廣西河池市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)盟考試數(shù)學(xué)試卷

2024年秋季學(xué)期高二年級(jí)校聯(lián)體第二次聯(lián)考

業(yè),、、九

數(shù)1r學(xué)

（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。

2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合要求的。

1.已知拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)為尸，拋物線上的點(diǎn)河（2,20）到焦點(diǎn)廠的距離為

A.1B.2C.3D.4

2.已知直線4：x-y-l=0,/2:xj+1=0,則4與。的距離為

A.1B.2C.72D.2及

3.若橢圓焦點(diǎn)在無(wú)軸上且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,2）,c=3,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2222

A%v1D1y1

A.-----1-----=1B.-----1-----=1+=1D

94134cTT-

4.已知兩個(gè)向量3=（1,T,2）,b=（2,x,j）,且刃后，則x+＞的值為

A.2B.4C.6D.8

%2+（,_1）2=］的周長(zhǎng)，則〃二

5.已知直線％-即+2=0平分圓C：

A.2B.4C.6D.8

22

6.已知拋物線r=16x的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線?-方=1伍中0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方

程為

A.y=±-^xB.y=±2xC.y=±^-xD.y=±^3x

7.在直四棱柱中，底面/BCD為等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2,

AB=A.A=4,E為棱AA,的中點(diǎn)，則BBX到平面EDBX的夾角余弦值為

V30V70

B.

1010

Vio3V10

D.

1010

高二數(shù)學(xué)第1頁(yè)共4頁(yè)

8.已知雙曲線C:鵬-仁=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、B，A,3是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),

97

并且|/B|=2c,則△/BE的面積等于

A.6B.7C.8D.9

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知直線4：x+@+1=0,12：—l)x+y+。=0,則下列說(shuō)法正確的是

A.當(dāng)a=l時(shí)，直線4的傾斜角為135。B.當(dāng)/i，/?時(shí)，

C.若4〃4,則a=—1D.直線4始終過(guò)定點(diǎn)(-1,0)

10.如圖，正方體/5CD-4瓦G2的棱長(zhǎng)為1,w是4G上的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是

AM4c的面積是定值走

A.

2

與萬(wàn)？同向的單位向量是一^~，^~，^~、

B.

7

C.方與方雙夾角的余弦值為—

6

D.平面ABXD的一個(gè)法向量是。,1,—1)

22

11.已知橢圓C：|j+=~=1,耳￡分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)43分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)

N(4,4),點(diǎn)M是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有

A.存在4個(gè)點(diǎn)/,使得/邛*=90°

25

B.直線M4與直線斜率乘積為定值-彳

1118

C時(shí)+配有最小值二

D.|融網(wǎng)+|即|的取值范圍為[4行,14]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知直線/過(guò)點(diǎn)(1,2),傾斜角為45°，則直線/的縱截距為.

13.已知圓/+/—2x+6y=/—10(廠>0)與直線x—>+1=0相切，貝什=.

22

14.雙曲線C:^2=1的離心率為.

m3m

高二數(shù)學(xué)第2頁(yè)共4頁(yè)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)已知△/BC的頂點(diǎn)分別為42,2),5(4,-2),C(-6,2).

(1)求8c邊的中線所在直線的方程；

(2)求8c邊的垂直平分線所在直線的方程.

16.(15分)已知橢圓C:三+*=1(a>6>0),M為橢圓上一點(diǎn)，耳,用分別為它的左右焦點(diǎn)，M

到耳居距離之和為4,離心率e=心.

一2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=x-1與橢圓交于48兩點(diǎn)，求|“回的長(zhǎng)以及三角形面積.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，側(cè)棱尸4,底面且

PA=2,AB=BC=6,AD=CD=5￡為PC中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)C到平面EAD的距離；

(2)求平面PBC與平面胡。夾角的正弦值.

高二數(shù)學(xué)第3頁(yè)共4頁(yè)

18.(17分)已知圓G：/+V+2x—4〉+1=0,圓。2:工2+J??—4x—5=0.

(1)證明兩圓相交，并求兩圓公共弦長(zhǎng)；

(2)已知過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線/與圓G交于48兩點(diǎn)，且04,03,求直線/的斜率.

19.(17分)設(shè)拋物線C:/=2。武0>0)的焦點(diǎn)為尸，已知點(diǎn)尸到圓E:(x+gy+r=1上一點(diǎn)

的距離的最大值為2.

(1)求拋物線。的方程；

22

(2)已知耳鳥(niǎo)是雙曲線二—匕二1左右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)月的直線/與。交于N兩點(diǎn).證明：

22

ZF2FXM=ZF2FXN.

高二數(shù)學(xué)第4頁(yè)共4頁(yè)

2024年秋季學(xué)期高二年級(jí)校聯(lián)體第二次聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.【答案】C

【詳解】由焦半徑公式得：|附=/+券=2+1=3.故選：C

2.【答案】C

(一。=V2.故選:

【詳解】由題意得，4與4的距離dC.

VFH1

3.【答案】B

【詳解】由題意得橢圓焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),所以6=2,c=3,a2=b2+c2=13,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+/=1.故選：B.

