2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與手拉手模型 （含解析）

第4節(jié)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與手拉手模型

前言：相比平移、對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)無(wú)疑是三大變換中最難的一個(gè)，一方面在于圖形構(gòu)造較為復(fù)雜，另一方面旋轉(zhuǎn)本

身的故事就很多.本節(jié)從性質(zhì)開(kāi)始，介紹旋轉(zhuǎn)經(jīng)典模型之一：手拉手模型.

知識(shí)導(dǎo)航

對(duì)應(yīng)邊相等

旋轉(zhuǎn)：如圖，將仆ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE.

結(jié)論：AB=AD,AC=AE,BC=DE.

引例1：如圖，在△ABC中，AB=2,BC=3.6,NB=60。，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長(zhǎng)為（）

A.1.6B.1.8C.2D.2.6

解析：由題意得：AABC^AADE,

/.AB=AD,

又/B=60。，「.△ABD是等邊三角形,

；.BD=AB=2,

XBC=3.6,->.CD=1.6.

.,.選A.

對(duì)應(yīng)角相等

結(jié)論：ZB=ZD,ZC=ZE,ZBAC=ZDAE.

A

引例2:如圖，在△ABC中，ZCAB=55°,ZABC=25°,在同一平面內(nèi)，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70。得到△

ADE,連接EC,貝（JtanNDEC的值是_

解析：由題意得：ZEAC=70°,

JZAEC=ZACE=55°,

又NEAD=NCAB=55。，

???NCAD=15。，

■:ZACE+ZCAD=ZADE+ZDEC,

JZDEC=45°,

tanZDEC=l.

旋轉(zhuǎn)角相等

結(jié)論：ZBAD=ZCAE=ZBFD.（尤其關(guān)注BC與DE夾角）

證明：由題意得：ZBAD=ZCAE,

VZBAD+ZB=ZBFD+ZD,且/B=/D,

.\ZBAD=ZBFD.

引例3:如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角開(kāi)么ZBAC=ZDAE=90°.

E

D

AA

圖1

⑴如圖1,連接BE、CD,BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)P,求證：BP±CD;

（2）如圖2,把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，連接BE、CD,CD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)P,若B

C=6V2,AD=3,求4PDE的面積.

解析：(1)如下左圖,AAEB^AADC,.,.ZABE=ZACD,$nTS§],由“8字”模型可得：ZFPC=ZFAB=90°.

(2)由(1)可知NBPC=90。,

VAD=3,AC=6,；.CD=3V5

VZBPC=ZADC=90°,AACAD^ACPE,

..?=￡￡=*可得：PE=迪,CP=鯉,

CPCEPE55

cc3V5c19V53V527

???PD=—,???SPDE=-x—X—=—.

5PDE25510

...△PDE的面積為養(yǎng)

手拉手模型

條件：如圖，OA=OB,OC=OD（四線共點(diǎn)兩兩相等）,NAOB=/COD（夾角相等）

結(jié)論：△OACg^OBD(SAS)

引例4:如圖,正方形ABCD和正方形CEFG邊長(zhǎng)分別為a和b,正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論:①B

E=DG;②BE_LDG;(③。盾+BG2=2a2+2〃,其中正確結(jié)論是.（填序號(hào)）

解析：由手拉手模型可得①②正確，下分析③：

、

連接BD、EG,2a2+2bz=BD2+痔,記BEDG交點(diǎn)為H點(diǎn),

BD2=BH2+DH2,EG2=EH2+GH2,

DE2=DH2+EH2,BG2=BH2+GH2,

：.DE2+BG2=BD2+EG2,DE2+BG2=2a2+2b2.

模型拓展

手拉手模型中的相似：

已知△ABCdADE外，則4ABD和4ACE均為等腰三角形，且有ABDACE,^=*祟一般地.若小AB

C^AADE,貝必ABD^AACE.

引例5:如圖，在矩形ABCD中，將/ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后，BC的對(duì)應(yīng)邊BC交CD邊

于點(diǎn)G.連接BB\CC.若AD=7,CG=4,AB，=BG,則三=（結(jié)果保留根號(hào)）.

DD

解析：連接AC、AC,則4BB'?4%，鋁=靜，連接AG,解=久,,則BG=x,DG=x-4,

AG2=AB,2+BrG2=AD2+DG2,

代入得:%2+%2=72+（%—4產(chǎn)

解得:=5,x2=-13（舍）,

.CC^__AC_V74

?'BB'~AB~5

模型構(gòu)造

所謂構(gòu)造手拉手模型，實(shí)則構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，結(jié)合已知條件，添加輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，得角或線段間的數(shù)量關(guān)系.

