高考數(shù)學(xué)一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)練習(xí)卷：計數(shù)原理與概率統(tǒng)計（含解析）

計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易混易錯專項(xiàng)復(fù)習(xí)

【易混點(diǎn)梳理】

1.

名稱定義符號表示

若事件Z發(fā)生，則事件5一定發(fā)生，這時稱事

包含關(guān)系B=A（或/cB）

件8包含事件幺（或事件Z包含于事件8）

如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,

相等關(guān)系A(chǔ)=B

即8衛(wèi)N且/衛(wèi)8,則稱事件Z與事件5相等

事件Z與事件8至少有一個發(fā)生，這樣的一個

并事件事件中的樣本點(diǎn)或者在事件Z中，或者在事件

A\JB（或Z+8）

（和事件）5中，則稱這個事件為事件Z與事件5的并事

件（或和事件）

事件Z與事件8同時發(fā)生，這樣的一個事件中

交事件的樣本點(diǎn)既在事件Z中，也在事件8中，則稱

A^B（或AS）

（積事件）這樣的一個事件為事件幺與事件8的交事件

（或積事件）

若2口8為不可能事件，那么稱事件Z與事件

互斥事件Ar\B=0

B互斥

若為不可能事件，NU8為必然事件，那Zn5=0且

對立事件

么稱事件Z與事件8互為對立事件A\JB=U（。為全集）

2.古典概率模型：我們將具有以下兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概

率模型，簡稱古典概率：

（1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；

（2）等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

3.古典概型的概率公式

（1）在基本事件總數(shù)為〃的古典概型中，每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個基本

事件發(fā)生的概率都是

n

Z包含的基本事件的個數(shù)

（2）對于古典概型，任何事件的概率為P（，）=

基本事件的總數(shù)

4.離散型隨機(jī)變量的分布列

（1）如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，按一定次

序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

（2）一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為七,與，…，冷…,取每一個值

x,（i=l,2,…,〃）的概率P（X=xJ=p,,則下表稱為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布

列.

Xx2xiX"

PPlPlp.Pn

5.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì):

（1）=；

（2）pI+P2+---+P1+---+P?=^；

（3）?（不才■）=2+pM+---+pj（i＜，且z；JeN*）.

6.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型

（1）兩點(diǎn)分布

若隨機(jī)變量X的分布列為

X01

p1-pp

則稱X服從兩點(diǎn)分布.

（2）超幾何分布

「k「n-k

一般地，在含有河件次品的N件產(chǎn)品中任取〃件，其中恰有X件次品，則P（X=左）=號戶

CN

（左=0,1,2,…,加），其中加=min{M〃},且rr事，M,,n、M、NGN*,稱分布列

X01m

000「n-m

P

C"NC"NC"N

為超幾何分布.

7.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XX]x2XiX"

pPxPlPiPn

(1)均值

稱頤丫人占烏+馬上+…+%必+…+52為隨機(jī)變量萬的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨

機(jī)變量取值的平均水平.

(2)方差

稱。(X)=*(x,.-E(X))2p為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏

離程度，并稱JD(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為。(x).

8.均值與方差的性質(zhì)

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D{aX+b}=a2D{X}.

9.兩點(diǎn)分布的均值、方差

若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(l-p).

10.條件概率及其性質(zhì)

(1)一般地，設(shè)48為兩個事件，且P(Z)〉0,稱為在事件幺發(fā)生的條件

下，事件5發(fā)生的概率.

(2)條件概率的性質(zhì)：

(i)它(8⑷4；

(ii)如果B和。是兩個互斥事件，則P(8UC|Z)=尸⑹⑷+P(C|Z).

11.全概率公式

一般地，設(shè)4,出,…,4是一組兩兩互斥的事件，4U4U--U4=Q，且尸(4)〉0力=1,2,一、〃，

則對任意的事件BqC,有尸⑶=三尸(4)尸(耳4)，稱此公式為全概率公式.

Z=1

12.相互獨(dú)立事件

(1)對于事件4B,若Z的發(fā)生與5的發(fā)生互不影響，則稱Z、5是相互獨(dú)立事件.

(2)若，與8相互獨(dú)立,則P(B|/)=P(3),P(AB)=P(B\A)-P(A)=P(A).P(B).

(3)若Z與8相互獨(dú)立，則Z與豆，X與B,N與否也都相互獨(dú)立.

(4)若尸(/B)=P(4)P(B),則幺與3相互獨(dú)立.

