2025年中考數學總復習 菱形 學案（含答案）

微專題26菱形

考點精講

構建知識體系

rdZ)

一邊

一角

■（性質］—

-對角線

［平行四邊形卜特殊化

菱形-1對稱性

-角

■（判定）一

J對角線

4?^

考點梳理

1.菱形的性質與判定（6年3考）

⑴定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）菱形的性質

邊對邊平行，四條邊①

角對角②

對角對角線互相③,并且每一條對角線④

線組對角（人教獨有）

既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有⑤條對稱軸,

對稱

對稱軸為兩條對角線所在的直線，對稱中心是兩條對角線

性

的交點

⑶菱形的判定

一、①_⑥的平行四邊形是菱形（定義）;

邊

②⑦相等的四邊形是菱形

對角

對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形

線

二組鄰邊相等

/平行四邊形尸

對角線互相垂直

四條邊都相等

2.菱形面積

面積計算公式：S=a/z=詈(a表示一條邊長，"表示此邊上的高，m,〃表示對角

線的長).

練考點

1.如圖，在菱形A5CZ)中，ZABC=60°,對角線AC與瓦)交于點O,E為BC

的中點，連接OE,已知OE=1.

AD

BEC

第1題圖

(1)ZABD=°,ZBAD=°；

(2)菱形ABCD的周長為；

(3)ABOE的形狀為；

(4)AC=,BD=；

(5)菱形ABCD的面積為.

2.如圖，四邊形45CD的對角線AC,BD交于點O,且互相平分，添加下列條

件，仍不能判定四邊形A5CD為菱形的是()

第2題圖

A.BC=CD

B.AB=AC

C.AC±BD

D.ZABD=ZCBD

高頻考點

考點1與菱形有關的證明及計算(6年3考)

例如圖①，在矩形A5co中，E,尸分別是線段A。，邊上的點，EF與BD

相交于點0,且EFLBD,連接5E,DF,BE=DF.

例題圖①

(1)求證：四邊形BEDF為菱形;

(2)核心設問若NABE=30°,且四邊形5ED尸的面積為4g,求四邊形尸

的周長；［2022廣東13題考查］

(3)若NAD5=30°,EF=2,求的長;

(4)若AD=6,AB=4,求七的值.

(5)如圖②，連接0C,若A5=4,BF=5,求tanNOCB的值.

例題圖②

真題及變式

命題點與菱形性質有關的計算（6年3考）

1.（2022廣東13題3分）菱形的邊長為5,則它的周長為.

2.（2024廣東15題3分）如圖，菱形的面積為24,點E是A5的中點，點

尸是5C上的動點.若ABE尸的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

變式

2.1變圖形——將菱形背景變?yōu)榫匦?/p>

如圖，矩形A5CD的面積為36,E,F,G分別為ABBC,CD的中點，H為AD

上任一點，則圖中陰影部分的面積為

AHD

EG

RFC

變式2.1題圖

3.（2017廣東21題7分）如圖所示，已知四邊形A5CZ）,AOE/都是菱形，ZBAD

ZFAD,NBAZ)為銳角.

第3題圖

（1）求證：AD±BF；

Q）若BF=BC,求NA。。的度數.

拓展訓練

4.（2024遼寧）如圖，在平面直角坐標系％Oy中，菱形A05C的頂點A在％軸負

半軸上，頂點5在直線丁=9上，若點5的橫坐標是8,則點。的坐標為（）

4

C)B/

第4題圖

A.(—1,6)

B.(-2,6)

C.(-3,6)

D.(-4,6)

新考法

5.［注重過程性］(2024重慶A卷)

在學習了矩形與菱形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現，

過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條

對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論.根

據他們的想法與思路，完成以下存留和填冬

(1)如圖，在矩形A5CD中，點O是對角線AC的中點.用尺規(guī)過點O作4。的垂

線，分別交ABCD于點E,F,連接ARCE(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)已知：矩形ABC。，點E,尸分別在ABCD上，E/經過對角線4。的中點O,

且EFLAC求證：四邊形AEC尸是菱形.

證明：二?四邊形A5CD是矩形，

：.AB//CD.

①,ZFCO=ZEAO.

二?點。是AC的中點，

△CFO^^AEO(AAS).

