2025年中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：三角形壓軸綜合問(wèn)題【原卷版】

專題32三角形壓軸綜合問(wèn)題

一、解答題

1.（2022?青海?中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)

連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若AaBC和AADE是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

（2）解決問(wèn)題：如圖2,若A4CB和ADCE均為等腰直角三角形，N4CB=NDCE=90。，點(diǎn)A,D,E在同一

條直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接8E,請(qǐng)判斷/AEB的度數(shù)及線段CM,AE,8E之間的數(shù)量

關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖2

2.（2022?遼寧大連?中考真題）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在ATIBC中，。是48上一點(diǎn)，ZXDC=ZXCB.求證乙4CD=

/.ABC.

獨(dú)立思考：

（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題.

實(shí)踐探究：

(2)在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答.“如圖2,延長(zhǎng)C4

至點(diǎn)E,使CE=BD,BE與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,點(diǎn)、G,“分別在BF,BC上，BG=CD,乙BGH=4BCF.在

圖中找出與BH相等的線段，并證明.“

問(wèn)題解決：

(3)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組河學(xué)時(shí)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)482。=90。時(shí)，若給出△力BC中任意兩邊

長(zhǎng)，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長(zhǎng)均可求，該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答.“如圖3,在(2)

的條件下，若NBAC=90。，AB=4,AC=2,求的長(zhǎng).”

E

E

L

HH

圖1圖2圖3

3.(2022?山東青島?中考真題)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在△ABC和△4次「中，分別是8c和夕廠邊上的高線,且4。=4。，則A2BC和

△4夕C，是等高三角形.

A

BDCB'D'CBDCBDC

圖①圖②圖③

【性質(zhì)探究】

如圖①，用SUBC，SMB，。，分別表示AABC和的面積.

則S-BC=|BC-=\B'C-A'D',

'：AD=A'D'

,,SAABC：SAA'B'C=BC:B'C.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，。是△ABC的邊8c上的一點(diǎn).若BD=3,DC=4,貝US-BZ/SAMC=；

(2)如圖③，在△力BC中，D,￡分別是BC和4B邊上的點(diǎn).若BE:4B=1:2,CD-.BC=1:3,S^ABC=1,則

S/^BEC=---------，S4CDE=----------；

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和邊上的點(diǎn)，若BEMB=1:爪，CD:BC=l:n,ShABC=a,則

SACDE=------------------

4.(2022?山東煙臺(tái)?中考真題)

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△AOE都是等邊三角形，連接8。，CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連接8。，CE.請(qǐng)

直接寫出差的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,△ABC和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且黑=皆=：.連接8。，

BCDE4

CE.

①求管的值；

CE

②延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)R交AB于點(diǎn)G.求sin/BFC的值.

5.(2022.廣西?中考真題)已知NMON=a，點(diǎn)A,B分別在射線。M,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，若a=90°,取AB中點(diǎn)D,點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A,2,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為

連接。D,。。'.判斷。。與。。有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論:

(2)如圖②，若a=60。，以A8為斜邊在其右側(cè)作等腰直角二角形ABC,求點(diǎn)。與點(diǎn)C的最大距離:

(3)如圖③，若a=45。，當(dāng)點(diǎn)A,2運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△20B的面積最大?請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

6.(2022?山東濰坊?中考真題)【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個(gè)含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點(diǎn)。順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接如圖③所示,

AB交H0于E,AC交0G于E通過(guò)證明4OBE=AOAF,可得。E=OF.

圖③

【遷移應(yīng)用】

延長(zhǎng)G4分別交所在直線于點(diǎn)P,D,如圖④,猜想并證明DG與的位置關(guān)系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB,4G,如圖⑥所示,

其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明力G與的數(shù)量關(guān)系.

7.(2022?遼寧錦州?中考真題)在△28C中，AC=BC,點(diǎn)。在線段4B上，連接CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使DE=CD,

過(guò)點(diǎn)E作EF14B,交直線4B于點(diǎn)F.

圖1備用圖

(1)如圖1,若N4CB=120。，請(qǐng)用等式表示4C與EF的數(shù)量關(guān)系:

(2汝口圖2.若N4CB=90。，完成以下問(wèn)題:

①當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)尸位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示力之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

②當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)P位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若DF=1,2D=3,請(qǐng)直接寫出AC的長(zhǎng).

8.(2022?北京?中考真題)在A4BC中，乙4cB=90。，。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD,DC,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E,

使得CE=DC.

(1)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得CF=BC,連接4F,EF,若力F1EF,求證：BD1AF；

(2)連接4E,交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CH,依題意補(bǔ)全圖2,若AB?=AE2+BD2,用等式表示線段CD與

CH的數(shù)量關(guān)系，并證明.

