2024-2025學年廣東省揭陽市高三上冊9月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣東省揭陽市高三上學期9月月考數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（）A. B. C. D.4.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.5.若兩個等比數(shù)列的公比相等，且，則的前6項和為（）A. B. C.124 D.2526.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，，，則（）A. B. C.1 D.27.已知點，，點是圓上任意一點，則面積最小值為（）A.6 B. C. D.8.已知函數(shù)y=fx的定義域為R，且f?x=fx，若函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有交點，且交點個數(shù)為奇數(shù)，則A. B.0 C.1 D.2二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.設，為隨機事件，且，是，發(fā)生的概率.，，則下列說法正確的是（）A.若，互斥，則 B.若，則，相互獨立C.若，互斥，則，相互獨立 D.若，獨立，則10.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，內(nèi)角A的平分線交BC于點D，，，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的面積為11.設函數(shù)，則（）A.是的極小值點B.C.不等式的解集為D.當時，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，則b=_________________13.如果一個直角三角形斜邊長等于，則當這個直角三角形周長取最大值時，其面積為________.14.已知函數(shù)，點為曲線在點處的切線上的一點，點在曲線上，則的最小值為____________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為．（1）若，求的值；（2）求面積的最大值．16.某商場舉行有獎促銷活動，凡5月1日當天消費不低于1000元，均可抽獎一次，抽獎箱里有6個形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有4個，白球有2個，抽獎方案設置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案．方案一：從抽獎箱中，一次性摸出3個球，每有1個紅球，可立減80元；方案二：從抽獎箱中，有放回地每次摸出1個球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減80元．（1）設方案一摸出的紅球個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列、數(shù)學期望和方差；（2）設方案二摸出的紅球個數(shù)為隨機變量Y，求Y的分布列、數(shù)學期望和方差；（3）如果你是顧客，如何在上述兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由．17.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點是棱的中點．（1）證明：；（2）求面與面夾角的正切值．18.已知橢圓的右焦點為，離心率為，直線經(jīng)過點，且與相交于，兩點，記的傾斜角為.（1）求的方程；（2）求弦的長（用表示）；（3）若直線也經(jīng)過點，且傾斜角比的傾斜角大，求四邊形面積的最小值.19.如果n項有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列“對稱數(shù)列”.（1）設數(shù)列是項數(shù)為7“對稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項；（2）設數(shù)列是項數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當為何值時，取得最大值?②若，且，求的最小值.2024-2025學年廣東省揭陽市高三上學期9月月考數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，求出和，再根據(jù)集合的運算，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，又，所以，故，故選：D.2.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】求出，化簡復數(shù)，利用復數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由題得，∴z=1，，其對應的點位于第四象限.故選：D．3.雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】利用平面向量線性運算相關計算方式計算即可.【詳解】由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C5.若兩個等比數(shù)列的公比相等，且，則的前6項和為（）A B. C.124 D.252【正確答案】B【分析】運用等比數(shù)列定義和求和公式計算即可.【詳解】由，得的公比，所以的公比為，則的前6項和為．故選：B.6.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，，，則（）A. B. C.1 D.2【正確答案】A【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)表達式，根據(jù)單調(diào)性與函數(shù)值，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，確定與的值，兩式相減，即可求出的值.【詳解】由題知，因為，，所以，又因為在區(qū)間上減函數(shù)，所以，兩式相減，得，因為，所以.故選：A.7.已知點，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.【正確答案】D【分析】求出直線的方程，利用點到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)求出點到直線距離的最小值即可求得最小值.【詳解】兩點，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點到直線的距離，因此點到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D8.已知函數(shù)y=fx的定義域為R，且f?x=fx，若函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有交點，且交點個數(shù)為奇數(shù)，則A. B.0 C.1 D.2【正確答案】C【分析】易證明為偶函數(shù)，根據(jù)題意，兩個函數(shù)的交點必定是原點，據(jù)此求解.【詳解】令，其定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，由題易知也為偶函數(shù)，因為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)為奇數(shù)，所以兩個函數(shù)的交點，必有一個是原點，故.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.設，為隨機事件，且，是，發(fā)生的概率.，，則下列說法正確的是（）A.若，互斥，則 B.若，則，相互獨立C.若，互斥，則，相互獨立 D.若，獨立，則【正確答案】ABD【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項；由相互獨立事件的概念可判斷B選項；由互斥事件和相互獨立事件的概念可判斷C選項；由相互獨立事件的概念，可判斷D選項.