2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問(wèn)題（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）含詳解

專(zhuān)題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問(wèn)題

(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)

目錄

一,必備秘籍...............................................1

二，典型題型...............................................3

題型一：在型求切線方程.................................3

題型二：過(guò)型求切線方程.................................3

題型三：已知切線斜率求參數(shù)............................3

題型四：確定過(guò)一點(diǎn)可以做切線條數(shù)......................4

題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)............................4

題型六：距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題........................4

題型七：公切線問(wèn)題.....................................5

三，專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練............................................5

一，必備秘籍

1,切線的斜率：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/(x)在點(diǎn)P(x0,%)處的切線的斜率左，即

左=/'(%).

2,曲線的切線問(wèn)題(基礎(chǔ)題)

(1)在型求切線方程

已知：函數(shù)/(X)的解析式.計(jì)算：函數(shù)/(X)在X=/或者(4,/(4))處的切線方程.

步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)/(%)(方法：把x=x0代入原函數(shù)/(X)中)，切點(diǎn)(4,/(%)).

第二步：計(jì)算切線斜率左=尸(刈.

第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)(%,/(4))，切線斜率k=「(X。)。

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：V-/(4)=/'(x0)(x-x0).

(2)過(guò)型求切線方程

已知：函數(shù)/(%)的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)4(占,%)(無(wú)論該點(diǎn)是否在y=/(x)上)的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)為(不，為)

第二步：計(jì)算切線斜率k=f'(x。)，計(jì)算切線斜率k=三b.

西一XQ

第三步：令：k=/(%)=必_%,解出/，代入左=.(/)求斜率

X]—x0

第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-No=7'(x0)(x-%).

3,已知/(x),過(guò)點(diǎn)(。力),可作曲線的〃("=1,2,3)條切線問(wèn)題

第一步：設(shè)切點(diǎn)6(%,%)

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'(%).

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-y0^fWx-x0).

第四步：將(。力)代入切線方程，得：%=/(%)(。-/)，整理成關(guān)于與得分方程.

第五步：題意己知能作幾條切線，關(guān)于%0的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解.

4,已知/(?和g(x)存在九("=1,2,3)條公切線問(wèn)題

第一步設(shè)/(X)的切點(diǎn)4>1，/(%))設(shè)g(x)的切點(diǎn)5(%,g(%))

求公切線的斜率

k=k=g\x2)

寫(xiě)出并整理切線

丁一/01)=/'(西)(》一為)y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)

整理得：整理得：

r

y=/'(石>工一/'(%)石+/(%)y=g'(x2)-x-g(x2)x2+g(x2)

聯(lián)立已知條件\f'^=g\x2)

<

〔一八七居+/(Xj)=-g'(x2)x2+g(%2)

消去看得到關(guān)于馬的方程，再分類(lèi)變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

消去馬得到關(guān)于看的方程再分類(lèi)變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，

二，典型題型

題型一：在型求切線方程

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=4e、'f（O）x+2（尸（尤）是的導(dǎo)函數(shù)），則曲線y=/（x）在x=0處的切

線方程為.

12

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）曲線了=彳/+—在尤=1處的切線的斜率為_(kāi)_______.

2x

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）曲線y=（x+2）e'-在尤=1處的切線方程為.

4.（2024?上海閔行?二模）函數(shù)y=在尤=1處的切線方程為.

X

題型二：過(guò)型求切線方程

1.（23-24高三上?江蘇徐州?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（2,1）作曲線/（X）=ln（x+l）-x的切線，則切線的條數(shù)為.

2.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）曲線＞=（尤-4）e，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為.

3.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)（-：,。］作曲線y=d的切線，寫(xiě)出一條切線方程：.

