2025年外研版三年級起點(diǎn)高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版三年級起點(diǎn)高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、設(shè)A={0，1，2，4}，下列對應(yīng)法則能構(gòu)成A到B的映射的是（）

A.f：x→x3-1

B.f：x→（x-1）2

C.f：x→2x-1

D.f：x→2

2、【題文】若函數(shù)則（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（）A.B.C.D.3、【題文】設(shè)則（）A.B.C.D.4、【題文】如圖是一個幾何體的三視圖，側(cè)視圖與正視圖均為矩形，俯視圖為正三角形，尺寸如圖，則該幾何體的側(cè)面積為（）A.6B.12C.24D.35、【題文】一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為高為且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系正確的是A.B.C.D.6、函數(shù)f（x）=x2﹣2lnx的單調(diào)減區(qū)間是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（﹣∞，1）D.（﹣1，1）7、若sin（α+）=且α∈（），則cosα=（）A.-B.C.D.-評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)8、【題文】函數(shù)的定義域?yàn)閯t函數(shù)的定義域?yàn)開_________________________9、【題文】（本小題滿分14分）

f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，

（1）求函數(shù)的周期（2）求函數(shù)在的表達(dá)式（3）求10、已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若向量=a100+a101且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)O），則S200等于____．11、某貨輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍護(hù)衛(wèi)艦在A處獲悉后，測得該貨輪在北偏東45°方向距離為10海里的C處，并測得貨輪正沿北偏東105°的方向、以每小時9海里的速度向附近的小島靠攏．我海軍護(hù)衛(wèi)艦立即以每小時21海里的速度前去營救；則護(hù)衛(wèi)艦靠近貨輪所需的時間是______小時．12、已知a、b是不相等的兩個正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)x1，x2，xn和y1，y2，yn（n∈N﹢，且n≥2），使得a，x1，x2，xn，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，yn，b成等比數(shù)列，則下列四個式子中，一定成立的是______．（填上你認(rèn)為正確的所有式子的序號）

①②=③=④＞．13、將鈭?300鈭?

化為弧度為______．評卷人得分三、解答題(共6題，共12分)14、已知f（x）=x2|x-a|為定義在R上的偶函數(shù)；a為實(shí)常數(shù)；

（1）求a的值；

（2）若已知g（x）為定義在R上的奇函數(shù)；判斷并證明函數(shù)y=f（x）?g（x）的奇偶性．

15、一個均勻的正四面體面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為．(1)記求的概率；(2)若方程至少有一根就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率．16、（本小題滿分14分）函數(shù)（1）求的周期；（2）求在上的減區(qū)間；（3）若求的值17、已知f（x）=logax；其反函數(shù)為g（x）．

（1）解關(guān)于x的方程f（x-1）=f（a-x）-f（5-x）；

（2）設(shè)F（x）=（2m-1）g（x）+（-）g（-x）；若F（x）有最小值，試求其表達(dá)式h（m）；

（3）求h（m）的最大值．18、已知二次函數(shù)f（x）滿足不等式f（x）＜5x-2的解集是（1，2），且f（x）的圖象過點(diǎn)（-1，-1）．記函數(shù)g（x）=．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；并畫出g（x）的圖象；

（Ⅱ）求關(guān)于x的方程2g2（x）-5g（x）+2=0不同的根的個數(shù)．19、已知圓C：x2+y2-4x-6y+12=0；點(diǎn)A（3，5）．

（1）求過點(diǎn)A的圓的切線方程；

（2）O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA，OC，求△AOC的面積S．評卷人得分四、作圖題(共1題，共10分)20、以下是一個用基本算法語句編寫的程序；根據(jù)程序畫出其相應(yīng)的程序框圖．

評卷人得分五、證明題(共2題，共4分)21、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、已知ABCD四點(diǎn)共圓，AB與DC相交于點(diǎn)E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點(diǎn)，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．評卷人得分六、綜合題(共2題，共12分)23、如圖1；△ABC與△EFA為等腰直角三角形，AC與AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，將△EFA繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)AE；AF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點(diǎn)，如圖2．

（1）問：在圖2中，始終與△AGC相似的三角形有____及____；

（2）設(shè)CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②z關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（只要求根據(jù)第（1）問的結(jié)論說明理由）

（3）直接寫出：當(dāng)x為何值時，AG=AH．24、已知函數(shù)y1=px+q和y2=ax2+bx+c的圖象交于A（1，-1）和B（3，1）兩點(diǎn)，拋物線y2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，且|x1-x2|=2．

（1）求這兩個函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)y2與y軸交點(diǎn)為C，求△ABC的面積．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、C【分析】

當(dāng)x=4時，x3-1=63；在B集合中沒有元素和它對應(yīng)，故A不能構(gòu)成；

當(dāng)x=4時，（x-1）2=9；在B集合中沒有元素和它對應(yīng)，故B不能構(gòu)成；

當(dāng)x=2時；2x=4，在B集合中沒有元素和它對應(yīng)，故D不能構(gòu)成；

根據(jù)映射的定義知只有C符合要求；

故選C．

【解析】【答案】根據(jù)所給的兩個集合；對于集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一的一個元素與它對應(yīng)，從集合A中取一個特殊的元素4，進(jìn)行檢驗(yàn)，去掉兩個答案，去掉元素2，去掉一個不合題意的，得到結(jié)果．

2、C【分析】【解析】

試題分析：依題意可得故選C.

