2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第五章 三角函數(shù) 5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）說(shuō)課稿 新人教A版必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）說(shuō)課稿新人教A版必修第一冊(cè)一、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容為新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4），涉及人教A版必修第一冊(cè)的相關(guān)內(nèi)容。主要包括正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及三角函數(shù)周期性的概念和證明。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的基本圖像和性質(zhì)，并能夠運(yùn)用周期性概念解決實(shí)際問(wèn)題。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)

本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng)。通過(guò)分析三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，學(xué)生能夠提升數(shù)學(xué)抽象能力，理解函數(shù)概念；通過(guò)探究三角函數(shù)周期性，鍛煉邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力；通過(guò)繪制和觀察函數(shù)圖像，增強(qiáng)直觀想象能力。此外，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題解決，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、學(xué)習(xí)者分析

1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)掌握了高中數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)的基本概念，包括函數(shù)的定義、性質(zhì)以及函數(shù)圖像的基本繪制方法。此外，學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖像與性質(zhì)有一定的了解，這為學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣程度不一，部分學(xué)生對(duì)三角函數(shù)較為感興趣，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)三角函數(shù)在自然界和工程領(lǐng)域的應(yīng)用廣泛。學(xué)生的學(xué)習(xí)能力方面，部分學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維和空間想象能力，能夠快速理解函數(shù)圖像的變化規(guī)律。而在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生既有偏好于通過(guò)直觀圖像理解函數(shù)性質(zhì)的，也有偏好于通過(guò)公式推導(dǎo)來(lái)掌握知識(shí)的學(xué)生。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是對(duì)周期性的理解不夠深入，難以把握周期函數(shù)的特點(diǎn)；二是圖像變換的規(guī)律掌握不牢固，導(dǎo)致圖像繪制不準(zhǔn)確；三是將三角函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題解決時(shí)，缺乏實(shí)際情境的聯(lián)想和建模能力。針對(duì)這些困難，教師需要通過(guò)多樣化的教學(xué)方法和練習(xí)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備

1.教材：確保每位學(xué)生都具備人教A版必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)教材，以便學(xué)生能夠跟隨教材內(nèi)容學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像示例圖片，周期性變化演示視頻，以及相關(guān)的圖表和數(shù)學(xué)軟件截圖，以幫助學(xué)生直觀理解函數(shù)性質(zhì)。

3.教學(xué)軟件：利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件如GeoGebra等，為學(xué)生提供動(dòng)態(tài)繪制函數(shù)圖像的工具，便于觀察函數(shù)圖像的變化。

4.教室布置：設(shè)置黑板或白板，用于展示關(guān)鍵圖像和公式，并預(yù)留空間供學(xué)生分組討論和展示學(xué)習(xí)成果。五、教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念和圖像，今天我們將繼續(xù)深入探討三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，特別是正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像特征。請(qǐng)大家回顧一下，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些三角函數(shù)的性質(zhì)？

（學(xué)生）老師，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性、奇偶性和對(duì)稱(chēng)性。

（教師）很好，那么今天我們將重點(diǎn)關(guān)注這三個(gè)函數(shù)的圖像特征，尤其是它們的周期性和對(duì)稱(chēng)性。首先，讓我們來(lái)看一下正弦函數(shù)的圖像。

二、正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（教師）同學(xué)們，正弦函數(shù)的圖像是怎樣的呢？我們知道，正弦函數(shù)的周期是$2\pi$，這意味著函數(shù)圖像每隔$2\pi$個(gè)單位長(zhǎng)度就會(huì)重復(fù)一次。現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)教材，找到正弦函數(shù)的圖像，觀察一下它的形狀和特點(diǎn)。

（學(xué)生）老師，正弦函數(shù)的圖像是一個(gè)波浪形的曲線，它在y軸的正半軸和負(fù)半軸之間交替。

（教師）非常好，正弦函數(shù)的圖像具有周期性和對(duì)稱(chēng)性。它的周期是$2\pi$，這意味著圖像每隔$2\pi$個(gè)單位長(zhǎng)度就會(huì)重復(fù)。同時(shí)，正弦函數(shù)是偶函數(shù)，即圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

