2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：計(jì)數(shù)原理與概率（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練21

計(jì)數(shù)原理與概率

［考情分析］1.高考中主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合的應(yīng)用，對(duì)二項(xiàng)式定理的考查以

求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)為主，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，

難度中等偏下2高考中對(duì)此概率內(nèi)容多以實(shí)際材料為背景，主要考查隨機(jī)事件的概率及古典

概型、條件概率的計(jì)算，也考查概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，選擇題、填空題或解答題中均有出

現(xiàn)，難度中等偏下.

【練前疑難講解】

一、排列與組合問(wèn)題

1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

(1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能

用到分類加法計(jì)數(shù)原理.

(2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直

觀化.

2.解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：

一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排列

組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).

二、二項(xiàng)式定理

1.二項(xiàng)式定理的常用結(jié)論

(l)(a-b)n=C%"-_|------p(_1)仁初"-----P(—1

(2)(1+無(wú))”=c9+chH-----PCwH------l-c；^.

2.求解二項(xiàng)式有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要注意“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系.

三、概率

1.古典概型的概率公式

叫m事件A中所含的樣本點(diǎn)

尸(A)一〃一試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率

在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：％8以)=與黑.

3.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：若A,8相互獨(dú)立，則尸(AB)=P(A)P(8).

4.若事件A,B互斥,則尸(AUB)=P(A)+P(3),P(T)=1一尸(A).

5.全概率公式

一般地，設(shè)4,42，…，4是一組兩兩互斥的事件，A,UA2U-UA?=f2,且尸(A)>0,，=

1,2,n,則對(duì)任意的事件BQO,有P(B)=￡P(guān)(A)P(8A).

尸i

一、單選題

1.（22-23高三下?湖北?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活

動(dòng)，現(xiàn)有A3,C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一

名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（）

19310025

A.---B.C.—D.一

24324339

2.（23-24高三上?河北?期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)"奉獻(xiàn)，友愛(ài)，互助，

進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館開(kāi)展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)

場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館A時(shí)，場(chǎng)館8僅有2名志愿者的概率為（）

32163

A.-B.—C.—D.一

550114

3.（2024?遼寧丹東?一模）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）

x

A.24B.25C.48D.49

4.（2024?北京?三模）已知彳-X的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

（）

A.-240B.240C.60D.-60

二、多選題

5.（2024?廣東廣州?一模）甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球

（兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件

A和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件8表示從

乙箱中取出的兩球都是紅球，則（）

3

A.P(4)=-B.P(B)=—

50

C爪).D.尸(右忸)=：

6.（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，己知出現(xiàn)正面向上的概率

為P，記4表示事件"在〃次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.4與人是互斥事件B.尸(4)=廣

C.P（A?）=（i-2p）p⑷+pD.P（4”）＞P（4“+2）

三、填空題

7.（21-22高三上?山東?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)"C9+C；97+C*72++C；；7%則。除以9所得的

余數(shù)為.

8.（2024?廣東江蘇?高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的

卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪

比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字

的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的

卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4

名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（）

.1112

A.-B.-C.-D.一

6323

2.（23-24高二下,重慶?階段練習(xí)）從0,1,2,3,4中選出3個(gè)數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的

三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（）個(gè).

A.24B.30C.36D.60

3.（2024?山東日照?一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了

電影市場(chǎng)，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選

擇共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

4.（2024?遼寧大連?一模）將MCDER六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，

其中A3分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.36種D.54種

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）若f=%+4］（*-6）+%（%-6）~++%（x-6）6,則氏=

（）

A.6B.16C.26D.36

6.（2024?貴州黔南,二模）我國(guó)農(nóng)歷用"鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、

豬”這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年的生肖年號(hào)，今年2024年是龍年.那么從今年起的

（13M+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

7.（2024?海南?？?模擬預(yù)測(cè)）在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書(shū)記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教

育"，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲、乙

、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至

少安排1名專家的概率為（）

1418

A.-B.—C.-D.—

99327

8.（2024?北京石景山?一模）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球.若從中不放回地

取球2次，每次任取1個(gè)球，記"第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件

B,則P（同A）=（）

4234

A.—B.—C.—D.一

15555

9.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1,2,3臺(tái)加工的次品率

分別為5%,2%,4%,加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為

4:5:11,現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件4="零件為第z?臺(tái)車床加工"（i=L2,3）,事件3="零

件為次品"，則尸（4忸）=（）

510

A.0.2B.0.05C.—D.——

3737

10.（2024?遼寧?二模）某公司的員工中，有15%是行政人員，有35%是技術(shù)人員，有50%

是研發(fā)人員，其中60%的行政人員具有博士學(xué)歷，40%的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，80%的

研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的

概率為（）

2124

A.—B.—C.-D.一

5599

二、多選題

11.（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）若“3〃為正整數(shù)且則（）

A.C；=C；B.&號(hào)

1

C.mCXn-DC：；D.A：+mAr=A：+1

12.（23-24高二上?遼寧遼陽(yáng)?期末）某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)

課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（）

A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法

B.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

13.（2024?江西?二模）在（2尤-口的展開(kāi)式中（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B.第3項(xiàng)的系數(shù)最大

C.所有項(xiàng)系數(shù)之和為-1D.不含常數(shù)項(xiàng)

14.（2024?山東青島?三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)

如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

銷量（萬(wàn)臺(tái)）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

記"產(chǎn)銷率”=宜言x100%,2015-2023年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為機(jī)，則（）

