19.2.1+正比例函數(shù)+教學設(shè)計+2024-2025學年人教版數(shù)學八年級下冊

19.2.1正比例函數(shù)(第1課時)教學設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容:正比例函數(shù)的概念。2.內(nèi)容解析:在初步認識和明確了函數(shù)概念之后，學習一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)——正比例函數(shù)，它是較為簡單的函數(shù)模型之一。在小學，學習過正比例關(guān)系：兩個相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩個量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。而正比例函數(shù)是用函數(shù)觀點研究成正比例關(guān)系的兩個變量而得到的簡單函數(shù)模型。正比例函數(shù)是根據(jù)函數(shù)解析式進行定義的，符合y=ax(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫正比例函數(shù)。在具體背景中列出相應(yīng)的正比例函數(shù)表達式，概括函數(shù)解析式的共同特征，得到正比例函數(shù)的概念；通過函數(shù)模型描述和研究現(xiàn)實中的運動變化過程，這種研究具體函數(shù)模型的方法，在今后其他類型函數(shù)的學習中還會經(jīng)常用到。二、目標和目標解析1.目標：(1)理解正比例函數(shù)的概念。(2)經(jīng)歷從一類具體函數(shù)中抽象出正比例函數(shù)概念的過程，培養(yǎng)數(shù)學建模以及數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。2.目標解析：目標(1)要求知道正比例函數(shù)的解析式特征，會判斷一個函數(shù)是否為正比例函數(shù)。目標(2)要求能獨立地寫出運動變化過程中的函數(shù)解析式，通過歸納一類函數(shù)解析式的共同特征，得到正比例函數(shù)的概念。三、教學問題診斷分析1.正比例函數(shù)是在學習了函數(shù)的概念與函數(shù)的圖象之后的第一種具體函數(shù)模型，對于學生知識水平來說，他們能夠判斷兩個變量是否存在函數(shù)關(guān)系。在得出正比例函數(shù)概念時，需要觀察函數(shù)解析式，歸納其共同特點，得到正比例函數(shù)的概念。學生在進行這種歸納推理以及抽象數(shù)學概念時會遇到一定的困難。2.學生在小學學習過成正比例的兩個量，通過列表探索過成正比例關(guān)系的兩個量之間的關(guān)系，知道兩個量成正比例的條件是它們的比始終是一個固定不變的量(常量)。初中階段，在學習了函數(shù)概念后，用函數(shù)的觀點研究正比例關(guān)系，把成正比例的兩個量納入到函數(shù)概念體系，寫出其函數(shù)解析式，并應(yīng)用于實際。這樣系統(tǒng)、深入地研究成正比例的兩個量，對學生來說有一定的難度。同時，正比例函數(shù)的研究步驟和方法，適用于一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等后繼學習的函數(shù)模型。從本內(nèi)容學習中獲得學習具體一類函數(shù)的經(jīng)驗，對學生來說有較大困難，需要教師的概括性指導，并在今后學習中一以貫之?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學難點重難點：1.理解正比例函數(shù)概念，體會具體函數(shù)模型研究的一般方法。2.正比例函數(shù)的概念。四、教學活動設(shè)計1.創(chuàng)設(shè)情境問題1：京滬高速鐵路全長1318km。設(shè)列車的平均速度為300km/h?？紤]以下問題:(1)乘京滬高鐵列車，從始發(fā)站北京南站到終點站上海虹橋站，約需多少小時(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?(2)如果用函數(shù)的觀點看，京滬高鐵列車的行程y(單位:km)是運行時間t(單位:h)的函數(shù)嗎?能寫出這個函數(shù)的解析式，并寫出自變量t的取值范圍嗎?追問:這個問題中得到的函數(shù)解析式有什么特點?函數(shù)值與對應(yīng)的自變量的值的比有什么特點?(3)乘京滬高鐵列車從北京南站出發(fā)2.5h后，是否已經(jīng)過了距始發(fā)站1100km的南京南站?師生活動:學生個別回答，教師在黑板上板演.學生可能在第(2)問中忽視自變量的取值范圍，教師應(yīng)加以引導。