考點(diǎn)：分段函數(shù).【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】此題考查對數(shù)式和指數(shù)式的比較大??；對數(shù)式和指數(shù)式的比較大小都有三種類型；對數(shù)式分別是：（1）底數(shù)相同；真數(shù)不同：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或作差比較；（2）底數(shù)不同；真數(shù)相同：利用對數(shù)函數(shù)圖像或作商比較；（3）底數(shù)和真數(shù)都不相同：利用對數(shù)函數(shù)圖像或和特殊值比較；指數(shù)式分別是：1）底數(shù)相同、指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或作商比較；（2）底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用指數(shù)函數(shù)圖像或作商比較；（3）底數(shù)和指數(shù)都不相同：利用指數(shù)函數(shù)圖像或和特殊值比較；

所以。

選A【解析】【答案】A4、C【分析】【解析】由三視圖可知該幾何體是正三棱柱，其中高為4，底面正三角形的高為則其底面邊長為2，所以該幾何體的側(cè)面積為故選C【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、A【分析】【解答】解：函數(shù)f（x）=x2﹣2lnx（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為。

f′（x）=2x﹣

令f′（x）＜0；解得0＜x＜1．

即有單調(diào)減區(qū)間為（0；1）．

故選A．

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，注意函數(shù)的定義域，解不等式即可得到單調(diào)減區(qū)間．7、D【分析】【解答】解：∵

則cos

∴cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin

=

故選：D．

【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+），再利用兩角差的余弦公式求得cosα的值．二、填空題(共6題，共12分)8、略

【分析】【解析】

試題分析：因?yàn)樗运缘亩x域?yàn)?/p>

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的定義域。

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)定義域的求法，解題的關(guān)鍵是理解復(fù)合函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：因?yàn)樗?/p>

==

所以周期T="4"4分。

(2)任取則所以

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以即9分。

（3）因?yàn)橹芷跒?，=

在中令得==14分10、100【分析】【解答】解：由題意可知：向量=a100+a101

又∵A；B、C三點(diǎn)共線；

則a100+a101=1；

等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為Sn=

∴S200===100；

故答案為100．

【分析】先根據(jù)向量的共線定理求出a100與a101的關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式便可求出S200的值．11、略

【分析】解：（1）設(shè)靠近漁船所需的時間為t小時；那么AB=21t（海里），BC=9t（海里）．

根據(jù)余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cos120°

即（21t）2=100+（9t）2-2×10×9t×（-）

化簡得：36t2-9t-10=0

解得：t=或t=-（不合題意舍去）

故答案為：．

可先根據(jù)題意；畫出圖形，得出∠ACB=120°，已知了海軍護(hù)衛(wèi)艦和貨輪的速度，可設(shè)時間，并用時間表示出AB，BC的長，已知了AC的長為10，可根據(jù)余弦定理來求出時間的值．

本題主要考查了解直角三角形中方向角的應(yīng)用問題，畫對圖形是解題的關(guān)鍵．【解析】12、略

【分析】解：依題意可知，a，x1，x2，，xn，b成等差數(shù)列，則x1+x2++xn=

∵x1+xn=a+b

∴成立；故①正確；

∴=

∴②成立。

當(dāng)a=y1=y2==yn=b時，當(dāng)a，y1，y2，，yn，b不相等時，

故③④不正確；

故答案為：①②

先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式可判斷①②正確；再由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷③④不正確．

本題以數(shù)列為載體，考查數(shù)列與不等式的綜合，主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式的知識．考查綜合運(yùn)用能力．【解析】①②13、略