134

4.【答案】A

1-12

【詳解】allb?~=—=—,=—2,y=4,x+y=2.故選：A.

2xy

5.【答案】A

【詳解】由/+(歹—1)2=1,可得圓心為(0,1),因?yàn)橹本€x-即+2=0平分圓C：

/+(>—1)2=1的周長(zhǎng),

所以直線過(guò)圓的圓心，則0—a+2=0,解得。=2.故選：A.

6.【答案】D

_2_匕2

【詳解】已知拋物線/=16X的準(zhǔn)線為x=-4,所以雙曲線=10/0)的一個(gè)焦點(diǎn)為

4b2

22

(—4,0),所以4+/=4?，解得〃=12,所以雙曲線亍一七=1的漸近線方程為產(chǎn)土氐?故選:

7.【答案】B

【詳解】底面/BCD為等腰梯形，AB〃CD,4D=DC=BC=2,AB=4,

如圖，在底面/BCD中，過(guò)點(diǎn)。作垂足為〃，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以加，比，的所在直線為x,%z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系。-中z.

則D(0,0,0),B瓜3,0),用瓜3,4),E(g,-1,2),

DB{=(V3,3,4),DE=(73,-1,2),麗=(百,3,0),設(shè)平面瓦明的法向量

高二數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)共7頁(yè)

為"=(x,y,z),

n-DB.=0f6x+3y+4z=0

則一」，所以「，兩式相減可得2y+z=0,

n-DE=0[y/3x—y+2z=0

令y=V3，解得z——2-\/3,x=5,

則平面EDBl的一個(gè)法向量為工=(5,-26)，麗=(0,0,4)

4X(-2A/3)273V30

則BB、到平面區(qū)0月的夾角正弦值sin。=k°s(函，力，BBt-n

|阿同4J25+3+122A-10

cos。=Vl-sin20=2/1^,故選：B.

10

8.【答案】B

【詳解】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性以及8是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)可知，A,B，O三點(diǎn)共

線，連接/片,/5，圻;|/同=2。=閨"則四邊形";3g為矩形，所以/耳，陽(yáng),

阿|=|”|，

22_

由雙曲線C:土一匕=1可得。=3,b=^7,貝！I

97

c=yla2+b2=J9+7=4，

所以|/同=|耳m=2c=8,所以以片「+忸耳『=|/訐=64,

又上周T即向幺團(tuán)-以劇=2a=6,

所以|必『+忸耳『一2卜司忸耳|=36,解得|/|忸用=14,

所以LB號(hào)=；|百網(wǎng)1=7.故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=1時(shí)，直線-x+y+l=0,故斜率先=-1,則傾斜角為135。，A正確,

對(duì)于B,4U等價(jià)于a-1+a=0,解得a=g,故B正確，

對(duì)于C,若4〃/?，。(。一1)-1=0且awa—l,故a=故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,4：無(wú)+即+1=0令了=0且x+l=0,解得x=-l,y=0,故恒過(guò)(-1,0),D正確，故選：

ABD.

10.【答案】BC

【詳解】A選項(xiàng)：VM在4G上且4G///C,

到NC的距離等于4G到4C的距離，則為定值1，

高二數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)共7頁(yè)

??MAC——*1,V2=――?故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ATVX/IC22

如圖所示建系，力(1,0,0),川1,1,0),￡>(0,0,0),

與而同向的單位向量為瀉=V6V6V6

B選項(xiàng)：=J,]/

\AM\A

故B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)：益=(0,1,0),W=(|,1,l),而=(-1,0,0),函=(1,1,1)

__1

cos=—%=乎，故C選項(xiàng)正確；

\AB\\DM\lx^|6

D選項(xiàng)：設(shè)元=(1,1,一1)，

則風(fēng).元=lxl+lxl+lx(—l)w0,Z0-n=-lxl+0xl+0x(-l)^0,

即西不垂直萬(wàn)，石不垂直力，-1）不是面/耳。的一個(gè)法向量，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選:

BC.

11.【答案】AD

【詳解】對(duì)于A中，由橢圓C:江+2=1,可得。=5,6=3,c=4,

259

<l<tanZ^CO=-=-<V3,可得45?！?片CO<60。，所以90。</片2工<120。，故在第一象

b3

限有點(diǎn)加，使得/片其g=90。，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性四個(gè)象限各有一個(gè)，一共4個(gè)，所以A正確；

22%

對(duì)于B中，設(shè)M@y),則全+方=1,且/(一5,0),8(5,0),nj^x2-25--y/,

yyy2y29

則《=-石為定值，所以B錯(cuò)誤.

對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得I即|+|%|=10,

則

層+金=[向+尚]（麗+心」）$]2

高二數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)共7頁(yè)

\MFA\ME\I-I

當(dāng)且僅當(dāng)晨?二方詈時(shí)，即吹=M片=5時(shí)等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤.

