2024-2025學(xué)年河北省衡水市高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省衡水市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列滿足，則，則（）A.3 B. C. D.2.已知是第四象限角且，則的值為（）A.1 B. C. D.3.函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.4.如圖，平行四邊形中，，，若，，則（） B. C. D.5.已知等差數(shù)列的公差小于，前n項(xiàng)和為，若，，則的最大值為（）A. B. C. D.6.設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，若的周長(zhǎng)為1．則（）A.1 B. C. D.27.設(shè)函數(shù)fx=0,x=34π+kπω?tanA. B. C. D.8.已知，在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.以下正確選項(xiàng)是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，，則10.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若，則C.若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，D.若，則11.以下不等式成立的是（）A當(dāng)x∈0,1時(shí)，ex+lnx>x?1xC.當(dāng)時(shí)，exsinx>x D.當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，，，，則的最小值為_(kāi)_____．13.已知函數(shù)f(x)=sinπ?ωxcosωx?3sin2ωx(ω>0)14.若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有：，當(dāng)時(shí)，還滿足：，則不等式的解集為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在上恒成立，求最小的整數(shù)a．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求n的值．17.凸函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)值得研究的分支，它包括數(shù)學(xué)中大多數(shù)重要的函數(shù)，如，等．記為的導(dǎo)數(shù)．現(xiàn)有如下定理：在區(qū)間I上為凸函數(shù)的充要條件為．（1）證明：函數(shù)為上的凸函數(shù)；（2）已知函數(shù)．①若為上的凸函數(shù)，求的最小值；②在①的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，證明：，在上恒成立．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)A與B沿單位圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A與B初始位置如圖所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為，，現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)A與B分別以，的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：（1）ls后，扇形AOB的面積及的值．（2）質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B每一次相遇的位置記為點(diǎn)，連接一系列點(diǎn)，，構(gòu)成一個(gè)封閉多邊形，求該多邊形的面積．19.已知函數(shù)，，則（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若的最小值是0，求的最大值．2024-2025學(xué)年河北省衡水市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列滿足，則，則（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題中遞推公式代入運(yùn)算即可.【詳解】因，則有：當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，.故選：C.2.已知是第四象限角且，則的值為（）A.1 B. C. D.【正確答案】C【分析】由已知求得和，再根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)槭堑谒南笙藿乔?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，故選：C．3.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，顯然，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，即在處斜率不存在，所以?xún)A斜角為.故選：D.4.如圖，平行四邊形中，，，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所?故選：D.5.已知等差數(shù)列的公差小于，前n項(xiàng)和為，若，，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)條件得到，，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，得到①，由，得到②，由①②得到，，又，，由，解得，所以，，，又因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，的值最大，最大值為，故選：A.6.設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，若的周長(zhǎng)為1．則（）A.1 B. C. D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦定理可得，利用面積公式可得，再結(jié)合周長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.【詳解】由正弦定理（為的外接圓半徑），可得，且，則均為正數(shù)，因?yàn)?，可得，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以.故選：B7.設(shè)函數(shù)fx=0,x=34π+kπω?tanA. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意分析可知的最小正周期，的零點(diǎn)為，，根據(jù)周期性可知，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)結(jié)合區(qū)間分析求解即可.【詳解】因?yàn)椋烧行秃瘮?shù)可知：的最小正周期，且的零點(diǎn)為，，顯然在區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)至少有2個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則3T2>3π8若，因?yàn)?，則，且，即，則，結(jié)合題意可知：，0中有且僅有一個(gè)屬于，由題意可知：或，解得：，所以的取值范圍為.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分析可知：在區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)至少有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合周期性可知，可得必要性.8.已知，在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件，當(dāng)時(shí)，得到，由題知在上恒成立，利用基本不等式，得到，從而有，再根據(jù)題設(shè)有，即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，，即在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，由題知在?∞,1上恒成立，即在?∞,1又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，又由，得到，所以，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.以下正確的選項(xiàng)是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，，則【正確答案】AC【分析】選項(xiàng)A，利用不等式的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B和D，通過(guò)取特殊值，即可判斷出選項(xiàng)D和D的正誤；選項(xiàng)C，由，得到，即可判斷選項(xiàng)C的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得到，又，所以，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，取，顯然有，，但，不滿足，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由，得到，又，所以，即，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，取，顯然有，，但，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若，則C.若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，D.若，則【正確答案】AB【分析】對(duì)于A：根據(jù)前n項(xiàng)和的定義以及等比數(shù)列性質(zhì)分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于D：舉反例說(shuō)明即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，則，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，若取得最小值，則，即，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，則，，可得，因?yàn)?，則，可得，即，符合題意，但，故D錯(cuò)誤；故選：AB.11.以下不等式成立的是（）A.當(dāng)x∈0,1時(shí)，ex+lnx>x?1C.