湖北省新八校2024-2025學年高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學試卷（含解析）

2024-2025湖北省“新八校”高二年級12月聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知空間向量u=E=「2,1,2〕，若片與石垂直，則同等于()

A.\5B."C.3D.\41

2.橢圓;;+尸=1(01>°)的焦點在工軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則優(yōu)的值為()

11

A.4B.2C.2D.4

3.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加比賽，那么互斥且不對立的兩個事件是()

A,至少有1名女生與全是女生B.至少有1名女生與全是男生

C.恰有1名女生與恰有2名女生D.至少有1名女生與至多有1名男生

4.已知一組數(shù)據(jù)勺，右，…，X”的平均數(shù)和方差分別為80,21,若向這組數(shù)據(jù)中再添加一個數(shù)據(jù)80,數(shù)據(jù)

打，心…，x?,80的平均數(shù)和方差分別為1,s2,則()

A.x>80B.x<80c.s?>21D.s?<21

5.在直三棱柱中，48&4=90°,AC=BC*AAt^2,￡為4cl的中點，貝坦4與NE所成角

的余弦值是()

畫迎1叵

A.10B.15C.2D.10

jf2y2

6.過點M(2,l)的直線/與橢圓百+6=1相交于1,8兩點，且M恰為線段的中點，則直線/的斜率為

()

2_233

A.4B.一1C.2D.

7.已知圓Ci：(x+2)z+(y-l)z=l,圓G：：(x-2)2+(y-3)2=4,M,N分別是圓門，Q上的動點,P為x

軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為()

A.4應一3B.24一3C,4應D.5<2-4

8.在空間直角坐標系中，已知向量工=9也c)(abcW0),點Po(M，y()Zo),點若直線/經(jīng)過點P。,

且以U為方向向量，尸是直線/上的任意一點，則直線/的方程為丁二丁=丁;")若平面"經(jīng)過點Po,

且以U為法向量，P是平面U內(nèi)的任意一點，則平面。的方程為a(x-x<J+b(y-y,\+"z-Zn：=Q,利用以上

信息解決下面的問題：已知平面。的方程為x+y+z—1=0,直線/是平面\+L-2=0與平面\-/+I

的交線，則直線/與平面4所成角的正弦值為()

皂顯5指6

A.3B.5C.9D.9

二、多選題:本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.甲、乙兩名同學進行投籃比賽，甲每次命中概率為07,乙每次命中概率為0.8,甲和乙是否命中互不影響，

甲、乙各投籃一次，貝1()

A.兩人都命中的概率為036B.恰好有一人命中的概率為038

C.兩人都沒有命中的概率為D,至少有一人命中的概率為。7

10.設(shè)動直線+y-m-2=0(mWR)與圓C:(x-3)2+(y-4)2=12交于4B兩點，則下列說法正確的有

()

A,直線/過定點UN)B.當最大時，m=-l

C.當MSI最小時，m-1D.當41cB最小時，其余弦值為:

11.立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍

成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，半正多面體的棱長

為27Z棱數(shù)為24,它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四

面體所得的，下列結(jié)論正確的有()

A.*，i平面GHMN

B.若￡是棱的中點，則/龍與平面/FG平行

C.若四邊形N5CD的邊界及其內(nèi)部有一點P,!'P\=2:2,則點P的軌跡長度為府

D.若E為線段MV上的動點，則/龍與平面8G尸所成角的正弦值的范圍為〔可，3J

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在空間直角坐標系。一X”中，已知點4(3),8(0,1,1),C(1,0,0),則點已到直線BC的距離為__.

13.若曲線y=2+Ji二m與直線y=k(x-i)+4?有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是.

14.已知雙曲線°》a="“>°力?的左、右焦點分別為七,吃,過尸1作一條漸近線的垂線，垂足為

Q,延長&Q與雙曲線的右支相交于點尸，若匕［=3八0,則雙曲線C的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知圓。的圓心在y軸上，且經(jīng)過點八3,11,(2,2).

(1)求圓C的標準方程；

⑵過點P(l，5)的直線/與圓C交于4、3兩點，若I八陰=2\3,求直線/的方程.

16.(本小題15分)

求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:

門)過點I-2.0),且與雙曲線上一彳一?的離心率相等；

,3

口兩頂點間的距離為8,漸近線方程為y=±3X-

17.(本小題15分)

半程馬拉松是一項長跑比賽項目，長度為21M75公里，為全程馬拉松距離的一半20世紀50年代，一些賽

事組織者設(shè)立了半程馬拉松，自那時起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調(diào)研機構(gòu)為了了解人們對“半

程馬拉松”相關(guān)知識的認知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識競賽，將參與知

識競賽者按年齡分成5組，其中第一組［20,25),第二組［25,30),第三組［30,35),第四組［35,40),第五組

［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

h根據(jù)頻率分布直方圖，估計參與知識競賽者的平均年齡;

(2)現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若

有甲(年齡36),乙(年齡42)兩人已確定入選為宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨

機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長的概率；

(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1,第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為

42和2,據(jù)此估計年齡在135,45］內(nèi)的所有參與知識競賽者的年齡的平均數(shù)和方差.