引例6:如圖,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊

三角形DEF,連接CF.

【問(wèn)題解決】

如圖1,若點(diǎn)D在邊BC±,求證：CE+CF=CD;

【類比探究】

如圖2,若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE、CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

解析:⑴如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG〃AB交BC于點(diǎn)G,則ACEG是等邊三角形，

可彳導(dǎo)：△EGD0ZXECF,；.DG=CF,CG=CE,CD=CG+GD=CE+DF,即CE+CF=CD.

(2)如圖.過(guò)點(diǎn)E作EG〃AB交BC于點(diǎn)6貝必CEG是等邊三角形，

可得：△EGDdECF,；.DG=CF,CG=CE,CD=DG-CG=CF-CE,

即CD=CF-CE.

真題演練

1.如圖在RtAABC中./B=9(r,AB=5,BC=12,將^ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,使得點(diǎn)D落在AC

上，則tan/ECD的值為.

2.如圖，在4ABC中，ZACB=90°,將4ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到小DEC,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落

在邊AC上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AC=DEB.BC=EF

C.ZAEF=ZDD.AB±DF

3.如圖，在4ABC中，AC=BC,將4ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ADE.若AB=2,NACB=30。,則線段CD

的長(zhǎng)度為.

4.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形ABCD.若點(diǎn)B的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在邊CD上，則BC的長(zhǎng)為

C

AB

5.如圖，在菱形ABCD中,AB=2,/BAD=60。,將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形AEFG，點(diǎn)E

在AC±,EF與CD交于點(diǎn)P,則DP的長(zhǎng)是.

6.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到4ABF的位置，若四邊

形AECF的面積為25,DE=2,貝1]AE的長(zhǎng)為（）

D.V29

7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF平分NBAE交BC于點(diǎn)F,將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得仆ABG,貝UCF的長(zhǎng)為.

8如圖，AABC中，ZBAC>90°,BC=5,WAABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在BA的延

長(zhǎng)線上.若sinzBMC=巳貝UAC=.

9.如圖，在RtAABC中"AB=2,ZC=30°,將RtAABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到RtAABC,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在AC

上，在BC上取點(diǎn)D,使B,D=2,那么點(diǎn)D到BC的距離等于（）

A2（R+1）B.—+1

3

C.V3-1D.V3+1

10.如圖,在△ABC中，/BAC=9（T,AB=AC=10cm,點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),/BAD=15>AD=6cm,連接BD,將4

ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,連接DE,DE交AC于點(diǎn)F,則CF的長(zhǎng)

為cm.

11.如圖,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD=”C=2,以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形DEFG,且DE

=BC,連接AE、AG.若將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AE取最小值時(shí)，AG的長(zhǎng)為.

12.如圖.將^ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4DEC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

E,連接BE,下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AC=ADB.AB±EB

C.BC=DED.ZA=ZEBC

13.如圖在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形GBEF，點(diǎn)A落在

矩形ABCD的邊CD上，連接CE,則CE的長(zhǎng)是一

14.如圖,在四邊形ABCD中,AD/7BC,乙4BC=90°,AB=2小,BB，=2,AD=2?將小ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)后得△A'B'C,當(dāng)AB恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，△B'CD為等腰三角形，則AA'=()

A.VT1B.2V3C.V13D.714

15.如圖1,AABDDCE都是等邊三角形.

探究發(fā)現(xiàn)

(DABCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等,請(qǐng)說(shuō)明理由.

拓展運(yùn)用

(2)若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，ZADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的長(zhǎng).

(3)若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上(如圖2),且4ABC和4DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2,求4ACD的面積及AD

的長(zhǎng).

16.背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放(點(diǎn)E、A、D在同一條直線上)，

發(fā)現(xiàn)BE=DG且BEXDG.

小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：

(1)將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(如圖1),還能得到BE=DG嗎？若能，請(qǐng)給出證明；若不能,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD,將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(如圖2),

試問(wèn)當(dāng)NEAG與/BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且爺=*=|,4E=4,28=8,將矩形AEFG繞

點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(如圖3),連接DE、BG.小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DE2+BG?的值是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定

值.

17.如圖1,在小ABC中，ZA=90°,AB=AC=V2+1,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=1,連接DE.

現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(a(0。<a<360。),，如圖2,連接CE、BD、CD.

⑴當(dāng)0°<a<180。時(shí)，求證：CE=BD;

(2)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F,求證:CF垂直平分BD;

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求4BCD的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

18.AABC為等邊三角形，AB=8,ADXBC于點(diǎn)D,E為線段AD上一點(diǎn)，AE=2%.以AE為邊在直線AD

右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF,連接CE,N為CE的中點(diǎn).