當(dāng)時(shí)，exsinx>x D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，令，x∈0,1，，x∈0,1，求導(dǎo)，求出函數(shù)單調(diào)性，得到，，得到A正確；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到x∈1,+∞時(shí)，fx>f1=e?2，，B正確；C選項(xiàng)，令，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，且，從而得到C正確，D選項(xiàng)，令，x∈0,π，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性和值域，結(jié)合的單調(diào)性和取值范圍，得到兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到D【詳解】A選項(xiàng)，令，x∈0,1，則恒成立，故在x∈0,1上單調(diào)遞增，則，令，x∈0,1，則g'x=?1x故，所以，即，A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則fx>f所以，即，B正確；C選項(xiàng)，令，，則，，，，又在上恒成立，故w'x=故上單調(diào)遞增，又，故，即當(dāng)時(shí)，exsinx>x，C正確；D選項(xiàng)，令，x∈0,π，則，當(dāng)x∈0,1時(shí)，t'x=1?x在x∈0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，畫(huà)出兩函數(shù)圖象如下：時(shí)，不滿足sinx>x存在，使得當(dāng)時(shí)，，即，D錯(cuò)誤.故選：ABC很多時(shí)候，我們需要證明，但不代表就要證明，因?yàn)榇蠖鄶?shù)情況，f'x的零點(diǎn)解不出來(lái)，設(shè)隱零點(diǎn)是一種方法，也可嘗試凹凸反轉(zhuǎn)，如要證明，可把拆分為兩個(gè)函數(shù)，放在不等式的兩邊，即要證明，只要證明，凹凸反轉(zhuǎn)的關(guān)鍵是如何分離出兩個(gè)函數(shù)，通?？紤]指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)分離，構(gòu)造兩個(gè)單峰函數(shù)，進(jìn)行求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，，，，則的最小值為_(kāi)_____．【正確答案】4【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，即可得最小值.【詳解】因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為16，即的最小值為4.故4.13.已知函數(shù)f(x)=sinπ?ωxcosωx?3sin2ωx(ω>0)【正確答案】【分析】利用三角恒等變換整理可得，結(jié)合周期性可得，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱(chēng)性分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，則的最小正周期為，解得，所以，令，解得，令，可得，可知在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，且這2個(gè)零點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即這2個(gè)零點(diǎn)和為，所以所有零點(diǎn)之和為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析可知：在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，且這2個(gè)零點(diǎn)和為，進(jìn)而可得結(jié)果.14.若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有：，當(dāng)時(shí)，還滿足：，則不等式的解集為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】先用賦值法得到，，判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，然后利用判斷單調(diào)性，最后分類(lèi)討論計(jì)算的解集即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有：令，可知令，可知令，得故函數(shù)為偶函數(shù)，令要使則顯然函數(shù)為偶函數(shù)；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，得所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)也單調(diào)遞減因?yàn)樾枰室驗(yàn)闉榕己瘮?shù)所以當(dāng)時(shí)，的解為故不等式的解集為故做一些抽象函數(shù)相關(guān)的習(xí)題時(shí)，我們一定需要去找抽象函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性；然后再利用他們的關(guān)系來(lái)求解；通常還需要用賦值法得到一些函數(shù)值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在上恒成立，求最小的整數(shù)a．【正確答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為（2）【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；（2）利用（1）中結(jié)果，求出在區(qū)間上最大值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹愠闪?，由，得到或，由，得到，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，顯然有，所以在區(qū)間上最大值為，又函數(shù)在上恒成立，所以，得到最小的整數(shù).16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求n的值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)條件，得到當(dāng)時(shí)，，且有，由等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)果；（2）由（1）及條件可得，，再利用等比等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得到，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即時(shí)，，又時(shí)，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以，又由，可得，所以，又，所以，整理得到，解得，所以n的值為.17.凸函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)值得研究的分支，它包括數(shù)學(xué)中大多數(shù)重要的函數(shù)，如，等．記為的導(dǎo)數(shù)．現(xiàn)有如下定理：在區(qū)間I上為凸函數(shù)的充要條件為．（1）證明：函數(shù)為上的凸函數(shù)；（2）已知函數(shù)．①若為上的凸函數(shù)，求的最小值；②在①的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，證明：，在上恒成立．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)二次求導(dǎo)，得到，根據(jù)條件得到在區(qū)間上恒成立，即可證明結(jié)果；（2）①根據(jù)題設(shè)得到在區(qū)間上恒成立，再求出的最大值，即可求解；②令，，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值和的最大值，即可證明結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，，因?yàn)?，又，所以，故在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)為上的凸函數(shù).【小問(wèn)2詳解】①因?yàn)?，所以，，由題知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則在區(qū)間上恒成立，令，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為，所以，得到，所以的最小值為.②由（1）知，令，則，令，則在區(qū)間恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即在區(qū)間恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，令，令，得到，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，在上恒成立．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)A與B沿單位圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A與B初始位置如圖所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為，，現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)A與B分別以，的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：（1）ls后，扇形AOB的面積及的值．（2）質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B的每一次相遇的位置記為點(diǎn)，連接一系列點(diǎn)，，構(gòu)成一個(gè)封閉多邊形，求該多邊形的面積．【正確答案】（1）扇形AOB的面積為，（2）2【分析】（1）先求時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角度，令，可得，結(jié)合扇形面積公式以及兩角和差公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合任意角可知：交點(diǎn)有4個(gè)，求對(duì)應(yīng)角，分析可知，即可求面積.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角度分別為，，且點(diǎn)，若，則，所以扇形AOB的面積，且.小問(wèn)2詳解】若質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B的每一次相遇，由（1）可知：，解得，此時(shí)，結(jié)合任意角的概念可知：的周期為4，即交點(diǎn)有4個(gè)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；可得，即以及均三點(diǎn)共線，且，，所以該多邊形的面積為.19.已知函數(shù)，，則（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若的最小值是0，求的最大值．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意，求得，分和，兩種情況討論，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，求得，由，轉(zhuǎn)換為恒成立，令，求得，得到在上為增函數(shù)，得到，即可求解；（3）令函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在