【詳解】對于選項A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項A正確，對于選項B，由相互獨立事件的概念知，若，則事件是相互獨立事件，所以選項B正確，對于選項C，若互斥，則不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨立事件的定義，所以選項C錯誤，對于選項D，由相互獨立事件的定義知，若，獨立，則，所以選項D正確，故選：ABD.10.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，內(nèi)角A的平分線交BC于點D，，，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的面積為【正確答案】ACD【分析】首先根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可得，并根據(jù)二倍角公式得到，依次計算的值，根據(jù)面積公式，分析判斷選項C和D.【詳解】在中，∵，則，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，則，故選項A正確；在中，則，故選項B錯誤；由題意可知：，即，由，解得，故選項C正確；在中，∵，則，∴，故選項D正確.故選：ACD.11.設函數(shù)，則（）A.是的極小值點B.C.不等式的解集為D.當時，【正確答案】BD【分析】對于A：求導，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；對于B：根據(jù)解析式代入運算即可；對于C：取特值檢驗即可；對于D：分析可得，結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為的定義域為R，且，當時，f'x<0；當或時，f'可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，故A錯誤；對于選項B：因為，故B正確；對于選項C：對于不等式，因為，即為不等式的解，但，所以不等式的解集不為，故C錯誤；對于選項D：因為，則，且，可得，因為函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，則b=_________________【正確答案】4【詳解】在△ABC中，利用余弦定理，，化簡得：8c－7b＋4＝0，與題目條件聯(lián)立，可解得，【考點定位】本題考查的是解三角形，考查余弦定理的應用．利用題目所給的條件列出方程組求解13.如果一個直角三角形的斜邊長等于，則當這個直角三角形周長取最大值時，其面積為________.【正確答案】2【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合勾股定理并通過分析得知當最大值，這個直角三角形周長取最大值，根據(jù)基本不等式的取等條件即可求解.【詳解】如圖所示：在中，，而直角三角形周長，由勾股定理可知，若要使最大，只需最大即可，即最大即可，又，當且僅當時等號成立，所以，所以，，當且僅當?shù)忍柍闪?，此時，其面積為.故答案為.14.已知函數(shù)，點為曲線在點處的切線上的一點，點在曲線上，則的最小值為____________．【正確答案】【分析】對求導后，代入可求得，根據(jù)導數(shù)幾何意義可求得切線，則可將問題轉(zhuǎn)化為與平行且與曲線相切的切點到直線的距離的求解，設切點，由切線斜率為可構(gòu)造方程求得切點坐標，利用點到直線距離公式可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，，則，切線的方程為：，即；若最小，則為與平行且與曲線相切的切點，所求最小距離為到直線的距離，設所求切點，由，可得，所以，即，又單調(diào)遞增，而時，所以，即，.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為．（1）若，求的值；（2）求面積的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，從而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根據(jù)余弦定理可得的范圍，從而可得的范圍，結(jié)合三角形面積公式，即可得面積的最大值．【小問1詳解】由正弦定理，可得，【小問2詳解】，，由余弦定理可得，，，，，當且僅當時，等號成立，此時面積取得最大值16.某商場舉行有獎促銷活動，凡5月1日當天消費不低于1000元，均可抽獎一次，抽獎箱里有6個形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有4個，白球有2個，抽獎方案設置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案．方案一：從抽獎箱中，一次性摸出3個球，每有1個紅球，可立減80元；方案二：從抽獎箱中，有放回地每次摸出1個球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減80元．（1）設方案一摸出的紅球個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列、數(shù)學期望和方差；（2）設方案二摸出的紅球個數(shù)為隨機變量Y，求Y的分布列、數(shù)學期望和方差；（3）如果你是顧客，如何在上述兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由．【正確答案】（1）分布列見解析，，（2）分布列見解析，，．（3）應選擇方案一的抽獎方式，理由見解析【分析】（1）由條件確定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，結(jié)合公式求期望和方差；（2）由條件確定的可能取值，判斷，結(jié)合二項分布的分布列求法確定其分布列，再由公式求期望和方差，（3）通過比較隨機變量期望和方差的大小，確定選擇方案.【小問1詳解】設方案一摸出的紅球個數(shù)為X，則X的所有可能取值為，，，．X的分布列為：X123P所以，．【小問2詳解】設方案二摸出的紅球個數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為．則，所以，，，，所以隨機變量的分布列為：0123所以，．【小問3詳解】因，，即兩種方案抽取的紅球個數(shù)的數(shù)學期望一樣，但方案一更穩(wěn)定，所以應選擇方案一的抽獎方式．17.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點是棱的中點．（1）證明：；（2）求面與面夾角的正切值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由側(cè)面底面得底面，進而可證；（2）向量法求面與面的夾角.【小問1詳解】因為三棱柱中，故四邊形為菱形，又因，點是棱的中點，故，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，又底面，故.【小問2詳解】因，，故為直角三角形，故，如圖分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，則，由題意平面的一個法向量為設平面的一個法向量為n=x,y,z則即，令，則，，則，設面與面夾角為，則，故，面與面夾角的正切值為.18.已知橢圓的右焦點為，離心率為，直線經(jīng)過點，且與相交于，兩點，記的傾斜角為.（1）求的方程；（2）求弦的長（用表示）；（3）若直線也經(jīng)過點，且傾斜角比的傾斜角大，求四邊形面積的最小值.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求解；（2）分和，當時，直接求出，當時，設出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式，即可求解；（3）根據(jù)題設，先求出和時，四邊形的面積，再求出時，，從而得出，再通過化簡，得到，令，通過求出的最大值，即可解決問題.【小問1詳解】由題知，又，得到，所以，故橢圓的方程為.【小問2詳解】設，因為直線經(jīng)過點，且傾斜角為，當時，直線，由，解得，，此時，當，設直線的方程為，其中，由，消得到，又，所以，即，綜上，當時，；當時，.【小問3詳解】直線也經(jīng)過點，且傾斜角比的傾斜角大，所以，當時，易知，，此時四邊形面積為，當時，可設，其中，同理可得，當時，，，此時四邊形面積為，當且時，四邊形面積為①，又，代入①化簡得到，即，令，令，則，所以，對稱軸，又，則當，即時，，此時，所以四邊形面積的最小值為，又，所以四邊形面積的