9.(2022?福建?中考真題)已知A4BC三△￡)￡1￡1,AB^AC,AB>BC.

EE

E

（D如圖1,CB平分NACO,求證：四邊形A8OC是菱形；

（2）如圖2,將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于N8AC）,BC,OE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R用

等式表示NACE與/跖C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖3,將（1）中的△COE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于/ABC）,若4BAD=4BCD,求NAOB的度

數(shù).

10.（2022?山東威海?中考真題）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考

（1）如圖1,在AABC中，AB=AC.

①BD,CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.

②點(diǎn)。，E分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，連接8。，CE.求證：BD=CE.

（從①②兩題中選擇一題加以證明）

（2）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察

經(jīng)過(guò)做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在AABC中，AB=AC,。為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合）.對(duì)于點(diǎn)

。在邊AC上的任意位置，在另一邊上總能找到一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E,使得BZ）=CE.進(jìn)而提出問(wèn)題：

若點(diǎn)。，E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC,A8的延長(zhǎng)線上，8。與CE還相等嗎？請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：

如圖2,在AABC中，AB^AC,點(diǎn)、D,E分別在邊AC,AB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的字

母），使得BO=CE,并證明.

（3）探究：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)

如圖3,在AA8C中，AB=AC=2,ZA=36°,E為邊A8上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合），/為邊AC延長(zhǎng)

線上一點(diǎn).判斷8尸與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說(shuō)明理由.

11.（2022.貴州銅仁.中考真題）如圖，在四邊形A8CD中，對(duì)角線4C與BD相交于點(diǎn)O,記4C。。的面積為S「

△20B的面積為52.

（1）問(wèn)題解決：如圖①，若ABUCD,求證：?=等

UA-UD

（2）探索推廣：如圖②，若AB與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在04上取一點(diǎn)E,使。E=OC,過(guò)點(diǎn)E作交。。于點(diǎn)尸，點(diǎn)X為4B的中點(diǎn)，

OH交EF于點(diǎn)G,且OG=2GH,若詈=|,求尚值.

12.（2022?湖北武漢.中考真題）已知CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E,尸分別在邊AC,BC上,AD=m,BD=n,

△ADE^ABDF的面積之和為S.

（1）填空：當(dāng)N4C8=90。，DELAC,。尸18C時(shí),

①如圖1,若NB=45°,m=5V2,貝！J九=,S=

②如圖2,若z_B=60°,m—貝E=>S=；

(2)如圖3,當(dāng)乙4cB=NEDF=90。時(shí)，探究S與相、力的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(3)如圖4,當(dāng)乙4cB=60。，ZFDF=120°,m=6,兀=4時(shí)，請(qǐng)直接寫出S的大小.

13.(2022?黑龍江?中考真題)A/IBC和AADE都是等邊三角形.

⑴將A4DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接BDCE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合)，有P4+PB=PC

(或P4+PC=P8)成立；請(qǐng)證明.

⑵將A/IDE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接8。，CE相交于點(diǎn)P,連接加，猜想線段Bl、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

⑶將AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接B4,猜想線段出、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

14.(2022?陜西?中考真題)問(wèn)題提出

⑴如圖1,AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)尸在力D的延長(zhǎng)線上，且AP=4C,貝此APC的度數(shù)為.

問(wèn)題探究

(2)如圖2,在AHBC中，C4=CB=6/C=120。.過(guò)點(diǎn)A作4P||BC,5.AP=BC,過(guò)點(diǎn)尸作直線/_LBC,

分別交ZB、BC于點(diǎn)。、E,求四邊形0EC2的面積.

問(wèn)題解決

⑶如圖3,現(xiàn)有一塊△力BC型板材，乙4cB為鈍角，ABAC=45°.工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△4BP型

部件，并要求NB4P=15°,AP=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點(diǎn)C為圓心，以C4長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D,連接CD；

②作CD的垂直平分線/,與CD于點(diǎn)E；

③以點(diǎn)A為圓心，以4C長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線/于點(diǎn)尸，連接AP、BP,得4ABP.

請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的A2BP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

15.（2022?湖南岳陽(yáng)?中考真題）如圖，△48。和4的頂點(diǎn)8重合，乙4BC=乙DBE=90。，/員4。=乙BDE=

30°,BC=3,BE=2.

圖2

圖3

（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)點(diǎn)D,E分別在4B,BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：第=______，直線4。與直線CE的位

CE

置關(guān)系是;

（2）探究證明：如圖2,將圖1中的ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。恰好落在線段4C上，連接EC,（1）中的

結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）拓展運(yùn)用：如圖3,將圖1中的ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（19。<a<60。），連接力。、EC,它們的延長(zhǎng)線

交于點(diǎn)尸，當(dāng)DF=BE時(shí)，求tan（60°-a）的值.

