：

①?gòu)狞c(diǎn)（0,〃+1）按向量〃=（0,1）移動(dòng)，即（。,〃+1）-（0,"+2）②從點(diǎn)（0,〃）按向量Z?=（O,2）移動(dòng),即

（0,〃）.（0,九+2）

211

，產(chǎn)"+2=§匕+1+§尸"，；￡+2一尸"M=一§（匕+「匕）

⑶數(shù)列｛尸"+「匕｝是以尸2-尸1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

—吁「先

又

+以一片）=[T[+[一3++[一j=]4[一]一口

例4.某人玩硬幣走跳棋的游戲。已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是工，棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2

2

站、、第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子

向前跳一站（從左到上+1）；若擲出反面，棋子向前跳兩站（從左到上+2）,直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）

或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第"站的概率為P,,.

⑴求尸0，尸1，尸2的值；

（2）求證：Pn-PnX=-1（P?_l-P?_2）,其中〃&N,2<n<99；

⑶求玩該游戲獲勝的概率及失敗的概率.

【解析】⑴解：棋子開始在第0站為必然事件，尸°=1.

第一次擲硬幣出現(xiàn)正面,棋子跳到第1站,其概率為:，產(chǎn)總.

棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：

①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為:；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為;.

“113

P）=—I—=—.

2424

⑵證明：棋子跳到第九（24〃499）站的情況是下列兩種,而且也只有兩種：

①棋子先到第“-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為:P“_2；

②棋子先到第力-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為.

2

：-P.=3P"-2+?P"-P"T=一、(P"7-Bi-?)?

⑶解：由⑵知當(dāng)IV"<99時(shí)，數(shù)列憶-匕_J是首項(xiàng)為=-9公比為-J的等比數(shù)列.

n

p-P

”1n-\

(n=0,1,2,399)

失敗的概率尸99=$98=g-|1-

3

例5.有人玩擲硬幣走跳棋的游戲。已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是?棋盤上標(biāo)有第。站、第1站、第

2站、L、第100站。一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子

向前跳一站（從左到上+1）；若擲出反面，祺子向前跳二站（從左到上+2）,直到棋子跳到第99站（勝利大

本營(yíng)）或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束。設(shè)棋子跳到第"站的概率為P,.

（1）求尸0、公尸2的值

（2）寫出P“_2，P“T，P”的遞推關(guān)系，其中，eN,S.2<n<99；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

【解析】（1）棋子開始在第0站為必然事件，所以尸。=1.

第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為！，所以舄=▲.

212

棋子跳到第2站有下列兩種情況：

情形一前二次擲硬幣均出現(xiàn)正面，其概率為工；

4

情形二第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為1.

2

所以尸=工+1=二;

2424

（2）棋子跳到第"2V鹿99）站有下列兩種情況：

情形一棋子先跳到第〃-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為工尸2；

情形二棋子先跳到第〃-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為工尸「

2"T

所以《=|p_2,從而P4伊1一尸7）；

（3）由（1）與（2）知，P=Lp+^-P1,則尸-P,=--（P.-PJ,即P"_P"T=-工

nr\n-2r\n—inn—\Q\n—\n—2）p_p0

LL

乙rn-l~rn-2乙

所以數(shù)列化-是首相為4-紇=-/,公比為■的等比數(shù)列，

于是

尸98=尸。+（尸1一紇）+（舄一尸|）+L+（尸98一尸97）=1+

98）=

尸99=P°+（P「P°）+（P「Pj+L+（七一尸

于是尸98=(

\99

所以玩游戲獲勝的概率為21+

例6.A,B,C,D4人互相傳球，由A開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到A手中，

則不同的傳球方式有多少種？若有〃個(gè)人相互傳球上次后又回到發(fā)球人A手中的不同傳球方式有多少種？

【解析】4人傳球時(shí)，傳球上次共有3上種傳法。設(shè)第人次將球傳給A的方法數(shù)共有仁化€"*)種傳法，則不

傳給A的有3k-%種，故為=0,且不傳給A的下次均可傳給A,即

=3--以兩邊同除以得符=g-,

令“攀，貝物=。8-卜-加-：，則-m

3"3/-

+"

當(dāng)上=5時(shí)，%=60.

當(dāng)人數(shù)為力時(shí)，分別用〃T〃，n取代3,4時(shí)，可得%=也二匕+上1(一球.

nn

例7.一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分.

⑴設(shè)拋擲5次的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

⑵求恰好得到“(aeN*)分的概率.

【解析】（l）x的可能取值為5,67,8,9,10.

設(shè)拋擲5次得分X的概率為P（X=i）=C「（1_）5（i=&6,7,8,9,10）

其分布列如下表：

5678910

155551

P

3232正163232

⑵設(shè)尸“表示恰好得到〃分的概率.不出現(xiàn)〃分的唯一情況是得到〃-1分以后再擲出一次反面.因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)"

分”的概率是1-4,"恰好得到1分”的概率是尸一，因?yàn)?擲一次出現(xiàn)反面"的概率是L

2

P_2

所以1-p,,即p“一尹一氏

"2"1"323_322

p"T-7

所以是以尸2=j_一2=一上為首項(xiàng)，以一工為公比的等比數(shù)列.

