2018春北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)專題沖刺第一章三角形的證明

第一章三角形的證明專題一本章知識梳理思維導(dǎo)圖考綱要求1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.2.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，底邊上的高線、中線及頂角平分線重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形；探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°；探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形（或有一個(gè)角是60°的等腰三角形）是等邊三角形.考綱要求3.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.4.探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；反之，到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.5.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上.知識梳理1.等腰三角形的性質(zhì)定理的推論等腰三角形頂角的__________、底邊上的______及底邊上的_______互相重合（簡稱三線合一）.2.等邊三角形的性質(zhì)與判定（1）性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都______，并且每個(gè)角都等于______.（2）判定定理：①三個(gè)角都______的三角形是等邊三角形.②有一個(gè)角等于_______的等腰三角形是等邊三角形.角平分線中線高線相等60°相等60°知識梳理3.反證法（1）在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論_______，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相_______的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定______.這種證明方法稱為反證法.（2）用反證法證明的一般步驟：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)命題的結(jié)論的反面成立）.

不成立成立矛盾知識梳理②對該假設(shè)進(jìn)行推理論證，得出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果.③由此判定假設(shè)不成立，而原命題的結(jié)論成立.

4.含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于__________.斜邊的一半知識梳理5.逆命題、互逆命題、逆定理、互逆定理（1）在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的__________，那么這兩個(gè)命題稱為_________，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的_________.（2）如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是________，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為__________，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的_________.結(jié)論和條件互逆命題逆命題真命題互逆定理逆定理知識梳理6.線段垂直平分線（1）線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段_________的距離相等.（2）線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理到一條線段_________距離相等的點(diǎn)，在這條線段的__________上.（3）三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn)的性質(zhì)三角形三條邊的__________相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到__________的距離相等.兩個(gè)端點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)垂直平分線垂直平分線三個(gè)頂點(diǎn)知識梳理7.角平分線（1）角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的________的距離相等.（2）角平分線性質(zhì)定理的逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的________距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的________上.（3）三角形三條角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)三角形的三條________相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到_______的距離相等.兩邊兩邊平分線角平分線三條邊專題二本章易錯點(diǎn)歸總易錯點(diǎn)1對于無圖問題，考慮欠周全，造成漏解對于此類無圖題目時(shí)，需要學(xué)生畫出滿足題目的所有圖形來解題，學(xué)生往往只會畫出一種最常見的圖形來解題從而導(dǎo)致漏解.【例1】等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).易錯提示：就此題而言，等腰三角形一腰上的高既可以在等腰三角形內(nèi)，也可以在等腰三角形外，需分類討論.易錯點(diǎn)正解：如在△ABC中，①當(dāng)高在等腰三角形內(nèi)部時(shí)，如圖Z1-1①，由題設(shè)知，∠ACD=45°，故∠A=45°；②當(dāng)高在等腰三角形外部時(shí)，如圖Z1-1②，由題設(shè)知，∠ACD=45°，故∠DAC=45°，所以∠BAC=180°-45°=135°.故此等腰三角形的頂角為45°或135°.易錯點(diǎn)1.已知等腰△ABC，腰AB上的高CD與另一腰AC的夾角為30°，則其頂角的度數(shù)為（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°學(xué)以致用D易錯點(diǎn)2誤用“三線合一”定理在運(yùn)用“三線合一”定理時(shí)，常因未搞清“三線”具體指的是哪三條線段，而亂用“三線合一”定理，導(dǎo)致解題過程錯誤.【例2】如圖Z1-2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，求證：△AEF是等腰三角形.易錯點(diǎn)易錯提示：“三線合一”是指等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線與底邊上的高互相重合，并不是針對所有三角形都具有的性質(zhì).易錯點(diǎn)

正解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠C.又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.而∠AEB＝∠C＋∠CBE，∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形.2.如圖Z1-3，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，∠A=40°，求∠DBC的度數(shù).學(xué)以致用專題三本章重要考點(diǎn)專練——等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)與判定一、選擇題1.如圖Z1-4，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，且DA=DC，BD=BA，則∠B的大小為（）A.40°B.36°C.30°D.25°B2.若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為2cm，則該等腰三角形的底邊長為（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm3.如圖Z1-5，已知等腰△ABC，AB=AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABEAC4.如圖Z1-6，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE…，依次作下去，和AB相等的線段（不包括AB）最多可作（）A.3條B.4條C.5條D.6條C二、填空題5.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，1），在x軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有_____個(gè).6.如圖Z1-7，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于點(diǎn)D，則∠CBD＝_____.418°7.如圖Z1-8，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5cm，則AB＝_______.