（教師）接下來(lái)，我們通過(guò)一個(gè)實(shí)際例子來(lái)加深對(duì)正弦函數(shù)圖像的理解。假設(shè)我們有一個(gè)正弦波形的振動(dòng)，其頻率為1Hz，振幅為5cm，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)波形在5秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)是多少？

（學(xué)生）老師，振動(dòng)次數(shù)等于頻率乘以時(shí)間，所以是1Hz乘以5秒，等于5次。

（教師）很好，這個(gè)例子展示了正弦函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用?，F(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上繪制一個(gè)周期為$2\pi$，振幅為1的正弦函數(shù)圖像，并標(biāo)注出它的周期和對(duì)稱(chēng)軸。

三、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（教師）接下來(lái)，我們來(lái)探討余弦函數(shù)的圖像。與正弦函數(shù)類(lèi)似，余弦函數(shù)也是一個(gè)周期函數(shù)，其周期也是$2\pi$。但是，余弦函數(shù)的圖像與正弦函數(shù)的圖像有何不同呢？

（學(xué)生）老師，余弦函數(shù)的圖像比正弦函數(shù)的圖像向右平移了$\pi/2$個(gè)單位。

（教師）正確。余弦函數(shù)的圖像是正弦函數(shù)圖像向右平移$\pi/2$個(gè)單位得到的。這意味著余弦函數(shù)在$x=\pi/2$時(shí)取得最小值，而在$x=-\pi/2$時(shí)取得最大值。

（教師）現(xiàn)在，讓我們通過(guò)一個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)觀察余弦函數(shù)的圖像。請(qǐng)同學(xué)們拿出你的數(shù)學(xué)軟件，比如GeoGebra，輸入余弦函數(shù)的公式，觀察并記錄下函數(shù)圖像的特點(diǎn)。

（學(xué)生）老師，我發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)的圖像也是波浪形的，但是它的起始點(diǎn)在x軸的正半軸上。

（教師）很好，余弦函數(shù)的圖像與正弦函數(shù)的圖像非常相似，只是它們的起始點(diǎn)不同?，F(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上繪制一個(gè)周期為$2\pi$，振幅為2的余弦函數(shù)圖像，并標(biāo)注出它的周期和對(duì)稱(chēng)軸。

四、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（教師）正切函數(shù)是另一個(gè)周期函數(shù)，它的周期是$\pi$。與正弦和余弦函數(shù)不同，正切函數(shù)的圖像有垂直漸近線。請(qǐng)大家觀察正切函數(shù)的圖像，思考一下它的周期性和漸近線。

（學(xué)生）老師，正切函數(shù)的圖像是波浪形的，但是它有無(wú)數(shù)個(gè)垂直漸近線，這些漸近線發(fā)生在$x$的奇數(shù)倍$\pi/2$處。

（教師）正確。正切函數(shù)的圖像在$x$的奇數(shù)倍$\pi/2$處有垂直漸近線，這意味著函數(shù)在這些點(diǎn)附近是不連續(xù)的?，F(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上繪制一個(gè)周期為$\pi$，振幅為1的正切函數(shù)圖像，并標(biāo)注出它的周期、漸近線和對(duì)稱(chēng)軸。

五、周期性的概念和證明

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性。那么，什么是周期性呢？周期性是指函數(shù)圖像在某個(gè)固定的距離后重復(fù)出現(xiàn)。接下來(lái)，我們將證明正弦函數(shù)的周期性。

（學(xué)生）老師，我想知道如何證明正弦函數(shù)的周期性。

（教師）很好，證明周期性的方法之一是使用三角恒等式。我們知道，正弦函數(shù)滿(mǎn)足以下恒等式：$\sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta)$。這個(gè)恒等式告訴我們，正弦函數(shù)在增加$2\pi$后，其值不變，因此正弦函數(shù)的周期是$2\pi$。