18.(本小題17分)

如圖1,在直角梯形/BCD中，己知48〃。。，48=4〃=加。=1,將△480沿即翻折，使平面5”J.

平面8CD.如圖2,8。的中點為。.

h求證：4。1平面BCD;

ixii?

2若40的中點為G,在線段NC上是否存在點〃，使得平面G/仍與平面BCD夾角的余弦值為14若存

在，求出點〃的位置;若不存在，請說明理由.

19.(本小題17分)

有一個半徑為8的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點尸到紙片圓心￡的距離為4\亞，將紙片折疊，使圓周上某一

點M與點尸重合，每一次折疊，都留下一條折痕，當M取遍圓上所有點時，所有折痕與〃石的交點尸形

成的軌跡記為曲線C,以點尸，￡所在的直線為x軸，線段跖的中點。為原點，建立平面直角坐標系.

門|求曲線C的方程;

(2)若直線，？=4*+01(01>0)與曲線。交于/,8兩點.

(i)當人為何值時，I。川？+1。8|2為定值，并求出該定值;

(ii)過/,8兩點分別作曲線C的切線，當兩條切線斜率均存在時，若其交點。在直線X8-“上，探

究：此時直線/是否過定點?若過，求出該定點;若不過，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】c

解：因為a=（1兒2）,A=1-2,1.21,

￡與9垂直，所以a-E=-2+n+4=Q,

解得n=-2,

所以￡=（1,-2,2）,

所以向=”+（-2）72?=3,

故選：c.

2.【答案】D

解：；橢圓的焦點在x軸上，

???a2=m,=1,貝[]u=\m,b=l

又長軸長是短軸長的兩倍，

.?-4:2\，”，即m=4.

故選。

3.【答案】C

解：“從中任選2名同學參加比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女.

至少有1名女生與全是女生不是互斥事件，故A錯誤；

至少有1名女生與全是男生是對立事件，故3錯誤；

恰有1名女生與恰有2名女生是互斥不對立事件，故C正確；

至少有1名女生與至多有1名男生是相同事件，故。錯誤.

故選：C.

4.【答案】D

解：由題得：31+*2+'“+區(qū)）?80,所以小+肛+…+x.=80n,則新數(shù)據(jù)平均數(shù)為

*=+（勺+孫+”+/+80）=$（80"80）=80;故/呂錯誤；

且由題意小時8°產(chǎn)+(工?的)“+…+(XL90力.21,所以

(Xj-80)2+(Xj-80)2++(x?-80)*=21n,

則新數(shù)據(jù)方差為

S2=*■[(*1-80)2+(XJ-8O)2+…+(x?-80)2+(80-80)2)

=占【(刖-80))+(*z-80)2+-+(與-80力=$X21nV21

故。正確.故選：D.

5.【答案】B

解：以G為原點，以67,麗，而為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，

BC=AC=AAt=2,

則12JI.2),f：1.0.0i,8(022),4(2,0,0),

所以荏=(-1,0,-2),?4；=|2,-2,-2),

一次".84；l-上4__嫗

所以cos<AE,*-|Af|國A/WZ)>?--2)，?O15,

故84與/￡所成角的余弦值為巾.

故選：B.

6.【答案】D

解：顯然M(2,l)在橢圓5+6=1內(nèi)，

當直線/的斜率不存在，即直線/方程為'=2時，4(2,拘，S(2,-<3),或磯2八團，川2.一\用,

M(2,l)不是線段的中點，所以直線/的斜率存在，

'W+4=1

7g

設(shè)8(必必)，貝1|(不+b-1,

J?.y；)

兩式相減并化簡得一^4，"一,

4

又力+X；=4,y,+y,=2,代入得i；+：*=",解得卜二一二，故選口

7.【答案】A

解：圓Ci：(x+2)z+(y-l)2=l,圓心為g(-2,l),半徑r1=l,圓Cz：(x-2)2+=4,圓心為

C?(2,3),半徑為「2=2,如圖:

圓C1關(guān)于X軸的對稱圓為圓Q'：(X+2)2+3+1)2=1,連接的七2,交X軸于尸，交圓G'于〃，交圓G于

N,此時，IPMI+IPM最小，最小值為|PM|+\PN\=IQGl-ri-r?=7(2+2)2+(3+1)2-1-2=4&-3,

故選：兒

8.【答案】A

解：???平面，1的方程為x+y+z—1=0,：?平面《的一個法向量方=(11，1),

同理，可得平面X+2丫-2=0的一個法向量ri=(1.2.01,平面+1=0的一個法向量B

設(shè)平面K?2v2-。與平面、zM-0的交線的方向向量為3=(x,yz),

f-n=x+2y=0

則L"，取J=-2),

設(shè)直線/與平面口所成角為°,

貝iJsinO=|cos<m,Q>I=Vl2+la+l2-V(-2)J+12+(-2)2=3,

故選人

9.【答案】AB

解：設(shè)事件/為“甲中靶”，設(shè)事件5為“乙中靶”，這兩個事件相互獨立,

對于N,都中靶的概率為。(48)=P(4)P(B)=0.7X0.8=0.56,故/正確;

對于B,恰好有一人中靶的概率為PS)P(H)+P(4)P(B)=07x0.2+0.3x。H=u：＜H,故臺正確；

對于C,兩人都不中靶的概率為汽AR}=P(A]P(?)=03X0.2=0.06,故C錯誤；

對于。，至少一人中靶，其對立事件為兩人都不中靶，

故至少一人中靶的概率為1-P(而)■1-P(?P(B)?1-0.3x02=0.94,故。錯誤；

10.【答案】ABC

產(chǎn)-1=0r=1

解：對于選項/,動直線，：mx+y-m-2=0,可得：m(x-l)+y-2?0,由ly-2=0得ly=2,即直線/

過定點(1，2),即選項/正確；

對于選項3,當取得最大值時，直線/過圓心(3,4),則3m+4—m—2=0,得m=-l,選項8正確；

對于選項C,當團印取得最小值時，直線/與(3,4)和(1,2)的連線垂直，經(jīng)過(3,4)和(1,2)的直線的斜率為1,

故直線/的斜率為-1,故m=l,選項C正確：

對于選項。，當〃CB最小時，|/18|最小，此時，直線/與(3,4)和(1,2)的連線垂直，則

=、，(2、3)2+(3-1尸+(4-2/)=4

(2—尸+(2-)]#_1

由余弦定理可得2"=JX.TX.LJ即選項。錯誤；

故選：MC.

11.【答案】ACD

解：“阿基米德體”是由如圖所示得到的，即“阿基米德體”的所有頂點都是正方體的棱的中點.

對于A選項，由圖可知八(，J-平面GHMN,A選項正確；

對于8選項，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面4FG〃平面。AHN,

而/ffi1與平面D5HN相交，故HE與平面NFG不平行，2選項錯誤；

對于C選項，半正多面體的棱長為2\泛，所以正方體的棱長為4,

在正方體中，F(xiàn)Q，平面48cD,得FQLPQ,故IPQI=vl所2?|FQP=\(2\6：?22?2,

所以點尸的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓，

又點P在四邊形N5CD的邊界及其內(nèi)部，所以點P的軌跡是劣弧48,

所以點尸的軌跡長度為2=",故c正確；

。選項，如圖建立空間直角坐標系,

則”(2,4,4),G(4.2,4),F(W),設(shè)E(a,2-a,4),則aC[0,2],

所以，花=(a-Z-2-<Mn,HG=(2,-2,0),//F=(2,0.-2),

設(shè)平面HGF的法向量為；=,HE與平面〃G尸所成角為0,

(H6n=2x-2y=0

則.7=2x-2z=0,取x=l,貝=

—b-n>

sinO=|cos<HE,

由aw[0,2],可得向”句一.中，故Z）選項正確.

故選

12.【答案】r

解：由題意可得，BA=(0A-1),sc=(l,-l,-l),

府/_

則點/到直線8c的距離為、、

故答案為：*

3

-

4

13.【答案】

解：如圖，化簡曲線y=2+JT得：xJ+(y-2)2=l,yN2表示以C(ON)為圓心，1為半徑的圓的上半

圓.

直線y=k(x-l)+4經(jīng)過定點4(1,4)且解率為k,半圓y=2+丫呈芋與直線y=k(x-l)+4?有兩個交點，

設(shè)直線與半圓的切線為半圓的左端點為見-1,2),

當直線的解率后大于的斜率且小于或等于N3的斜率時，直線與半圓有兩個相異的交點，

|2十4|

由點到直線的距離公式，當直線與半圓相切時調(diào)足

.3.3

解之得""1,即"如二鼠

又因為直線N8的解率力”=1,所以直線的解率左的范圍為

故答案為：(「”

