專題01 分式的運(yùn)算 帶解析

2022-2023學(xué)年華師大版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題01分式的運(yùn)算試卷滿分：100分考試時間：120分鐘評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考期末）下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】把四個選項(xiàng)分別先利用分式的乘方法則，將分子分母分別乘方，再利用冪與積的乘方法則分別進(jìn)行運(yùn)算即可．【規(guī)范解答】解：A、，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，本選項(xiàng)正確，符合題意；D、，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的乘方法則、積的乘方法則、冪的乘方法則、完全平方公式等知識，掌握這些法則以及乘法公式是解題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）關(guān)于式子，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，其值為2B．當(dāng)時，其值為0C．當(dāng)時，其值為正數(shù)D．當(dāng)時，其值為正數(shù)【答案】D【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)分式的四則運(yùn)算法則化簡分式并確定x的取值范圍，然后根據(jù)x的取值范圍和分式的性質(zhì)逐項(xiàng)排查即可解答．【規(guī)范解答】解：＝＝，∵，∴或，，∴A．由，故A說法錯誤，不符合題意；B．由，故B說法錯誤，不符合題意；C．當(dāng)時，，故C說法錯誤，不符合題意；D．當(dāng)時，，故D說法正確，符合題意．故選：D．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了分式的四則混合運(yùn)算、分式有意義的條件、分式的意義等知識點(diǎn)，明確分式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）一塊麥田m畝，甲收割完這塊麥田需n小時，乙比甲少用0.5小時就能收割完這塊麥田，兩人一起收割完這塊麥田需要的時間是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】先得到乙收割完這塊麥田需要的時間，根據(jù)工作總量÷工作時間=工作效率，分別求出甲、乙的工作效率，再用工作總量÷甲、乙的工作效率和求出兩人一起收割完這塊麥田需要的工作時間．【規(guī)范解答】乙收割完這塊麥田需要的時間是小時，甲的工作效率是（畝/小時），乙的工作效率（畝/小時），故兩人一起收割完這塊麥田需要的工作時間為小時，答：兩人一起收割完這塊麥田需要小時．故選A．【考點(diǎn)評析】考查了列代數(shù)式（分式），解題的關(guān)鍵是熟悉工作總量、工作時間和工作效率之間的關(guān)系．4．(本題2分)（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）下面是甲、乙、丙三位同學(xué)在黑板上計(jì)算的做法：則關(guān)于這三位同學(xué)的做法，你認(rèn)為（

）A．甲同學(xué)的做法正確 B．乙同學(xué)的做法正確C．丙同學(xué)的做法正確 D．三位同學(xué)的做法都不正確【答案】D【思路點(diǎn)撥】異分母分式加減，先通分，分子加減，約分化簡．【規(guī)范解答】解：，∴三位同學(xué)的做法都不正確，故選：D．【考點(diǎn)評析】此題考查了異分母分式的加減，解題的關(guān)鍵是熟悉異分母分式加減的步驟，即先通分，分子加減后再約分．5．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式運(yùn)算法則，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【規(guī)范解答】解：A、，選項(xiàng)A不符合題意；B、，選項(xiàng)B不符合題意；C、，選項(xiàng)C不符合題意；D、，選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【考點(diǎn)評析】本題考查分式運(yùn)算，涉及通分、分式加減運(yùn)算法則等知識，熟練掌握分式相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．6．(本題2分)（2023春·八年級單元測試）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】先利用倒數(shù)關(guān)系求出的值，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：，的值為，故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查分式的值，掌握是解決問題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習(xí)）對于任意的x值都有，則M，N值為（）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【思路點(diǎn)撥】先計(jì)算=,根據(jù)已知可得關(guān)于M、N的二元一次方程組，解之可得．【規(guī)范解答】解：==∴=∴，解得：，故選B．【考點(diǎn)評析】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據(jù)已知等式得出關(guān)于M、N的方程組．8．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習(xí)）當(dāng)分別取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019時，計(jì)算代數(shù)式的值，將所得結(jié)果相加，其和等于A．1 B． C．1009 D．0【答案】D【思路點(diǎn)撥】先把和代入代數(shù)式，并對代數(shù)式化簡求值，得到它們的和為0，然后把代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值，再把所得的結(jié)果相加求出所有結(jié)果的和．【規(guī)范解答】解：設(shè)，將和代入代數(shù)式，，∴，則原式=，故選：D．【考點(diǎn)評析】本題考查的是代數(shù)式的求值，本題的x的取值較多，并且除外，其它的數(shù)都是成對的且互為倒數(shù)，把互為倒數(shù)的兩個數(shù)代入代數(shù)式得到它們的和為0，原式即為代入代數(shù)式后的值．9．(本題2分)（2021秋·湖南邵陽·八年級邵陽市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【思路點(diǎn)撥】用作差法比較大小即可．【規(guī)范解答】∵，，∴===＞＞0，∴．故選A．【考點(diǎn)評析】本題考查了作差法比較代數(shù)式的應(yīng)用、因式分解的應(yīng)用，以及放縮法的應(yīng)用，作差法是是比較代數(shù)式大小常用的方法，要求學(xué)生掌握．10．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習(xí)）設(shè)，，當(dāng)時，和的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】A【思路點(diǎn)撥】用差值法比較大小，，進(jìn)行通分，由可判斷M、N的大小.【規(guī)范解答】