4.（23-24高三下?山東德州?開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)（0,e）與曲線y=-相切的直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

題型三：已知切線斜率求參數(shù)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若直線y=2xi與曲線/（》）=02，-2以（0＞-1）相切,則6的最小值為（）

A.-eB.-2C.-1D.0

2.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí)）直線＞=x+l與曲線y=ln（x+a）相切，則實(shí)數(shù)。=（）

A.-1B.-2C.1D.2

3.（2024?湖南婁底?一模）若直線ex-4y+eln4=0是指數(shù)函數(shù)丫=優(yōu)（。＞0且"1）圖象的一條切線，則底數(shù)。=（）

A.2或彳B.eC.y/eD.6或^^

4.（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）若直線y=x+）是曲線y=elnx-l的一條切線，則實(shí)數(shù)%=.（e=2.71828…為

自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

題型四：確定過(guò)一點(diǎn)可以做切線條數(shù)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線〃。="爐—2%+2）的切線,則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）=m，+1,過(guò)點(diǎn)尸（2,1）可作曲線y=的切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3（多選）（23-24高三上?湖北?期末）設(shè)“力=三-3f+火點(diǎn)A是直線3尤+y-a-1=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作函數(shù)

圖象的切線,可能作（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)

1.（23-24高二下?福建福州?期中）若曲線y=”有且僅有一條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則正數(shù)。的值為（）

e

A.-B.—C.-D.—

4433

2.（23-24高三上?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?期末）若過(guò)點(diǎn)尸（1,⑼可以作三條直線與曲線C：>=合相切，則加的取值范圍是（）

A.3口BJo,3C.（-1,0）D.匕,口

3.（23-24高二下?遼寧?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（0,向可作曲線〃力=丁-mE+2的三條不同的切線，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為.

4.（23-24高二下帙西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）若曲線"》）=（?有且僅有兩條過(guò)點(diǎn)（0M）的切線，則實(shí)數(shù)a的值為.

題型六：距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題

1.（23-24高二下?山東棗莊?階段練習(xí)）點(diǎn)P是曲線y=Y-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-4的距離的最小值是（）

A.1B.72C.2D.20

2.（23-24高二下?四川成都?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=lnx圖象上的點(diǎn)到直線>=了的距離的最小值是（）

In2J2r-

A.—B.—C.1D.V2

22

3.（23-24高二下?四川達(dá)州?階段練習(xí)）若點(diǎn)尸是曲線y=Y-lnx+1上任意一點(diǎn),則點(diǎn)尸到直線y=x-2的最小距離為

（）

A.1B.—C.20D.—

22

4.（2024?山東?一模）已知48分別為直線y=3x-3和曲線y=21+x上的點(diǎn)，則|皿|的最小值為

題型七：公切線問(wèn)題

1.（23-24高二下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）已知直線y=ax+b（awR,b>0）是曲線/（x）=e，與曲線g（x）=lnx+2的公切線,

貝+（）

11

A.2B.—C.eD.

2e

2.（23-24高二下?河南?階段練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)的直線/與曲線y=e",y=ln（x+〃）都相切，則實(shí)數(shù)〃二（）

1112

A.-B.-C.—D.一

24ee

1

3.（2024?遼寧?二模）已知函數(shù)為=#的圖象與函數(shù)必=相（。>0且。工1）的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則

"=切線方程為.

4.（23-24高二下?四川廣安?階段練習(xí)）已知直線>=區(qū)+》既是曲線y=ln無(wú)的切線，也是曲線y=-ln（T）的切線，則

k+b=.

三，專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）已知曲線丫=尤2+3犬+@在x=l處的切線與直線無(wú)一2y+l=。垂直，貝[]a=（）

X

911

A.3B.-C.7D.

2~2

2.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）若曲線/（x）=e2以在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線x-y+l=。垂直，則〃的值為（

3.（23-24高二下?黑龍江大興安嶺地?階段練習(xí)）曲線y=sinxcosx,在點(diǎn)A（土￡|處的切線斜率為（）

A.0B.1C.1D.夜

4.（2024?河北邯鄲?二模）設(shè)函數(shù)〃％）=冗+—二的圖像與％軸相交于點(diǎn)P,則該曲線在點(diǎn)P處的切線方程為（）

x+2

A.y=B.y=-x-lC.y=oD.y=x-l

5.（23-24高二下?浙江?期中）函數(shù)>=丁+X在點(diǎn)A（l,2）處的切線方程（）

A.y=4x+2B.y=4x-2

C.y=-4x+2D.y=-4x-2

6.（23-24高二下?安徽六安?階段練習(xí)）已知直線尸丘+）與曲線/（X）=加+2+lnx相切于點(diǎn)P（l,4）,則人（）

A.-3B.-1C.5D.6

7.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）曲線y=e*+x+l上的點(diǎn)到直線y=2x距離的最小值為（）