16.（2022?湖北十堰?中考真題）已知N4BN=90。，在乙4BN內(nèi)部作等腰△ABC,AB=AC,Z.BAC=

a（（T<aW90。）.點(diǎn)。為射線BN上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接2D,將線段4。繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到

線段4E,連接EC并延長(zhǎng)交射線BN于點(diǎn)F.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)0。<。<90。時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若a=60。，AB=4V3,BD=m,過(guò)點(diǎn)E作EPlBN,垂足為P,請(qǐng)直接寫出PD的長(zhǎng)(用含有小的式子表

示).

17.(2022.湖南湘潭?中考真題)在AABC中，ZSXC=90°,AB=AC,直線2經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)B、C分別作Z的

垂線，垂足分別為點(diǎn)。、E.

(1)特例體驗(yàn)：

如圖①，若直線"BC,AB=AC=42,分別求出線段BD、CE和DE的長(zhǎng)；

(2)規(guī)律探究：

①如圖②，若直線/從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)a(0<a<45。)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE和OE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明

理由；

②如圖③，若直線2從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(45o<a<90。)，與線段BC相交于點(diǎn)H,請(qǐng)?jiān)偬骄€

段B。、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

⑶嘗試應(yīng)用：

在圖③中，延長(zhǎng)線段BD交線段2C于點(diǎn)F,若CE=3,DE=1,求“BFC-

18.(2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖1,在A2BC中,NB4C=90。,NC=60。，點(diǎn)。在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)

動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合)，過(guò)點(diǎn)。作DE12。，交射線于點(diǎn)￡

A

(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段4E與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

①點(diǎn)E在線段4B的延長(zhǎng)線上且BE=BD；

②點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED.

(2)若AB=6.

①畸修時(shí)，求4E的長(zhǎng);

②直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段4E長(zhǎng)度的最小值.

19.(2022?河北?中考真題)如圖，四邊形ABC。中，AD^BC,ZABC=90°,ZC=30°,AO=3,AB=2同

DHLBC于點(diǎn)H.將APOM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)8在上，其

中/Q=90°,NQPM=30°,PM=4A/3.

圖1圖2圖3

(1)求證：△PQM冬ACHD；

(2)APQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著B(niǎo)C方向向右平移(圖2),當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

(圖3),當(dāng)邊PM■旋轉(zhuǎn)50。時(shí)停止.

①邊尸。從平移開(kāi)始，到繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊P。掃過(guò)的面積；

②如圖2,點(diǎn)K在8H上，且BK=9-4g.若△PQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的速度

為每秒5。，求點(diǎn)K在APQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)；

③如圖3.在4尸?！ㄐD(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)尸。，PM分別交2C于點(diǎn)E,F,若BE=d,直接寫出CF的長(zhǎng)（用含

d的式子表示）.

20.（2022?山西?中考真題）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：在MAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EZ加中/即尸=90。，將三角板的直角頂

點(diǎn)D放在Rt^ABC斜邊的中點(diǎn)處,并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊。E,。/分別與邊AB,AC

交于點(diǎn)M,N,猜想證明：

二7

BDGCB

BDL

圖①圖②圖

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDV的形狀，并說(shuō)明理由；

問(wèn)題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)NB=NMDB時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；

（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí),,直接寫出線段AN的長(zhǎng).

21.（2022?湖北武漢?中考真題）問(wèn)題提出:如圖（1）,AABC^P,AB=AC,。是力C的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,

使DE=DB,延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F,探磷的直

AxA

BCEBc――EBGCE

（1）（2）（3）

（D先將問(wèn)題特殊化.如圖（2）,當(dāng)Nb4c=60。時(shí)，直接寫出當(dāng)?shù)闹担?/p>

（2）再探究一般情形.如圖（1）,證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問(wèn)題拓展：如圖（3）,在△ABC中，AB=AC,D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，f^=-（n<2）,延長(zhǎng)BC至

BCTL

點(diǎn)E,使DE=DG,延長(zhǎng)ED交力B于點(diǎn)F.直接寫出笠的值（用含n的式子表示）.

22.（2022?江西?中考真題）問(wèn)題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：將足夠大

的直角三角板PEF（NP=90。,4尸=60。）的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心。處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角

三角板PEF與正方形4BCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)尸放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)。F與OB重合時(shí)，重疊部分的面

積為當(dāng)。F與8C垂直時(shí)，重疊部分的面積為.;一般地，若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為

（2）類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)/放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，。E,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M,N.

①如圖2,當(dāng)BM=CN時(shí)，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說(shuō)明理由;

②如圖3,當(dāng)CM=CN時(shí)，求重疊部分四邊形。MCN的面積（結(jié)果保留根號(hào)）;

（3）拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心。處，