13.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(〃重伯努

一般地，在相同條件下重復(fù)做的〃利試驗(yàn))中，設(shè)事件Z發(fā)生的次數(shù)為X,

定

次試驗(yàn)稱為〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(也在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,

義

叫〃重伯努利試驗(yàn))此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作

X?B(〃,p)

計用4G=1,2,…,〃)表示第z次試驗(yàn)結(jié)在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件Z恰好發(fā)

算生上次的概率為

果，貝I

公kk

P(X=k)=cnp(l-p)T(1=0,1,2,…,〃)

p(44…4)=尸(4).尸(4)…尸(4)

式

14.二項(xiàng)分布的均值與方差：若X?B(n,p),則E(X)=〃p,￡?(X)=〃p(l-p).

15.正態(tài)曲線的定義

1(X-JU)2

函數(shù)化S(X)=T—e2b2,xe(-*+oo)(其中實(shí)數(shù)〃和〉0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)分布

72兀b

密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

16.正態(tài)曲線的特點(diǎn)

(1)曲線位于x軸上方且與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對稱；

1

(3)曲線在處達(dá)到峰值

（4）曲線與x軸之間的面積為1；

（5）當(dāng)b一定時，曲線隨著〃的變化而沿x軸移動；

（6）當(dāng)〃一定時，曲線的形狀由b確定，cr越小，曲線越“瘦高”；cr越大，曲線越“矮胖”.

17.正態(tài)分布的定義及表示

如果對于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿足P（a<XV>）=J?e〃"（x）dx,則稱X的分布為正

態(tài)分布，記作X~N（〃,4）.

18.簡單隨機(jī)抽樣

（1）定義:一般地,設(shè)一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體,從中逐個不放回地抽取〃（1<〃<N）

個個體作為樣本，如果每次抽取時各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單

隨機(jī)抽樣.

（2）最常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有兩種：隨機(jī)數(shù)法和抽簽法.

19.分層抽樣

（1）定義：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)

立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.

（2）應(yīng)用范圍：總體是由差異明顯的幾個部分組成的.

樣本容量

（3）分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進(jìn)行分層，實(shí)質(zhì)是等比例抽樣，抽樣比=

總體容量

各層所抽取的個體數(shù)

一各層個體數(shù)'

20.頻率分布表與頻率分布直方圖

頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：

（1）求極差，即求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；

（2）決定組距與組數(shù)；

（3）將數(shù)據(jù)分組;

（4）列頻率分布表，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)，每小組的頻數(shù)與樣本容量的比值

叫做這一小組的頻率，計算各小組的頻率，列出頻率分布表；

（5）畫頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標(biāo)（小長方形的高）

表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積，即每個小長方形

的面積=組距頻率.

各個小長方形面積的總和等于1.

21瀕率分布折線圖和總體密度曲線

（1）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線

圖.

（2）總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作頻率分布直方圖時所分的組數(shù)增加，組距減小,

相應(yīng)的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲

線.

22用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

取最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

標(biāo)

將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在把頻率分布直方圖劃分為左右兩個

中位數(shù)最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最面積相等的部分，分界線與X軸交

中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）點(diǎn)的橫坐標(biāo)

每個小長方形的面積乘小長方形底

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大小.

22

方差：/=：［（西-x）+（x2-x）+---+（xM一三）〔；

23.百分位數(shù)

（1）把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第夕個和第夕+1個數(shù)據(jù)分別為.可以發(fā)現(xiàn),

區(qū)間46）內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)

的平均數(shù)審=c,并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第夕百分位數(shù)，或夕％分位數(shù).

（2）一般地，一組數(shù)據(jù)的第夕百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有2％的數(shù)據(jù)小

于或等于這個值，且至少有（100-P）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

(3)四分位數(shù)

常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)(即中位數(shù))，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)

把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一

四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.

24.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，

相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相

關(guān)，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).

25.兩個變量的線性相關(guān)

(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱

兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

(2)回歸直線方程

①最小二乘法：通過求。=2(.匕-法丫的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)

/=1

的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

②回歸方程：方程3=以+3是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(公必),(乙，%)，…，

(%)")的回歸方程，其中是待定參數(shù).

nn

八-八Z(x,.-x)(j,.-j)Xx^-nxy]?1?

a=y-bx,b=^----------------------------------，其中元=—￡知災(zāi)=—￡%,(元，歹)稱為樣本點(diǎn)的

S(x,.-x)2Zx”衣2〃-

Z=1Z=1

中心.

(3)相關(guān)系數(shù)r

￡(X,.-X)(Z.-J7)

/-v?_Z=1

②當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)「<0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān).

r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對值越接近于0,表明兩個變

量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)r的絕對值大于或等于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線

性相關(guān)關(guān)系.