.y[5口石「2君N3A/5

10555

8.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）曲線y=21nx+Y在點(diǎn)處的切線方程為（）

A.y=x+3B.y=41-3C.y=2x+lD.y=x~3

9.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若直線y="+〃與曲線y=e，相切，則的取值范圍為（）

A.（-co,e]B.[2,e]C.[e,+oo）D.[2,+oo）

10.（多選）（23-24高二下?安徽六安?階段練習(xí)）若點(diǎn)。是曲線y=lnx-Y上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是直線％+y—1=0上任意

一點(diǎn)，下列選項(xiàng)中,|P9的可能取值有（）

A.&B.—C.—D.-

42e

11.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出函數(shù)-弓-Inx的一條斜率為正的切線方程：.

12.（23-24高二下?廣西桂林?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃力=三+%,若第一象限內(nèi)的點(diǎn)在曲線y=/（x）上，則P到直線

l:4x-y-4=0的距離的最小值為.

13.（23-24高二下?河南三門(mén)峽?階段練習(xí)）若直線>=尿+》是曲線/（x）=lnx+2的切線，也是曲線g（x）=ln（x+l）的切線,

貝”左一Z?=.

14.（2024?全國(guó)■模擬預(yù)測(cè)）曲線y=2?與y=2+lnx的公切線方程為.

專(zhuān)題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問(wèn)題

(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)

目錄

一,必備秘籍...............................................1

二，典型題型...............................................3

題型一：在型求切線方程.................................3

題型二：過(guò)型求切線方程.................................3

題型三：已知切線斜率求參數(shù)............................3

題型四：確定過(guò)一點(diǎn)可以做切線條數(shù)......................4

題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)............................4

題型六：距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題........................4

題型七：公切線問(wèn)題.....................................5

三，專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練............................................5

一，必備秘籍

1,切線的斜率：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/(x)在點(diǎn)P(x0,%)處的切線的斜率左，即

左=/'(%).

2,曲線的切線問(wèn)題(基礎(chǔ)題)

(1)在型求切線方程

已知：函數(shù)/(X)的解析式.計(jì)算：函數(shù)/(X)在X=/或者(4,/(4))處的切線方程.

步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)/(%)(方法：把x=x0代入原函數(shù)/(X)中)，切點(diǎn)(4,/(%)).

第二步：計(jì)算切線斜率左=尸(刈.

第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)(%,/(4))，切線斜率k=「(X。)。

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：V-/(4)=/'(x0)(x-x0).

(2)過(guò)型求切線方程

已知：函數(shù)/(%)的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)4(占,%)(無(wú)論該點(diǎn)是否在y=/(x)上)的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)為(不，為)

第二步：計(jì)算切線斜率k=f'(x。)，計(jì)算切線斜率k=三b.

西一XQ

第三步：令：k=/(%)=必_%,解出/，代入左=.(/)求斜率

X]—x0

第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-No=7'(x0)(x-%).

3,已知/(x),過(guò)點(diǎn)(。力),可作曲線的〃("=1,2,3)條切線問(wèn)題

第一步：設(shè)切點(diǎn)6(%,%)

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'(%).

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-y0^fWx-x0).

第四步：將(。力)代入切線方程，得：%=/(%)(。-/)，整理成關(guān)于與得分方程.

第五步：題意己知能作幾條切線，關(guān)于%0的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解.

4,已知/(?和g(x)存在九("=1,2,3)條公切線問(wèn)題

第一步設(shè)/(X)的切點(diǎn)4>1，/(%))設(shè)g(x)的切點(diǎn)5(%,g(%))

求公切線的斜率

k=k=g\x2)

寫(xiě)出并整理切線

丁一/01)=/'(西)(》一為)y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)

整理得：整理得：

r

y=/'(石>工一/'(%)石+/(%)y=g'(x2)-x-g(x2)x2+g(x2)

聯(lián)立已知條件\f'^=g\x2)

<

〔一八七居+/(Xj)=-g'(x2)x2+g(%2)

消去看得到關(guān)于馬的方程，再分類(lèi)變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

消去馬得到關(guān)于看的方程再分類(lèi)變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，

二，典型題型

題型一：在型求切線方程

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=4e、'f（O）x+2（尸（尤）是的導(dǎo)函數(shù)），則曲線y=/（x）在x=0處的切

線方程為.