.∵x>y>0∴x(x+1)>0，x?y>0∴M?N>0故M>N.選A.【考點(diǎn)評析】本題考查分式加減的實(shí)際應(yīng)用.異分母分式相減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)減法法則進(jìn)行計(jì)算.還需注意本題最終計(jì)算結(jié)果是分式，可分別判斷分子和分母的符號，根據(jù)兩數(shù)相除，同號為正，異號為負(fù)判斷結(jié)果的符號.評卷人得分二、填空題(每題2分，共18分)11．(本題2分)（2022秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）已知，且，則___________．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)求出的值，上下同時除以，整理代入解方程即可．【規(guī)范解答】解：上下同時除以得：，將，代入以上式子得：，解得：．故答案為：【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的化簡求值，相關(guān)知識點(diǎn)有：完全平方公式，整體思想的利用是解題關(guān)鍵．12．(本題2分)（2023秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知，則的值是______．【答案】##【思路點(diǎn)撥】先計(jì)算括號內(nèi)的，再計(jì)算乘方，然后計(jì)算除法，將式子化簡，最后把已知整體代入計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的運(yùn)用．13．(本題2分)（2023春·八年級單元測試）化簡___；已知3，則分式的值為___．【答案】

【思路點(diǎn)撥】①將的分子、分母分別因式分解，再約分即可；②將3化為3，進(jìn)而得到，然后整體代入求解．【規(guī)范解答】解：①；②∵3，∴3，即，則，．故答案為；【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是學(xué)會因式分解及約分．14．(本題2分)（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎渲蠥、B是常數(shù)，則__________．【答案】##【思路點(diǎn)撥】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再由等式的性質(zhì)得到，，分別求出、即可．【規(guī)范解答】解：分式的最簡公分母是，方程兩邊同時乘以最簡公分母，得，，，，，，故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查分式加減法；熟練掌握分式加減法運(yùn)算，同時能結(jié)合二元一次方程組求解與．15．(本題2分)（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若，則______.【答案】【思路點(diǎn)撥】由得出，，將分式變形為，代入求值即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，完全平方公式變形求值，掌握完全平方公式和分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）若，，都有意義，下列等式①；②；③；④；中一定不成立的是_______．【答案】②【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：∵，，都有意義，∴，，，當(dāng)時，①，④，∴①④可能成立，∴①④不符合題意；根據(jù)分式的基本性質(zhì)可得，∴③不符合題意；若成立，則有，∴，關(guān)于m的一元二次方程，，∴不存在這樣的m、n的值使原式成立，∴②一定不成立；故答案為：②．【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的加減、分式有意義的條件、分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)及加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．17．(本題2分)（2022秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．同時我們也可以將“和諧分式化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值為整數(shù)．則整數(shù)取值為：___________．【答案】##【思路點(diǎn)撥】由題意直接根據(jù)“和諧分式”的定義將分式化簡變形即可．【規(guī)范解答】解：原式為整數(shù)，當(dāng)或時，分式的值為整數(shù)，此時或或1或．又分式有意義時，，．故答案為：【考點(diǎn)評析】本題主要考查分式的化簡求值及分式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)及對和諧分式的定義的理解．18．(本題2分)（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測）已知，則的值為_____．【答案】##【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出，再代入求值即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，∵，∴，∴，原式，故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的加減法以及分式有意義的條件，把條件變形得出是解本題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）已知，，那么______．【答案】【思路點(diǎn)撥】由，，得出，進(jìn)一步得到；再由原式的倒數(shù)的值求解即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴兩邊同時平方得：整理得：∵∴故答案為：【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的值；熟練運(yùn)用整體代入法、倒數(shù)法求分式的值是解題的關(guān)鍵．評卷人得分三、解答題(共62分)20．(本題6分)（2023秋·四川南充·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中滿足，取一個整數(shù)即可．【答案】；時，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和法則先把原分式化簡，再取滿足題意的值代入計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解:原式．∵，且，∴符合條件的整數(shù)的值只能取2或-2．當(dāng)時，原式．或當(dāng)時，原式．【考點(diǎn)評析】此題考查分式的計(jì)算與化簡求值，解決這類題目關(guān)鍵是把握好通分與約分．分式加減的本質(zhì)是通分，乘除的本質(zhì)是約分．