(4)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法.在線性回歸模型

y=bx+a+e中，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y

的變化，在統(tǒng)計中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報變量.

26.分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

27.列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的可

能取值分別為｛不㈤和｛M，/｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2x2列聯(lián)表)為：

%%總計

X]aba+b

x2Cdc+d

總計a+。b+da+b+c+d

可構(gòu)造一個隨機(jī)變量K2=-~,其中”=a+6+c+d為樣本容量.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

28.獨(dú)立性檢驗(yàn)

利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量K?來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱

為兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

兩個分類變量X和y是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：

統(tǒng)計學(xué)研究表明：當(dāng)K2V.841時，認(rèn)為X與y無關(guān)；

當(dāng)片〉3.841時，有95%的把握說X與y有關(guān);

當(dāng)K2〉6.635時，有99%的把握說X與V有關(guān)；

當(dāng)片〉10.828時，有99.9%的把握說X與￥有關(guān).

29.排列與排列數(shù)

(1)排列：從〃個不同元素中取出加(加<〃)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個

不同元素中取出機(jī)個元素的一個排列.

(2)排列數(shù)：從〃個不同元素中取出加(加<〃)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從〃個不

同元素中取出機(jī)個元素的排列數(shù)，記作A；.

30.組合與組合數(shù)

（1）組合：從〃個不同元素中取出加（加＜〃）個元素組成一組，叫做從〃個不同元素中取出機(jī)

個元素的一個組合.

（2）組合數(shù)：從〃個不同元素中取出加（加＜〃）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從〃個不

同元素中取出機(jī)個元素的組合數(shù)，記作C；.

31.二項(xiàng)式定理

nknkknn

公式（a+by=C°na+C/-&+???+Cna-b+???+Cnb（〃eN*）叫做二項(xiàng)式定理.公式中右邊的

多項(xiàng)式叫做伍+為"的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)C“左=0」,…叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的

叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用4M表示，即通項(xiàng)為展開式的第左+1項(xiàng).

32.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C；=C「.

（2）增減性與最大值：對于二項(xiàng)式系數(shù)C：（r=0,l,2,當(dāng)外時，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增

174-1VI

的；當(dāng)外＞餐時，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.當(dāng)〃是偶數(shù)時，二項(xiàng)展開式的中間一項(xiàng)（第］+1項(xiàng)）

nW4-1

的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為C，.當(dāng)〃是奇數(shù)時，二項(xiàng)展開式的中間兩項(xiàng)（第三

n2

%+3?-1n+l

項(xiàng)和第一項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為c〒和c〒.

（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和：伍+3”的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2"，即

C：+C；+C：+…+C；+…+C：=2".二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)的和，即C：+C：+C：+-=C：+C：+C：+-=2"T.

【易錯題練習(xí)】

1.從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

2.已知（x+冬］伍〉0）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為240,則（x+a）（x-2。）2的展開式中/的系數(shù)為

A.10B.-8C.-6D.4

3.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查

數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

4.某班50名同學(xué)參加體能測試，經(jīng)統(tǒng)計成績。近似服從N（90,b2）,若P（90<c<95）=0.3,

則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.30

5.某中學(xué)教師節(jié)活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為從B,C,D,￡這5個項(xiàng)

目.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動，每位教師上午、下午各參加一個項(xiàng)目，

每場活動中的每個項(xiàng)目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項(xiàng)目不同.已知丁

必須參加上午的項(xiàng)目E,甲、乙、丙不能參加上午的項(xiàng)目Z和下午的項(xiàng)目E,其余項(xiàng)目上午和

下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.20B.40C.66D.80

6.（多選）我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推動復(fù)工復(fù)產(chǎn).下面是某地連續(xù)H天

的復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖.

根據(jù)該折線圖，（）

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.在這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3天至第n天，復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過80%

D.第9天至第11天，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

7.（多選）甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色

外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件4和4表示從甲箱中取出

的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件5表示從乙箱中取出的兩球都是紅球,

則（）

A.P(4)=|B.P(M4)*C.P⑻*D.p(4忸)

8.某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀

行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6

個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則

繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則小王至少嘗試兩次才能成功的概率是.

9.從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)

為J,則E序+2）=.