1111

|A/Z^|\MF2\

對(duì)于D中，由點(diǎn)N在橢圓外，設(shè)直線科,穿與橢圓相交于乂,生，

如圖所示，則（pw|+|5=W周+|NlM=|g|=J（4+4）2+42=46,

因?yàn)閨叫|=4,且|跖V|+|M|=2a+pW|-|M^=10+pW|-|M^,

可得|兒叫-|好閆”|,gp\MN\-\MF2\<4,

所以（pW|+MFJL=10+MM—|也印=10+的|=14,所以|跖V|+|M|平底14],

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.【答案】1

【詳解】由題意知，斜率為tan45o=l,貝！1直線方程為尸2=x-l,令即尤=0,y=l,

直線/的縱截距為1.故答案為：1.

【答案】豆

13.

2

【詳解】由已知圓得標(biāo)準(zhǔn)方程為（》-球+3+3）2=/（，＞0）的圓心為（1,-3）,半徑為『，依題意,

|1-（-3）+1|5V25&

=三一.故答案為:

F

14.【答案】2或友

3

【詳解】當(dāng)機(jī)＞0,所以e="里”=2.當(dāng)加＜0,e?尸=巫，故答案為：2或氈.

y/my/-3m33

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.

【詳解】（1）設(shè)BC中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（%,%）,則/=寸=-1,%==干=0,----------------2分

???8C邊的中線/。過(guò)點(diǎn)/（2,2）,0（—1,0）兩點(diǎn),

2-0

AD所在直線方程為y-o=（X+1）------------------------------------------------------------5分

2-（-1）

即2x—3y+2=0；6分

高二數(shù)學(xué)答案第4頁(yè)共7頁(yè)

(2)???刀)的斜率左=2-(-2]二42=--------------------------------------8分

-6-4105

.?.8C的垂直平分線的斜率左=*,---------------------------------------------10分

2

.-.BC的垂直平分線所在直線的方程為y-0=|(x+l),即5x—2y+5=0.-------------13分

16.

【詳解】(1)由題意得2。=4,------------------------------------------------1分

二=理解得c=g,a=2,---------------------------------------------------3分

a2

故〃=a2—c2=4—3=1，--------------------------------------------------4分

丫2

故橢圓方程為二+/=1；------------------------------------------------------5分

4

y=x-l

(2)由爐2，得5——8x=o,----------------------------------------------7分

—+y=1

所以三角形AOB面積：S=-\AB\d=l-x—x—=-----------------------15分

2112525

17.

【詳解】(1)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,連接OE,則OE//R4,所以平面/5C。，

所以0c三條直線兩兩互相垂直，---------------------------------------------1分

以。所在的直線分別為x,V,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。制z,

---------------2分

由題意知。/=1,。。=2,

則A(-l,0,0),5(0,-1,0),C(l,0,0),r>(0,2,0),P(-l,0,2),￡(0,0,1)

AD=(1,2,0),AE=(1,0,1)------3分

設(shè)平面的法向量為萬(wàn)=(七,必,zj,

高二數(shù)學(xué)答案第5頁(yè)共7頁(yè)

n-AD=玉+2yx=0

可取3=(2,—1,—2).6分

n-AE=Jr1+4=0

AC?亢4_4

%=(2,0,0),則點(diǎn)C到平面EAD的距離：d=----------------------9分

\n\(4+1+43

(2)PD=(1,2,-2),AD=(1,2,0),PS=(1,-1,-2),BC=(1,1,0),

設(shè)平面尸BC的法向量為成=（%2，%/2）,

n-PB=x,—%—2Z9=0

則—22可取3=(1,—1,1).------------------------------------------------------------12分

n-BC=x2+y2=0

—，/--\蘇方1<

所以cos(m,n)=?~?=-7=~產(chǎn)=-

'7\m\-\n\73x799

所以平面P8C與平面P/。夾角的余弦值為V,----------------------------------------------14分

9

所以平面尸8c與平面夾角的正弦值為叵.----------------------------15分

9

18.

【詳解】（1）圓。1化成標(biāo)準(zhǔn)方程為卜+1）2+5-2『=4,圓心G（-l,2）,半徑q=2,-------------1分

圓G化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（無(wú)-2『+必=9,圓心C?（2,0）,半徑々=3,-------------------------------------2分

由-止l<|CC|=V^=W<4+2=5,所以兩圓相交，---------------------------4分

兩圓方程作差得（xl+/+2x—4y+1）—（x?+—4x—5）=6x—4y+6=0.-----------------------------5分

即公共弦所在直線的方程為3x-2y+3=0.圓G的圓心到直線距離為：

（2）由題可知，設(shè)/（%,必）,8（//2），①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與交點(diǎn)在y軸上，顯然不滿足

題意。------------------------------------9分

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線/方程為：>=依+1

將了=丘+1代入/+了2+2%-4了+1=0,Mx2+（^+l）2+2x-4（fcc+l）+l=0,

整理得，（l+/c2）x2+（2-2k）x-2=0,A=（2-2左丫+8（1+左2）>0,-----------------------------------11分

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得士+馬=2-十-2答k，再f=丁-2磊，----------------------12分

1.~vK1?/C

高二數(shù)學(xué)答案第6頁(yè)共7頁(yè)

2

/.y1y2=(依i+1)(依2+1)=kxxx2+x2)+l=--------------------------------------14分

由CM-LO8可得再入2+%>2=°，---------------------------