【答案】2x-y+6=0.

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線的斜率般再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，有點(diǎn)斜式求出切線方程即可.

【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn)尸（0/（0））,因?yàn)閞（x）=4el-r（O）.

令x=0,得尸（O）=4e°-/（O）.

由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：k=f'（O）=2.

又〃0）=4e°-r（0）x0+2=6,所以P（0,6）.

故曲線y=/（x）在X=o處的切線方程為：y—6=2（彳-0）.

整理得：2x-y+6=0.

故答案為：2x-y+6=0.

12

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）曲線y=—爐+―在x=l處的切線的斜率為_(kāi)_______.

2x

【答案】-1

【分析】根據(jù)條件,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榭傻靡钥?-1.

故答案為：T.

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）曲線>在x=l處的切線方程為.

【答案】4x-y-l=0

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

【詳解】由題意得y=e'T+（尤+2）e*T=（x+3）eI，且切0=4.

x=l時(shí),y=3,所以曲線y=（x+2）e*T在尤=1處的切線方程為y-3=4（x-1）.

即4x-y-l=0.

故答案為：4x-y-l=0

4.（2024?上海閔行?二模）函數(shù)y==在尤=1處的切線方程為.

x

【答案】3元+>-4=0

【分析】切線的斜率是在x=1處的導(dǎo)數(shù),切線過(guò)（I"⑴），由直線的點(diǎn)斜式方程可以求出切線方程.

o7

【詳解】==-卞-1,所以〃1)="⑴=一3.

所以在x=l處的切線方程為y-1=-3(%-1),即3x+y-4=0.

故答案為：3x+y-4=0.

題型二：過(guò)型求切線方程

1.(23-24高三上?江蘇徐州?階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)(2,1)作曲線/(x)=lnG+l)-x的切線，則切線的條數(shù)為

【答案】2

k=^~

%+13

【分析】設(shè)切點(diǎn)為4(%,%),再根據(jù)切線方程得至小%=In小+1)-%,化簡(jiǎn)得4-——=In伉+1)，再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)

XQ+1

k=9

工0一2

數(shù)求出其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】由已知可得,/'(犬)=±-1=言，定義域?yàn)?T+s).

/⑵=ln3-2#1,所以點(diǎn)尸(2,1)不在曲線上.

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，即直線方程為尤=2,此時(shí)相交，不合題意,舍去.

設(shè)切點(diǎn)為入伍,%).

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)A處切線的斜率

無(wú)o+l

k=3~

%+1一

則一6-2)+]=一需+3%+1

所以有%=111(尤0+1)—無(wú)0,貝1]；7^

A-I-1

o尤0-2'x0+l飛+1

k=^-

%-2

則有一片+3：。+1=姑優(yōu)+1)一%,化簡(jiǎn)得但。=ln(x0+1).

%+1%0+1

33

即4--------+1),其中%>—1,令/z(%)=ln(x+l)+-------------------4,%>-1.

X。+1X+1

貝十⑴二士一品=舒，令Mx)=6解得、=2?

當(dāng)xe(-l,2)時(shí)此時(shí)”(力單調(diào)遞減.

當(dāng)x?2,4w)時(shí),〃(力>0,此時(shí)人⑺單調(diào)遞增.

故當(dāng)x=2,〃(x)取得最小值,/i(2)=ln(2+l)+五74=ln3-3<0.

又因?yàn)間］=lng+2>0,且函數(shù)連續(xù)不間斷.

則存在百〈-別滿足3）=0.

又因?yàn)?1）=1++與-4>0,且函數(shù)連續(xù)不間斷.

所以存在％e（2,e5-l）滿足Mw）=0.

綜上〃（力=皿尤+1）+:萬(wàn)-4,工€（-1,+（?）,共有兩個(gè)零點(diǎn).

即切線的條數(shù)為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為人句=111（》+1）+3-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理

求出其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

2.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）曲線y=（x-4）e'過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為.

【答案】y=-e2x

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（％,%），則%=?一件演.

y'=1+（無(wú)一4）1=（%-3）1，切線的斜率為（與-3）e'。.

所以切線方程為y-（%-4）e%=（%-3）e'。（x-x0）.