設(shè)計意圖:從現(xiàn)實背景問題中發(fā)現(xiàn)正比例關(guān)系，引導學生用函數(shù)觀點看一對成正比例關(guān)系的量，同時借助京滬高鐵來說明科技使生活更美好。2.問題再現(xiàn)問題2：下列問題中，變量之間的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?如果是，請寫出函數(shù)解析式。(1)圓的周長l隨半徑r的變化而變化。(2)鐵的密度為7.8g/cm3,鐵塊的質(zhì)量m(單位:g)隨它的體積V(單位:cm3)的變化而變化。(3)每個練習本的厚度為0.5cm,練習本摞在一起的總厚度h(單位:cm)隨練習本的本數(shù)n的變化而變化。(4)冷凍一個O℃的物體，使它每分鐘下降2℃,物體的溫度T(單位:℃)隨冷凍時間t(單位:min)的變化而變化。師生活動:學生獨立寫出函數(shù)解析式，教師課堂巡視，并進行個別指導。設(shè)計意圖:為抽象正比例函數(shù)概念提供典型樣例，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。3.形成概念問題3：認真觀察以上出現(xiàn)的四個函數(shù)解析式，說說這些函數(shù)有什么共同點。師生活動:學生先思考，與小組內(nèi)同學交流意見;教師通過學生回答不斷引導，直至得出“這些函數(shù)都是常數(shù)與自變量的積的形式”為止.教師給出正比例函數(shù)的概念.一般地，形如y=ax(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).強調(diào)：1、k是常數(shù)，且k≠0.2、自變量x的次數(shù)是1.3、一般情況下，自變量x的取值范圍是全體實數(shù).4、y=ax(k≠0)，則稱y與x成正比例；反之，若y與x成正比例，則可設(shè)y=ax（k≠0）.設(shè)計意圖:觀察概括，形成概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。4.辨析概念問題4：下列式子中，哪些表示y是x的正比例函數(shù)?（1）y=-0.5x(2)y=x2(3)y2=1.5x（4）y=πx(5)y=7(x+1)(6)y=2(x-x2)+2x追問:如果y是x的正比例函效，請你說出其中的比例系數(shù)。師生活動:判斷兩個變量是否是正比例函數(shù)關(guān)系，就要回歸到定義,這種學習方法是學生學習數(shù)學所必需掌握的。設(shè)計意圖:及時練習有利于學生鞏固概念，反饋學習效果。5.理解概念問題5：列式表示下列問題中的y與x的函數(shù)關(guān)系，并指出哪些是正比例函數(shù)。(1)正方形的邊長為xcm，周長為ycm;(2)某人一年內(nèi)的月平均收入為x元，他這一年(12個月)的總收入為y元;追問:此人若每月收入6000元，則一年收入又是多少?若一年收入是84000元，則每月收入又是多少?(3)一個長方體的長為2cm,寬為1.5cm,高為xcm,體積為ycm3師生活動:學生獨立完成后，小組內(nèi)交流成果。設(shè)計意圖:幫助學生進一步理解正比例函數(shù)，同時在熟悉的問題中培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。6.應(yīng)用概念問題6：已知y=3x2a+b+a+2b是正比例函數(shù)，求a、b的值.設(shè)計意圖:再次理解正比例函數(shù)的概念，體會正比例函數(shù)解析式的特點。完成隨堂練習。設(shè)計意圖:初學函數(shù)的學生有一個自覺領(lǐng)悟的過程，不能急于求成。7.回顧總結(jié)教師引導學生本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容:(1)本節(jié)課我們學習了哪一種函數(shù)?(2)這種函數(shù)的解析式有什么特點?(3)正比例函數(shù)與小學學習的成正比例關(guān)系有何區(qū)別呢？設(shè)計意圖:通過學生小結(jié)，梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，促進形成結(jié)構(gòu)化、簡約化的記憶。8.布置作業(yè):(1)教科書第87頁練習第1題。(2)預(yù)習正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)。五、教學反思通過大量的實際問題讓學生分析，既能深化學生對正比例函數(shù)的理解，又能為學生運用正比例函數(shù)解決問題打下基礎(chǔ)。在整個教學過程中，滲透了“問題情境—建立數(shù)學模型—抽象概念—解釋、拓廣與應(yīng)用”的函數(shù)學習意識。因從本課時開始，學生將逐漸認識并理解各類具體的函數(shù)圖象，一般的基本方法是由解析式畫圖象，再由圖