（教師）現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上用三角恒等式證明正弦函數(shù)的周期性。

（學(xué)生）老師，我明白了，正弦函數(shù)的周期性可以通過(guò)這個(gè)恒等式來(lái)證明。

六、應(yīng)用與練習(xí)

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及它們的周期性?，F(xiàn)在，讓我們通過(guò)一些實(shí)際問(wèn)題來(lái)鞏固所學(xué)知識(shí)。

（學(xué)生）老師，我想要練習(xí)一下如何將三角函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

（教師）很好，這里有一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：一個(gè)彈簧振子的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)是$y=5\sin(2\pit)$，其中$t$是時(shí)間（秒）。請(qǐng)問(wèn)，振子的最大位移是多少？它的周期是多少？

（學(xué)生）老師，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，振子的最大位移是5cm，周期是1秒。

（教師）正確。這個(gè)例子展示了三角函數(shù)在描述物理現(xiàn)象中的應(yīng)用。現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上完成以下練習(xí)題：

1.繪制正弦函數(shù)$y=\sin(2x)$的圖像，并標(biāo)注出它的周期和對(duì)稱(chēng)軸。

2.繪制余弦函數(shù)$y=\cos(x+\pi/4)$的圖像，并標(biāo)注出它的周期和對(duì)稱(chēng)軸。

3.繪制正切函數(shù)$y=\tan(3x-\pi/6)$的圖像，并標(biāo)注出它的周期和漸近線。

七、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及它們的周期性。我們通過(guò)觀察圖像、使用三角恒等式和解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)加深對(duì)這些概念的理解。希望大家能夠?qū)⑦@些知識(shí)應(yīng)用到日常生活中，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（學(xué)生）老師，今天的學(xué)習(xí)讓我對(duì)三角函數(shù)有了更深入的了解，謝謝老師！

（教師）不客氣，同學(xué)們，希望你們能夠繼續(xù)努力，不斷探索數(shù)學(xué)的奧秘。下課！六、教學(xué)資源拓展

1.拓展資源：

-三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用：介紹三角函數(shù)在振動(dòng)、波動(dòng)和流體力學(xué)中的角色，如簡(jiǎn)諧振動(dòng)、聲波傳播和流體動(dòng)力學(xué)中的波動(dòng)方程。

-三角函數(shù)在工程學(xué)中的應(yīng)用：探討三角函數(shù)在信號(hào)處理、電路分析和結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要性，如傅里葉變換和振動(dòng)分析。

-三角函數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用：介紹三角函數(shù)在圖形學(xué)、圖像處理和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的使用，如坐標(biāo)變換和圖像的幾何變換。

-三角函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：討論三角函數(shù)在時(shí)間序列分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和金融數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，如周期性經(jīng)濟(jì)波動(dòng)和金融衍生品定價(jià)。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書(shū)籍：《數(shù)學(xué)與物理的橋梁》、《工程數(shù)學(xué)》和《數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用》等書(shū)籍，以了解三角函數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。

-觀看教育視頻：通過(guò)在線教育平臺(tái)觀看關(guān)于三角函數(shù)在物理、工程和計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用的視頻教程，如KhanAcademy、Coursera等提供的課程。

-實(shí)踐項(xiàng)目：鼓勵(lì)學(xué)生參與實(shí)際項(xiàng)目，如設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的振動(dòng)分析系統(tǒng)，使用三角函數(shù)來(lái)模擬和預(yù)測(cè)振動(dòng)的行為。

-制作教學(xué)工具：學(xué)生可以嘗試制作一個(gè)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)圖像生成器，使用計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言如Python或MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)。

-參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（AMC）或國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO），這些競(jìng)賽通常包含與三角函數(shù)相關(guān)的題目。

-探索數(shù)學(xué)歷史：研究三角函數(shù)的歷史發(fā)展，了解歷史上著名的數(shù)學(xué)家對(duì)三角函數(shù)的貢獻(xiàn)，如歐幾里得、阿基米德和牛頓等。