【分析】解：鈭?300鈭?隆脕婁脨180=鈭?53婁脨

．

故答案為：鈭?53婁脨

本題角度化為弧度，變換規(guī)則是度數(shù)乘以婁脨180

．

本題考查弧度與角度的互化，角度化為弧度用度數(shù)乘以婁脨180

弧度化為角度用度數(shù)乘以180蟺

正確做對本題關(guān)鍵是熟練記憶轉(zhuǎn)化的規(guī)則．【解析】鈭?53婁脨

三、解答題(共6題，共12分)14、略

【分析】

（1）∵f（x）為偶函數(shù)；∴f（-a）=f（a）；

即a2|2a|=0；∴a=0．．

（2）記h（x）=f（x）?g（x）

則h（-x）=f（-x）?g（-x）

∴h（x）為奇函數(shù)．

【解析】【答案】（1）利用函數(shù)的奇偶性確定a的值；

（2）利用奇偶性的性質(zhì)判斷y=f（x）?g（x）的奇偶性．

15、略

【分析】試題分析：（1）由于要將均勻的面上分別涂有1、2、3、4四個數(shù)字的正四面體隨機(jī)投擲兩次，故基本事件共有4×4=16個，然后求出時，基本事件的個數(shù)，代入古典概型公式即可得到結(jié)果；（2）分類討論方程根分別為1，2，3，5時，基本事件的個數(shù)，然后代入古典概型公式即可得到結(jié)果．(1)因?yàn)槭峭稊S兩次，因此基本事件共有16個，當(dāng)時，的所有取值為(1,3)，(3,1)，所以．(2)①若方程一根為則即不成立．②若方程一根為則即所以．③若方程一根為則即所以．④若方程一根為則即所以．綜合①②③④知，的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3個，方程為“漂亮方程”的概率為．考點(diǎn)：1．創(chuàng)新能力；2．古典概型．【解析】【答案】(1)(2)．16、略

【分析】

（1）T=（2）[]；（3）【解析】本試題主要是考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合運(yùn)用。以及三角恒等變換的運(yùn)用。（1）因?yàn)槔谜液瘮?shù)的周期公式得到第一問。；（2）先求的單調(diào)見區(qū)間，然后分析在時，的單調(diào)情況。（3）根據(jù)的值，可以得到關(guān)于的關(guān)系式，然后求解角的正弦值和余弦值，最后借助于二倍角的正切公式得到?！窘馕觥?/p>

（1）2分T=3分（2）[]5分（3）8分11分14分【解析】【答案】17、略

【分析】

（1）根據(jù)函數(shù)式子得出∴

（2）得出h（m）=2運(yùn)用基本不等式求解即可；

（3）化簡得出h（m）=2=2

利用m≥2（m=1時等號成立）即可得出答案．

本題考綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)算，結(jié)合基本不等式求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是運(yùn)算化簡，考查了計算能力．【解析】解；f（x）=logax，其反函數(shù)為g（x）=ax；

（1）∵f（x-1）=f（a-x）-f（5-x）；

∴l(xiāng)oga（x-1）=loga（a-x）-loga（5-x）；

∴

∵x2-7x+5+a=0；

∴x=

∵x＞1；x＜5，x＜a；

∴x=

（2）∵設(shè)F（x）=（2m-1）g（x）+（-）g（-x）；

∴設(shè)F（x）=（2m-1）ax+（-）a-x；

設(shè)F（x）=（2m-1）g（x）+（-）g（-x）；

∴h（m）=2

（3）h（m）=2=2

∵m≥2（m=1時等號成立）

∴-（m+）≤-2=

∴h（m）的最大值為2=．18、略

【分析】

（Ⅰ）由已知可設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2；且a＞0，將（-1，-1）代入可得f（x）的解析式，進(jìn)而可得g（x）的解析式，畫出g（x）的圖象；

（Ⅱ）設(shè)t=g（x），則方程2g2（x）-5g（x）+2=0可化為：2t2-5t+2=0；結(jié)合（I）中圖象，可得答案．

本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）＜5x-2的解集是（1；2）；

故可設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2；且a＞0；

又因?yàn)閒（x）的圖象過點(diǎn)（-1；-1）；

所以a=1

所以f（x）=（x-1）（x-2）+5x-2=x2+2x．（4分）

則g（x）=．其圖象如下圖所示：（8分）

（Ⅱ）設(shè)t=g（x），則方程2g2（x）-5g（x）+2=0可化為：2t2-5t+2=0；

解得：t=或t=2

即g（x）=或g（x）=2；

由（I）圖象可知方程g（x）=有4個不同根；

方程g（x）=2有2個不同根．

從而所求方程共有6個不同的根．（12分）19、略

【分析】

（1）先把圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑；再設(shè)切線的斜率為k，寫出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k，然后可得切線方程．

（2）先求OA的長度；再求直線AO的方程，再求C到OA的距離，然后求出三角形AOC的面積．

本題考查圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．【解析】解：（1）因?yàn)閳AC：x2+y2-4x-6y+12=0?（x-2）2+（y-3）2=1．

所以圓心為（2；3），半徑為1．

當(dāng)切線的斜率存在時；

設(shè)切線的斜率為k；則切線方程為kx-y-3k+5=0；

所以=1；

所以k=所以切線方程為：3x-4y+11=0；

而點(diǎn)（3；5）在圓外，所以過點(diǎn)（3，5）做圓的切線應(yīng)有兩條；

當(dāng)切線的斜率不存在時；

另一條切線方程為：x=3．

（2）|AO|==

經(jīng)過A點(diǎn)的直線l的方程為：5x-3y=0；

故d=

故S=d|AO|=四、作圖題(共1題，共10分)20、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據(jù)題目中的程序語言，得出該程序是順序結(jié)構(gòu)，利用構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用，即可畫出流程圖．五、證明題(共2題，共4分)21、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實(shí)現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進(jìn)一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．六、綜合題(共2題，共12分)23、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根據(jù)∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根據(jù)∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推