5cm8.如圖Z1-9，在Rt△ABC中，D，E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn)，且BD＝BC，AE＝AC，則∠DCE的大小為________.45°9.如圖Z1-10，△ABC是邊長為6的等邊三角形，DE⊥BC于點(diǎn)E，EF⊥AC于點(diǎn)F，F(xiàn)D⊥AB于點(diǎn)D，則AD=_______.2三、解答題10.如圖Z1-11，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，若AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各內(nèi)角的度數(shù).解：∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠1＝∠2.∵BD＝AD，∴∠B＝∠3.又∵∠1＝∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°.11.如圖Z1-12，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)Ｅ在ＡＢ上，點(diǎn)Ｄ在ＡＣ的延長線上，且ＣＤ＝ＥＢ，ＥＤ交ＢＣ于點(diǎn)M，求證：EM＝MD.證明：如答圖Z1-1，過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，∴∠FEM＝∠CDE，∠EFB＝∠ACB.又AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠EFB.∴BE＝EF.又BE＝CD,∴EF＝CD.∴△EFM≌△DCM（AAS）.∴EM＝MD.12.如圖Z1-13，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB，延長AC至點(diǎn)E，使CE＝AC.（1）求證：DE＝DB；（2）連接BE，試判斷△ABE的形狀，并說明理由.專題四本章重要考點(diǎn)專練——直角三角形全等的判定（HL）、直角三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)一、選擇題1.直角三角形的一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的4倍，那么這個(gè)銳角的度數(shù)是（）A.18°B.36°C.54°D.72°2.將一副直角三角尺如圖Z1-14放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（）A.140°B.160°C.170°D.150°DB3.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖Z1-15所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要（）A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元B4.如圖Z1-16，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC垂足分別是點(diǎn)D，E.則圖中全等的三角形共有（）A.2對B.3對C.4對D.5對A二、填空題5.將兩張矩形紙片如圖Z1-17所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=_______.90°6.如圖Z1-18是屋頂?shù)摹叭恕弊中武摷?，其中斜梁AB＝AC，頂角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD為中柱（即底邊的中線），兩根支撐架DE⊥AB，DF⊥AC，則DE＋DF＝________m.57.如圖Z1-19，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，BE，CF交于點(diǎn)M，如果CM＝4，F(xiàn)M＝5，則BE等于________.128.如圖Z1-20是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h＝_______m.4三、解答題9.已知：如圖Z1-21，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°.過點(diǎn)C作CD⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)D，求△ACD的周長.10.如圖Z1-22，AB=AC，D，E是BC上兩點(diǎn)，且BD=CE，作GE⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，分別與BA，CA的延長線交于點(diǎn)G，F(xiàn)．求證：GE=FD．證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD．∵GE⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，∴∠GEB=∠FDC=90°．∴△BEG≌△CDF（ASA）．∴GE=FD．11.如圖Z1-23，已知某船于上午8點(diǎn)在A處觀測小島C在北偏東60°方向上.該船以每小時(shí)40海里的速度向東航行到B處，此時(shí)測得小島C在北偏東30°方向上.船以原速度再繼續(xù)向東航行2h到達(dá)小島C的正南方D點(diǎn).求船從A到D一共走了多少海里？解：由題意知，∠CAD=30°，∠CBD=60°，CD⊥BD,∴∠BCD=30°.∴BC=2BD.∵船從B到D走了2h，船速為每小時(shí)40海里，∴BD=80（海里）.∴BC=160（海里）.由∠CBD=60°，得∠ABC=120°.∵∠CAD=30°，∴∠ACB=30°.∴AB=BC.∴AB=160（海里）.∵AD=AB+BD，∴AD=160+80=240（海里）.因此船從A到D一共走了240海里.12.如圖Z1-24，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°，求證：AB＝2BC.13.如圖Z1-25，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，且CD＝CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連接EF交CD于點(diǎn)M，連接AM．（1）求證：EF＝AC;（2）若∠BAC＝45°，求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關(guān)系．專題五本章重要考點(diǎn)專練——線段的垂直平分線的性質(zhì)一、選擇題1.如圖Z1-26，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，則BD的長為（）A.1B.1.5C.2D.2.5A2.如圖Z1-27，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，連接BE.若∠A＝35°，則∠CBE的度數(shù)是（）A.20°B.25°C.30°D.35°A3.如圖Z1-28，在銳角△ABC中，直線l為BC的中垂線，直線m為∠ABC的角平分線，l與m相交于點(diǎn)P.若∠A=60°，∠ACP=24°，則∠ABP的度數(shù)為（）A.24°B.30°C.32°D.36°C4.如圖Z1-29，在△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，則∠C等于（）A.28°B.25°C.22.5°D.20°A二、填空題5.如圖Z1-30，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且BC＝BD＋AD，則點(diǎn)D在線段________的垂直平分線上.AC6.如圖Z1-31，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠ABD=________.35°7.如圖Z1-32，在等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)是_______.50°8.如圖Z1-33，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝3cm，BC＝5cm，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，且△BCD和△BED關(guān)于BD對稱，則△ADE的周長為_______cm.4三、解答題9.已知：如圖Z1-34，AB＝AE，BC＝ED，AF是CD的垂直平分線，求證：∠B＝∠E.10.如圖Z1-35，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PN⊥AB于點(diǎn)N，PM⊥AC于點(diǎn)M.求證：BN＝CM.

專題六本章重要考點(diǎn)專練——角平分線的性質(zhì)一、選擇題1.如圖Z1-36，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長是（）A.3B.4C.6D.5A2.如圖Z1-37，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn).若CD=5，則DE的最小值等于（）A.2.5B.4C.5D.10C3.如圖Z1-