又切線過(guò)原點(diǎn)，所以。-（尤。-4）e%=（%-3）e陽(yáng)（0-%,即%-4%+4=0.

解得々=2,所以切線方程為〉=-3尤.

故答案為：y=--x

3.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)（-jo［作曲線y=d的切線，寫(xiě)出一條切線方程：.

【答案】y=o或y=3x+2（寫(xiě)出一條即可）

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得切線方程.

【詳解】由可得y=3/.

設(shè)過(guò)點(diǎn)（-jo［作曲線y=V的切線的切點(diǎn)為（為,%），則為=￡.

則該切線方程為y-%=3片（1-不）.

將［~|，。］代入得-片=3片（一|-七）,解得毛=0或無(wú)。=-1.

故切點(diǎn)坐標(biāo)為（。,。）或（TT）.

故切線方程為>=?；騳=3x+2.

故答案為：y=o或y=3x+2

4.(23-24高三下?山東德州?開(kāi)學(xué)考試)過(guò)點(diǎn)(O,e)與曲線y=?[〈-曰相切的直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(-1,0)

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)與1■)，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)切點(diǎn)的切線方程，代入已知點(diǎn)求出乙即可求出直線與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

e

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為“下).

eA'-eA(x+l)

由廣*，得廣X

則過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y-牛=-4X一).

ee

把點(diǎn)(o,e)代入切線方程得,e-7=-;(0T),即e(+1=r+?+l.

因?yàn)?<-1而y=e川在上單調(diào)遞增,y=〃+f+l在上單調(diào)遞減.

所以町=產(chǎn)+r+l只有一個(gè)解，所以f=-l.

所以切線方程的斜率為％=-二|=e.

e

所以切線方程為y-e="，令y=o,解得x=_l.

故過(guò)點(diǎn)(o,e)與曲線y=<-相切的直線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(TO).

故答案為：(-1,0).

題型三：已知切線斜率求參數(shù)

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若直線y=與曲線/(x)=e2:2依相切，則》的最小值為()

A.-eB.-2C.-1D.0

【答案】C

【詳解】根據(jù)直線與函數(shù)相切，可得x°=glng+l)以及-6=(a+l)[l-ln(a+l)],即可換元年構(gòu)造函數(shù)

g⑺=[1-1皿)(/>0),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值求解.

2r2

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為伍,％).由己知，得(龍)=2e-2。,則f\x0)=2e^-2?=2.

解得飛=gin(a+1).

又切點(diǎn)在切線>=2x-%與曲線〃x)=e2，-2必:上.

所以111(〃+1)—人=〃+1—4111(〃+1),所以一人=(々+1)[1—111(4+1)].

令f=a+l(f>0)，8?)=/(1-1!1。(力>0),則g()=1-Inf+(-：］=-Im.

令g'⑺=-Inr=0,解得r=1.當(dāng)fe(0,1)時(shí),g'⑺>0,則g⑺在(0,1)上單調(diào)遞增.

當(dāng)fe(l,y)時(shí),g，⑺<0,則g(t)在(1,”)上單調(diào)遞減.

所以g⑺4g⑴=1,即-6W1,所以62-1,則6的最小值為-1.

故選：C.

2.(23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí))直線y=x+l與曲線y=ln(x+a)相切,則實(shí)數(shù)。=()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線斜率，再由切點(diǎn)在直線與曲線上列方程即可得解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為P(5,ln(%+a)).

則左=VL%=-=1,且ln(x0+a)=%+1.

-^QIa

解得X。=T,a=2.

故選：D

3.(2024?湖南婁底?一模)若直線a-4y+eln4=0是指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)(〃>0且awl)圖象的一條切線，則底數(shù)”()

A.2或1B.eC.冊(cè)D.e或五

【答案】D

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,/(%)),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式運(yùn)算求得。的值.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(飛J伍)),對(duì)函數(shù)V=",求導(dǎo)得V=虐Ina.

pplnzl

切線方程ex-4y+eln4=0化成斜截式為y=；%+受.

44

—=>0

4,,

由題設(shè)知<，顯然Ina>0,即a>1.

W=ex°+eln4

4

..e/口ee%+eln41,

由人=——，得——=—2------，即nn——=x+ln44.

41n〃41na41na0

即1=%?Ina+lnaln4=In*+^4^=In（。與?41no）.