-開(kāi)展小組研究：組織學(xué)生進(jìn)行小組研究，探討三角函數(shù)在特定領(lǐng)域的應(yīng)用，如音樂(lè)理論中的音調(diào)分析或建筑設(shè)計(jì)中的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

-創(chuàng)作數(shù)學(xué)論文：指導(dǎo)學(xué)生撰寫(xiě)關(guān)于三角函數(shù)在某個(gè)特定領(lǐng)域應(yīng)用的論文，通過(guò)文獻(xiàn)綜述和案例分析來(lái)展示他們的研究成果。七、教學(xué)反思與總結(jié)

同學(xué)們，今天我們一起探討了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，這節(jié)課讓我收獲頗豐，同時(shí)也讓我對(duì)教學(xué)有了更深的思考。

首先，我覺(jué)得在教學(xué)方法上，我嘗試了多種教學(xué)手段，比如通過(guò)圖像展示、實(shí)際案例分析和小組討論等方式，來(lái)幫助學(xué)生更好地理解和掌握三角函數(shù)的性質(zhì)。我發(fā)現(xiàn)，這種方法對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度非常有效。學(xué)生們?cè)谟懻摵蛯?shí)踐中，能夠更加主動(dòng)地去探索和發(fā)現(xiàn)知識(shí)，而不是被動(dòng)地接受。

在教學(xué)策略上，我注重了知識(shí)的連貫性和實(shí)用性。比如，在講解正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性時(shí)，我不僅介紹了理論，還結(jié)合了實(shí)際生活中的例子，如彈簧振子的振動(dòng)和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期性。這樣的教學(xué)策略讓學(xué)生們更容易理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

然而，在教學(xué)管理方面，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足。比如，在小組討論環(huán)節(jié)，個(gè)別學(xué)生參與度不高，這可能是因?yàn)樗麄儗?duì)數(shù)學(xué)本身就不太感興趣，或者是因?yàn)樗麄儾涣?xí)慣于在課堂上表達(dá)自己的觀點(diǎn)。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我將在今后的教學(xué)中更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，嘗試提供更多的個(gè)性化學(xué)習(xí)支持。

對(duì)于本節(jié)課的教學(xué)效果，我覺(jué)得整體上是滿(mǎn)意的。大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確地繪制三角函數(shù)的圖像，并能描述出它們的周期性、奇偶性和對(duì)稱(chēng)性。在解決實(shí)際問(wèn)題的部分，學(xué)生們也能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題。

當(dāng)然，也有一些學(xué)生在這方面的掌握還不夠扎實(shí)，特別是在理解和應(yīng)用周期性概念時(shí)。對(duì)于這部分學(xué)生，我會(huì)在課后進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。

在教學(xué)總結(jié)方面，我認(rèn)為以下幾點(diǎn)是值得肯定的：

1.學(xué)生們對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)有了更深入的理解，能夠靈活運(yùn)用這些性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

2.學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力得到了提升，他們?cè)谟^察、分析和推理方面有了明顯的進(jìn)步。

3.學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣和參與度有所提高，他們?cè)谡n堂上更加積極和主動(dòng)。

當(dāng)然，也存在一些問(wèn)題需要改進(jìn)：

1.部分學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣不高，需要教師采取更多元化的教學(xué)方法來(lái)激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

2.在教學(xué)過(guò)程中，需要更加注重學(xué)生的個(gè)體差異，提供更加個(gè)性化的學(xué)習(xí)支持。

3.需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)，讓他們能夠在實(shí)際情境中靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。八、板書(shū)設(shè)計(jì)

①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義

-三角函數(shù)的周期性

-三角函數(shù)的奇偶性

-三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

-三角函數(shù)的圖像繪制方法

②關(guān)鍵詞：

-周期（Period）

-奇偶性（Odd/Even）

-對(duì)稱(chēng)性（Symmetry）