14.解：雙曲線的方程為營-6*.41〉。1*〉。)，一條漸近線方程為bx-ay=O,

設(shè)尸1(-C,O),可得|F】QI=&-妒=7=匕若R?麗,則I嗎I-3b,

由雙曲線的定義可得IPF/I=儼八12u=3b2a,

在直角三角形QFW中，IOF』=C,

［「/；］??儼F1F-1。氏F(〃戶+(勸一2a>

coszPFiF2=

在APFiF」中,2xIFJFJIx|PFXI.2x(2r)x(3b)

=c(nzOF|(?=-即有叱一叱+i2ab=12此

b3

即4b2+12ab=12〃，即;；二Q,

則、1+卬2.故答案為：2,

15.【答案】解：⑴設(shè)圓心的坐標為門0》)，由題意可得+；1-兒「=\22+(2-次，解得b=2,所

以，圓的半徑為r=\：+=2,

因此，圓C的標準方程為/+?-2，；=4

(2)當|48|=2\3時，圓心c到直線/的距離為、/一(2-),

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=l,此時，圓心C到直線/的距離為1,符合題意；

當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y-5=A(x-l),即kx-y+5-k=0,貝嚴一1，解

得k-此時，直線/的方程為4x-3y+11=0一

綜上所述，直線/的方程為*=1或4x-3y+11=0.

16.【答案】解：由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，且。:2,

雙曲線二?16—?的離心率為J1+642,

￡_￡_J5

則)=G=2,得c=7寫，故b=l,

所以雙曲線的方程為：一丫,=1；

⑵由題意知a=4,

b_b3

當雙曲線的焦點在X軸上時，U=4=2得b=6,

所以雙曲線的方程為4一二二|;

043.8

當雙曲線的焦點在》軸上時，Z-Z二，得。二;-,

y2X2_

所以雙曲線的方程為16一￥=L

x2y2R.

綜上所述，雙曲線的方程為TT「寶=1或16一不=】?

17.【答案】解：T)設(shè)參與知識競賽者的平均年齡為X,

則x=(22.5x0.02+27.5x0.07+32.5X0.05+37.5X0.04+42.5X0.02)X5=31.75.

門由題意得，第四組應抽取。2K2。-I人，記為4(甲)，B,C,D,

第五組應抽取。1x20=2人，記為E(乙)，F(xiàn),

對應的樣本空間為：

a={(4B),(4G，(4D)，(4?,(3(B,C),(B,D),(8,E)(8F)(C,D),(CE),(CC3),(E,F)},

設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則M=1n.(6JUCJUDEMEJU

_.?MM)93

所以p(zs?切W

13)設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為4,4，方差分別為回，

則行=36,布=42,、[=1,St=2,

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為)，方差為M,

-4xji2xy4x36f2x42”

則，=-=--------6-------=38,

產(chǎn)?洞/OHW.gfri.g-z)2]=箱+(36-38%+彳[2+(42-38)]■§

28

據(jù)此估計第四組和第五組所有人的年齡的平均數(shù)為38,方差為一

18.【答案】解：⑴證明：因為八8一八仇3。的中點為。，所以4018。，

又因為平面，WD1■平面BCD,平面八。DC平面BCD=8。，40u平面4a0,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得4°J-平面BCD；

2)取DC的中點為M,連接M0,則MO〃BC,由圖1直角梯形可知，/氏以)為正方形，

0M?CM>1,BD*BC=v2,DC=2,..BDIBC,BD1OM.

由LIM。1平面BCD,可知OD,OM,CM兩兩互相垂直，

分別以O(shè)D,OM,CM為x,y,z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系,

z

II

則0（0.0.0）,磯￥，0，￥）B（-乎,0,0）C（一￥、”）），4（?！恪?

設(shè)布=沆（04441）,一￥九\24-￥久+子）

GH=（一￥"乎,\,124一當入+乎）GB"..

/勺七味，4*

設(shè)平面GHB的法向量為n-ILV2）,

\GH?7=（■辛人一芋）x+gy+

-?1—A-?1T

取x=l,則”=（1，丁廣3）,即平面G/ffi的法向量為"=（1，丁，-3）

由4。1平面BCD,取平面BCD的法向量m=（0,0,1）,

設(shè)平面GHB與平面BCD的夾角為0,

"?一，Im?n|?卜3|3/TT

一?-兀>|=?二」=[\14-

則cosO=|cosVm,|m||n|ql+（亍>+（-3）214

解得“=;或4=一1（舍）

所以，線段NC上存在點〃，使得平面與平面BCD夾角的余弦值為2'」,

點〃位于線段NC靠近/的三等分點處.

19.【答案】解：（1）由題意可知，\PF\+\PE\=\PM\+\PE\=\ME\=8>\EF\=4,

所以點尸的軌跡是以尸，￡為焦點，長軸長為8的橢圓,