產(chǎn)量

A.機(jī)=18.7

B.2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)

2

C.從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于100%的概率為§

D.從2015-2023年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于機(jī)的條

件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于70%的概率為5

15.（2024?浙江?二模）某中學(xué)的48兩個(gè)班級(jí)有相同的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)教師，現(xiàn)對(duì)此2個(gè)

班級(jí)某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2節(jié)語(yǔ)文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語(yǔ)課，要求每個(gè)班級(jí)的

2節(jié)語(yǔ)文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有種不同的排課方式用數(shù)字

作答）

16.（2024?浙江?三模）甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2

人且甲、乙不站同一個(gè)臺(tái)階，同一臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是

種.（用數(shù)字作答）

17.（23-24高三上?湖南張家界?階段練習(xí)）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志

愿者分配到甲、乙、丙、丁4個(gè)小區(qū)開(kāi)展工作，若每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有

種分配方法（用數(shù)字作答）；

2

18.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知（ox-2）（x+—下的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240,則。=.

X

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）某羽毛球俱樂(lè)部，安排男女選手各6名參加三場(chǎng)雙打表演賽（一

場(chǎng)為男雙，一場(chǎng)為女雙，一場(chǎng)為男女混雙），每名選手只參加1場(chǎng)表演賽，則所有不同的安

排方法有（）

A.2025種B.4050種C.8100種D.16200種

2.（22-23高三上?全國(guó)?階段練習(xí)）將編號(hào)為1,2,3,4,5的小球放入編號(hào)為1,2,3,

4,5的小盒中，每個(gè)小盒放一個(gè)小球.則恰有2個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的概率為

（）

1111

A.—B.—C.—D.—

861224

3.（23-24高三上?黑龍江牡丹江?期末）7個(gè)人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙

兩人必須挨著，甲丙必須分開(kāi)站，則一共有（）種站排方式.

A.672B.864C.936D.1056

4.（2023?廣東茂名?二模）從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該

三位數(shù)能被3整除的概率為（）

.1132

A.—B.—C.—D.一

105105

5.（2024?浙江嘉興,二模）6位學(xué)生在游樂(lè)場(chǎng)游玩A,B,C三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)

目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若A項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（）

A.180種B.210種C.240種D.360種

6.（2024?遼寧大連?一模）（）

3°313233343536

646411

A.-------B.-----C.--------D.-----

729729729729

7.（2024?重慶?三模）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.

設(shè)"，6,根（m>0）為整數(shù)，若。和6被，”除得余數(shù)相同，則稱a和。對(duì)模機(jī)同余.記為

〃三Z?(modm)^Q=C；4+C；4+C；4+C；4+…+喘，tz=Z;(modl7),則b的值可以是()

A.14B.15C.16D.17

8.（2024?遼寧撫順?一模）若“+￡|（1+力"的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為10,則〃的值是

（）

A.3B.4C.5D.6

1Q

9.（22-23高二下?江蘇南通期中）已知隨機(jī)事件A,3滿足P（A）=§,P（A|B）=-,

P（B\A=-,則P（3）=（）

\7lo

13941

A."B.—C.—D.—

4161648

10.（2024?湖南常德?三模）設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為

90%,乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗(yàn)不合格，放回原箱后在

該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為（）

56717

A.-B.—C.—D.—

67820

二、多選題

11.（23-24高二下,寧夏石嘴山,期中）"楊輝三角"是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出

現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系

數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角"的結(jié)論正確的是

（）

楊輝三角

第

0一

丁

第

1一1

丁

一

第211

丁

一

第3121

丁

一

第41331

丁

第14641

5一

丁

第

6一15101051

丁

第

7一1615201561

丁

第

8一172135352171

丁18285670562881

A.C；+C；+C"+或=165.

B.由"第"行所有數(shù)之和為2?"猜想：C：+C；+C；+.+C：=2".

C.第20行中，第11個(gè)數(shù)最大.

D.第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)之比為7回9.

12.（2024?廣東佛山?一模）有一組樣本數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,添加一個(gè)數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，

且尸（X=k）=*（丘｛0,1,2,3,4,5｝）,則新的樣本數(shù)據(jù)（）

3

A.第25百分位數(shù)不變的概率是7

16

31

B.極差不變的概率是三

32

C.平均值變大的概率是二

2

7

D.方差變大的概率是七

13.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的三個(gè)箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個(gè)

紅色球，1個(gè)黃色球和1個(gè)藍(lán)色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個(gè)紅色球，1個(gè)藍(lán)色球；藍(lán)色箱子內(nèi)

裝有3個(gè)紅色球，2個(gè)黃色球.若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放

入與球同色的箱子中，第二次再?gòu)膭偛欧湃肱c球同色的這個(gè)箱子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍(lán)色球的概率為J

4

3

B.第二次抽到藍(lán)色球的概率為白

16

C.如果第二次抽到的是藍(lán)色球，則它最有可能來(lái)自紅色箱子

D.如果還需將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)箱子內(nèi)，每個(gè)箱子至少放1個(gè)，則不同的放

法共有150種

14.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的

研究，設(shè)a,b,m（m>0）為整數(shù)，若。和6被根除得的余數(shù)相同，則稱。和6對(duì)模機(jī)同

余，記為。斗（mod.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3,則記為9三21（mod6）.若

2

a=C°2+C^-2+C^-2++C*222,°多（mod10）,則6的值可以是（）.

A.2019B.2023C.2029