(3)

又?:04=0。，

???四邊形AECF是平行四邊形.

'：EF±AC,

???四邊形AECF是菱形.

進一步思考，如果四邊形ABCQ是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜

想的結論：④.

第5題圖

考點精講

①相等②相等③垂直平分④平分⑤2⑥鄰邊相等⑦四條邊

教材改編題練考點

1.(1)30,120(2)8(3)等腰三角形(4)2,2舊(5)273

2.B

高頻考點

例(1)證明：???四邊形A5CZ)是矩形，

ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,

4Tq(BE=DF,

在RtAABE和RtACDF中，

kAB=CD,

.,.RtAABE^RtACDF(HL),

：.AE=CF.

"：AD=BC,

：.DE=BF.

\'DE//BF,

：.四邊形BEDF是平行四邊形.

又?：EFLBD,

J四邊形BEDF為菱形;

(2)解：VZABE=30°,

：.ZEBF=60°.

由(1)知四邊形BEDF是菱形，

：.BE=BF,ZEBO=30°,

；.△BE尸為等邊三角形，OB=WOE,即5。=舊石尸，

：.BE=EF,

,?*S四邊形8皮)尸

：3BDEF=LxaEP=,

22

解得E尸=2近(負值已舍去)，

:.BE=BF=DE=DF=EF=2近,

：.四邊形BEDF的周長=5石+5/+。石+。尸=8夜;

(3)解：?.?四邊形BED廠是菱形，

：.DE=DF.

'：BD±EF,ZADB=30°,

：.ZEDF=2ZADB=60°,

.?.△DE尸是等邊三角形，

：.DE=DF=EF=BF=2.

?.?四邊形A5CD是矩形，

ZADC=ZC=90°,

：.ZCDF=30°,

1

在RtACDF中，CF=jDF=1,

：.AD=BC=BF+CF=2+1=3；

(4)解：?.?四邊形5石。尸是菱形，

：.BF=DF.

"：AD=BC=6,

設。尸=%,則。尸=5/=BC—C尸=6一%.

二?四邊形A5CD是矩形，

：.CD=AB=4,ZC=90°,

在R3CD尸中，由勾股定理得，尸=。尸，

即42+x2=(6—%)2,

解得％=|，

???C尸的長為|,

：.DF=6-CF=—.

3

2

在R35C。中，由勾股定理，^DB=JBC2+CD=2y/13,

13____

?DF_y_V13

??DB2^136'

(5)解：?.?四邊形BE。尸為菱形，

：.BF=DF=5,BO=DO,

???四邊形A5CZ)為矩形，

:.NDCB=90°,

.,.在R35CD中，0為50中點，

1

0C=-BD=B0,

2

：.Z0BC=Z0CB.

又???四邊形A5CZ)為矩形，

ZBCD=90°,

"：CD=AB=4,

：.CF=JDF2~CD2=3,

.,.BC=3+5=8,

CD41

.,.tanZOCB=tanZOBC=—BC82

真題及變式

1.20【解析】???菱形的四條邊都相等，且邊長為5,...菱形的周長為20.

2.10【解析】如解圖①，連接5。，丁石是45的中點，.?.金AED=ABD=

24

菱形ABCD=6,連接EC,同理可得SABEC=SAAED=6,VSABEF=4,ASABEF=^SABEC，

：.FC=-BC,ADFC=；SABCD=：S菱形A8CQ=4,/.S陰影=S菱形ABCD—SAAED—SABEF

336

—5ADFC—24—6—4—4=10.

A

E

Fc.

第2題解圖①

一題多解法

如解圖②，延長DE,CB交于點G,,：四邊形ABCD為菱形，，，ZGBE

=ZDAE,E是A3中點，BE=AE,'：/GEB=ZDEA,

：.△AED^△BEG(ASA),GE=DE,'-E為DG中點，.?.SADEF—5AFGE=S&BEF

1

+5ABEG=4+SAAED=4+24Xi=10.

4

第2題解圖②

變式2.118【解析】如解圖，連接C",在矩形A5C。中，設AD=a,AB

=

人則短忖QGCBF^a,??S陰影=S長方形ABCD—5AAEH—SAHFC—SAHCG36—

illiii

-AEAH--FCAB--HDCG=36--ADAE--FCAB=36--ab=18.

222222

AHD