10.中國跳水隊(duì)有“跳水夢之隊(duì)”的稱號，在國際賽場上有絕對的優(yōu)勢，同時跳水運(yùn)動也得到了

廣泛推廣，獲得了越來越多人的喜愛.現(xiàn)有A,B,C,…，J共10位跳水運(yùn)動愛好者自發(fā)組建

了跳水訓(xùn)練營，并邀請教練甲幫助訓(xùn)練.教練訓(xùn)練前對10位跳水員進(jìn)行測試打分，得分情況如

圖中虛線所示；集訓(xùn)后再進(jìn)行測試打分，10位跳水員得分情況如圖中實(shí)線所示.規(guī)定滿分為10

分，記得分在8分以上的為“優(yōu)秀”.

12得分

10

8

6

4

2

0

標(biāo)標(biāo)靛耗才施以員

--訓(xùn)練前—訓(xùn)練后

“優(yōu)秀”人數(shù)“非優(yōu)秀”人數(shù)合計

訓(xùn)練前

訓(xùn)練后

合計

(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷跳水員的優(yōu)秀

情況與訓(xùn)練是否有關(guān)，并說明原因.

(2)從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓(xùn)練后為“優(yōu)秀”的條件下，求這3人中恰有

1人訓(xùn)練前也為“優(yōu)秀”的概率.

(3)跳水員A將對“5m,7.5m和10m”這三種高度的跳水運(yùn)動進(jìn)行集訓(xùn)，且在訓(xùn)練中進(jìn)行

了多輪測試.規(guī)定：在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的跳水測試達(dá)到“優(yōu)

秀”，則該輪測試才記為“優(yōu)秀”.每輪測試中，跳水員A在每個高度中達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為L

3

每個高度的跳水運(yùn)動是否達(dá)到“優(yōu)秀”互不影響且每輪測試互不影響.如果跳水員A在集訓(xùn)測試

中想獲得“優(yōu)秀”的輪數(shù)平均值為3,那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測試？

附：---------------------,其中〃=a+6+c+d.

(a+6)(。+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

答案以及解析

1.答案：D

解析：從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù),取法有{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},

{2,8},{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{5,6},{5,7},{5,8},

{6,7},{6,8},{7,8},共21種，其中這2個數(shù)互質(zhì)的情況有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},

{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14種.所以這2個數(shù)互

14?

質(zhì)的概率產(chǎn)=4.故選D.

213

2.答案：C

解析：因?yàn)?+?。莸恼归_式的通項(xiàng)為7；M=C"6-［?。?晨446等■，令6-1^=0,得廠=4,

所以(x+/)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C：/=240,又a>0,解得。=2,所以(x+2)(x-4)2的展

7X

開式中含必的項(xiàng)為X(—8X)+2X2,故所求系數(shù)為-6.

3.答案：C

解析：由頻率分布直方圖知年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為(0.02+0.04)xl=0.06=6%,

故A正確；年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為(0.04+0.02x3)x1=0.10=10%,故B正

確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10

+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5,故C錯誤；年收入介于4.5萬

元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10+0.14+0.20+0,20)x1=0.64〉0.5,故D正確.故選C.

4答案:B

解析：由。近似服從N(90,〃)，可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為〃=90,

則P(85<c<90)=P(90<c<95)=0.3,

所以尸(c<85)=g［l—2尸(90Vc<95)］=0.2,

則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為50x0.2=10人，

故選：B.

5.答案：C

解析：因?yàn)槎”仨殔⒓由衔绲捻?xiàng)目E,甲、乙、丙不能參加上午的項(xiàng)目4所以上午甲、乙、

丙參加8,C,。這3個項(xiàng)目，共有A；種不同的安排方法.

易知甲、乙、丙、丁四人下午參加的項(xiàng)目為4B,C,D,

分2類：①丁參加項(xiàng)目4共有2種不同的安排方法；

②丁參加5,C,。這3個項(xiàng)目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項(xiàng)目Z,剩下兩人參加

剩下的2個項(xiàng)目，共有C；xC；xl種不同安排方法.

綜上，共有A；（2+C；xC；x1）=66種不同的安排方法.故選C.

6.答案：CD

解析：由題圖可知第8,9天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均減小，故A錯誤；第1天時復(fù)工指數(shù)小于

復(fù)產(chǎn)指數(shù)，第11天時兩指數(shù)相等，故復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯誤；由題

圖可知第3天至第11天，復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過80%,故C正確；第9天至第11天，復(fù)產(chǎn)指

數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確.

7.答案：ACD

解析：依題意可得尸（4）=：,尸⑷。尸3⑷=卷4,尸修⑷=導(dǎo)親所以

aa,111

尸（8）=尸（4）尸（5|4）+尸（4）尸m=3，故A正確、B錯誤、C正確;

12

⑻一P（"）尸（5區(qū)）尸（4）__x_