⑴如圖1,EF與AC交于點(diǎn)G,連接NG,求線段NG的長(zhǎng)；

⑵如圖2,將AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,M為線段EF的中點(diǎn)，連接DN、MN.當(dāng)：30。<a<120。時(shí),

猜想/DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；

⑶連接BN,在4AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段BN最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ADN的面積.

A

解析：對(duì)應(yīng)邊相等求線段長(zhǎng)，即可得所求角的正切值.

由題意得：AD=AB=5,EN=CB=12,

,-.CD=AC-AD=13-5=8,,-.tanZECD=-=-

2.D.

解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AB_LDF,.?.選D.

3.2.

解析：連接EC,由題意可得△ACE是等邊三角形,

.,.EC=AC=BC=ED,.,.△ECD^AEAD,

；.CD=AD=AB=2,；.CD的長(zhǎng)為2.

B

4.1.

解析：無(wú)論圖形是什么，抓住旋轉(zhuǎn)的重點(diǎn)來(lái)分析.

過(guò)點(diǎn)B作BH_LAB交AB于H點(diǎn)，貝！|AH=4,BH=1,；.B'C=L

5.V3-1.

解析：特殊的菱形旋轉(zhuǎn)特殊的角度必然得到其他特殊的圖形.連接DE,可得APDE是等腰直角三角形，：AB=2,

:.AC=2V3,VAE=AB=2,.*.CE=2存2,

PE=V3-1,PO=V3-1.

6.D.

解析：由題意得：得^ADE經(jīng)△ABF,

正方形ABCD面積為25,所以邊長(zhǎng)AD=5,又DE=2,

AE=V52+22=回故選D.

7.6-2V5.

解析：設(shè)/EAF=NBAF=a,NDAE=/BAG=[3,貝！J/GAF=a+p=/GFA,；.GF=GA=EA=2V5CF=CG-GF=6-

2曲，，CF的長(zhǎng)為（6-2V5.

25V2

解析：題目給出/BAC的正切值，故構(gòu)造包含/BAC的直角三角形.過(guò)點(diǎn)C作CHLBB交BB，于點(diǎn)H,

則以=加=裊5=哈

根據(jù)sin/BNC,即羽

可得："=與==等,

9.D.

解析：延長(zhǎng)CE交BC于點(diǎn)M,連接AM,

貝?。軧'M=BM=竽，DM=2+手，

M/V=l+y,DW=V3+1,故選D.

10.(10-276).

解析：：/BAD=15。，；./CAE=15。，；./AFH=60。過(guò)點(diǎn)A作AH_LDE交DE于H點(diǎn),?.?AD=6cm,；.AH=3V2cm,

HF=46cm,AF=246cm,CF=(10-2V6)cm,S^CF的長(zhǎng)為(10-2呵cm.

11.8.

解析：如圖，當(dāng)D、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，AE最小，過(guò)點(diǎn)A作AMLBC交BC于M點(diǎn),

???DM=1,AM=3V3,AD="+27=2近，此時(shí)AG=128+36=8,故AG的長(zhǎng)為8.

12.D.

根據(jù)△ACB^ADCE,可得△CAD和4CBE是等腰三角形，目4CAD^ACBE,AZA=ZEBC,故選D.

13、|V10,

解析：：BG=AG=5,BC=3,；.CG=4,DG=1,

連接AG,AG=V32+l2=V10,

由題意得：△BEC^ABGA,CE=-BCA,

代入解得：CE=|VTU,故CE的長(zhǎng)為|VTo.

14.A.

解析：過(guò)點(diǎn)c作CEXAD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ABCE是矩形，設(shè)BC=x,貝U.B'D=B'C=BC=居又A

D=2,/.DE=x-2,勾股定理得：

2

22

x+x=(x-2)2+(2V7),解得：Xi=4,x2=-8

(舍)，,AB=2VT1,由題意得：ACBB'^ACAA',

..用=生=2=叵=舊故選A.

BBrCB42

15.解析：(1)全等，證明略.

⑵若NADC=30°,貝!|/ADE=90°,：CD=2,；.DE=2,；.AE=V32+22=BD=AE=V13.

⑶過(guò)點(diǎn)A作AH±CD交CD于點(diǎn)H,則CH=1,AH=V52

SACD=|x2xy=當(dāng)又DH=I，

AD=+：=V3.

故小ACD的面積是AD的長(zhǎng)為V3

16.解析:(1)成立.由題意得:△AEB