I"3J132362

所以尸“卷尸=一卜6尸，即尸“=1-（-1），，+|-

答：恰好得到“分的概率為（?（-J"+|.

例8.質(zhì)點(diǎn)在x軸上從原點(diǎn)。出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，每次平移一個(gè)單位或兩個(gè)單位，且移動(dòng)一個(gè)單位的概率為二，

3

移動(dòng)2個(gè)單位的概率為?,設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（九,0）的概率為P“。

（團(tuán)）求尸］和巴；

（0）用匕.1，匕.2表示月，,并證明｛匕一匕_1｝是等比數(shù)列；

（回）求月一

2I7

【解析】（回）Pi=4,/：二?「?二

33339

（團(tuán)）由題意可知，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（%0）,可分兩種情形，由點(diǎn)（n-1,0）右移1個(gè)單位或由點(diǎn)（n-2,0）右移2

個(gè)單位，故由條件可知：乙二；J|,（優(yōu)3）

上式可變形為cJ；2J1%_乙-I-匕，）

;/:;是以-1為公比的等比數(shù)列。

72I

其首項(xiàng)。2-Pl=----二-

939

（團(tuán)）由（團(tuán)）知Pn-P"-l=；（-；/：（峰2）

??七=代-EJ+（匕「匕+俏-用+6

工第九次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)

例9.某人拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，構(gòu)造數(shù)列｛而，使4=<記S+。2+

-L第九次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)

+an(n￡Z).

⑴求56=2的概率；

（2）求S2Ho且56=2的概率.

【解析】⑴S6=2,需6次中出現(xiàn)4次偶數(shù)點(diǎn)2次奇數(shù)點(diǎn)，

設(shè)其概率為，則…之m寺哈

（2）S2*0,即前兩次同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)或同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn).

①當(dāng)前兩次同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，$2=2.

要使56=2,需后四次中出現(xiàn)兩次偶數(shù)點(diǎn)，兩次奇數(shù)點(diǎn)，

設(shè)其概率為22,則P2=（；網(wǎng)；）2=A=A

②當(dāng)前兩次同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)時(shí)，52=-2.

要使$6=2,需后四次全出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，

設(shè)其概率為P3,則23=gXgXCjg尸=1.

22264

317

所以5230且56=2的概率。=。2+。3=記+啟=?.

例10.某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盤上標(biāo)有第。站，第

1站，第2站，......,第100站。一枚棋子開始在第0站，選手每擲一次骰子,棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出

朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2,棋子向前跳一站；若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（勝

利大本營(yíng)）或第100站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束。設(shè)棋子跳到第n站的概率為P?.

（1）求此/，鳥；（2）求證：｛只-加｝為等比數(shù)列；⑶求玩該游戲獲勝的概率

【解析】（1）顯然片=1,跳動(dòng)一站有點(diǎn)數(shù)為1或2兩種情況，共有6鐘情況，故4=g，跳動(dòng)兩站分兩種

11127

情況：跳兩次概率為,跳一次概率為彳，故g=-；

12

（2）由題意知：月=§月一1+§R-2

92

???數(shù)列J花一町1｝是首項(xiàng)為《-A=-§公比為--的等比數(shù)列

（3）由（2）知匕―岫=

，將這98個(gè)式子累加得：

100

I]

3

所以玩該游戲獲勝的概率為P99=~

例11.春節(jié)來(lái)臨，有農(nóng)民工兄弟A、8、C、。四人各自通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)訂購(gòu)回家過(guò)年的火車票，若訂票成

功即可獲得火車票，即他們獲得火車票與否互不影響若A、8、C、。獲得火車票的概率分別是p”g,P3，j

其中Pi〉P3，又Pi，3，2P3成等比數(shù)列，且A、C兩人恰好有一人獲得火車票的概率是1.

(1)求Pi，P3的值；

(2)若C、。是一家人且兩人都獲得火車票才一起回家，否則兩人都不回家.設(shè)X表示A、B、C、。能

夠回家過(guò)年的人數(shù)，求X的分布列和期望EX.

【解析】(1)A、。兩人恰好有一人獲得火車票的概率是上

2

二(1-A)ft+Pi(1-凸)=g

c1

2Plp33

聯(lián)立方程

(1-P1)P3+P1(1-P3)=；

Pi>P3,解得px=-^p3=—

(2)X=0,1,2,3,4

2

15

丘。)=1-J-xl

i-；4464

1113015

P(X=1)=C；xlx1-1x1-lxl

224464-32

尸1111161

(X=2)=gxlx1-1x1X—=

2442244644

11121

p(X=3)=C；xlxUxlxl.

2