同時注意在進(jìn)行運(yùn)算前要盡量保證每個分式最簡．21．(本題6分)（2023秋·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：(1)先化簡，再求值：，其中滿足．(2)先化簡，再求值：，在2，3，4中選一個合適的數(shù)作為的值代入求值．【答案】(1)，；(2)，當(dāng)時，原式；【思路點(diǎn)撥】（1）將括號內(nèi)通分，然后運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行分式化簡，再代入計(jì)算即可；（2）將括號內(nèi)通分，然后運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行分式化簡，由，確定的值再代入計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：，，，當(dāng)時，原式；（2），，，，，當(dāng)時，原式．【考點(diǎn)評析】本題考查了分式的化簡求值；靈活運(yùn)用公式正確化簡求值即可．22．(本題8分)（2023秋·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)；(2)【思路點(diǎn)撥】（1）利用完全平方公式以及平方差公式計(jì)算即可求解；（2）先把分子分母因式分解，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分后進(jìn)行通分進(jìn)行分式的減法運(yùn)算．【規(guī)范解答】（1）解：；（2）解：．【考點(diǎn)評析】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，分式的加減乘除混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2023秋·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期末）由完全平方差公式可知，，而，所以，對所有的實(shí)數(shù)都有：，且只有當(dāng)時，才有等號成立：．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)計(jì)算，由此可知（填不等號）；(2)已知為不相等的兩正數(shù)，試比較：與的大?。?3)試求分式的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)資料提示的算法即可求解；（2）分別按多項(xiàng)成乘法運(yùn)算方法展開與，再根據(jù)資料提供的方法即可求解；（3）根據(jù)分式的運(yùn)算方法，計(jì)算，再根據(jù)資料提供的解題方法即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：，，∵，∴，故答案為：，．（2）解：，∵又∴．（3）解：，當(dāng)時，原式；當(dāng)時，，∵（當(dāng)時，等號成立）∴，當(dāng)時，的最大值為．【考點(diǎn)評析】本題主要考查分式的運(yùn)算，理解題干意思，掌握分式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）（1）根據(jù)圖形（1）的面積寫出一個公式：___________圖二是兩塊試驗(yàn)田，“豐收1號”小麥的試驗(yàn)田是邊長a米、b米兩個正方形，“豐收2號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為a米、米的長方形，（）兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了．（2）哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？（請說明理由）（3）高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？【答案】（1）；（2）豐收2號畝產(chǎn)量高；（3）【思路點(diǎn)撥】（1）用面積公式以及割補(bǔ)法兩種方法表示出大陰影正方形的面積即可得解；（2）分別用總產(chǎn)量除以兩塊試驗(yàn)田的面積，求出兩塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量，再進(jìn)行比較即可；（3）用高的單位面積產(chǎn)量除以低的單位面積產(chǎn)量，即可得解．【規(guī)范解答】解：（1）由圖可知：；故答案為：；（2）豐收2號畝產(chǎn)量高，理由：豐收1號畝產(chǎn)量為：，豐收2號畝產(chǎn)量為：，，，即：，；豐收2號畝產(chǎn)量高．（3）解：；∴高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的倍．【考點(diǎn)評析】本題考查完全平方公式的幾何背景，以及分式的的運(yùn)算．正確的識圖，利用割補(bǔ)法求出圖形的面積，是解題的關(guān)鍵．25．(本題8分)（2023秋·山西忻州·八年級統(tǒng)考期末）（1）先化簡，再求值：，其中；（2）學(xué)習(xí)了分式運(yùn)算后，老師布置了這樣一道計(jì)算題：，小明同學(xué)的解答過程如下：①②③④①請你分析小明的解答從第______步開始出現(xiàn)錯誤（填序號），錯誤的原因是______；②請寫出正確解答過程，并求出當(dāng)時此式的值．【答案】（1），4；（2）①：③，同分母相減時，約分時將分母全部約去了；②，【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)分式乘除的運(yùn)算法則，結(jié)合因式分解對原式進(jìn)行化簡，再將的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）①根據(jù)異分母分式加減法法則結(jié)合分式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可；②根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算，然后再將的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】（1），，，，將時，原式（2）①：③，同分母相減后的結(jié)果，約分時將分母全部丟了；②，，，，，將時，原式【考點(diǎn)評析】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，分式的基本性質(zhì)，熟練掌握因式分解，分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．(本題8分)（2022秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）定義：如果一個分式能化成一個非零整式與一個分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個分式為“和諧分式”．例如：，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式：①，②，③，其中屬于“和諧分式”的是__________（填序號）；(2)分式是否為“和諧分式”，請說明理由；(3)當(dāng)整數(shù)取多少時，的值為整數(shù)？【答案】(1)①③(2)是，理由見解析(3)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題干“和諧分式”定義，逐個化簡變形即可得