即e=j?4lnfl=—.4味化簡(jiǎn)得4toa=4lna.

41n〃

令lna=/>0,即4'=取，利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，可知f=l或

即Ina=1或解得。=e或五.

故選：D.

4.（23-24高二下,重慶,階段練習(xí)）若直線y=x+）是曲線y=elnx-l的一條切線,則實(shí)數(shù)6=.（e=2.71828..為

自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

【答案】-1

【分析】根據(jù)切線的斜率為1,利用導(dǎo)數(shù)列方程，求得切點(diǎn)的坐標(biāo),代入切線方程，求得b的值.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（毛,%）,又y'=?.

???切線的斜率人=￡=1,解得％=e,所以切點(diǎn)為（e,e-l）.

*0

代入切線方程y=x+）,得6=-i.

故答案為：-1.

題型四：確定過(guò)一點(diǎn)可以做切線條數(shù)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線"*）=6'（*2—2"2）的切線,則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，結(jié)合斜率公式列方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為卜。，己（尤；-2%+2））.

由〃x）=e*（x2-2x+2）可得/

則過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率k=e"&-2xo+2）=x；］。.

%

故,一"+2伉—1）=0,即（4f（片+2）=0.

解得％=1,故過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線共有1條.

故選：A.

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）==+1,過(guò)點(diǎn)尸（2,1）可作曲線y=〃x）的切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】求出了（x）的導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（%,寫(xiě)出切線方程，把（2,1）代入，得到關(guān)于為的方程，根據(jù)方程解的個(gè)

數(shù)即可得出切線的條數(shù).

【詳解】解法一由〃勸=*+1,得-⑺=（元+l）e'.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（無(wú)0，無(wú)。屋+1）.

則切線方程為V-尤oe%-1=*小+1）（了-5）.

把（2,1）代入可得-xoe^=寸（%+1）（2-%,即北一2%-2=0.

因?yàn)椤?12>0,所以該方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故切線有2條.

解法二由〃X）=猊"+1,得/（力=。+1）吟令/（X）=0,得X=—1.

當(dāng)x<—l時(shí),r（x）<0,當(dāng)x>0時(shí),以對(duì)>。

故f（x）在（-8,-1）上單調(diào)遞減，在（T，y）上單調(diào)遞增.

故“X）的極小值為〃-1）=1-%且/（。）=1,則點(diǎn)尸（2,1）在曲線y=〃x）的下方.

數(shù)形結(jié)合可知，過(guò)點(diǎn)尸可作曲線y=/（%）的2條切線.

故選：B

3（多選）（23-24高三上?湖北?期末）設(shè)/（尤）=*3-3/+4,點(diǎn)A是直線3x+y-o-l=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作函數(shù)

圖象的切線,可能作（）

A.。條B.1條C.2條D.3條

【答案】BC

【分析】設(shè)A[M+1-3/）為直線上任意一點(diǎn),切點(diǎn)為3■,〃飛））,求出切線方程，將A&a+l-3。代入切線方程，轉(zhuǎn)化為

（無(wú)0-1）2（2元。-3/+1）=0根的個(gè)數(shù)求解即可.

【詳解】設(shè)-3。為直線上任意一點(diǎn).

過(guò)點(diǎn)A作〃力=丁_3/+。的切線，切點(diǎn)為尤0））,/'（尤）=3%2_6X.

則函數(shù)〃x）=x3-3/+。圖象在點(diǎn)B處的切線方程為=-小

即y—（x；—3尤;+a）=（3片—6x0）（x—（a+1—3f）—（x；_3尤j+a）=（3尤：—6尤0）（r—）（*）

整理得,（x0-4（2%-3f+1）=0

解得x°=l或%=—

二當(dāng)r=1時(shí),1=一，方程（*）僅有一個(gè)實(shí)根，切線僅可以作1條.

當(dāng)時(shí),1/衛(wèi)三,方程（*）有兩個(gè)不同實(shí)根，切線可以作2條.

故選：BC.

題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)

ax+1

1.（23-24高二下?福建福州?期中）若曲線y=有且僅有一條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則正數(shù)。的值為（）

ex

1B亞1

A.-C.一D

443-f

【答案】A

【分析】設(shè)切點(diǎn)（補(bǔ)竺目）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入,整理得N+』+l=0,結(jié)合△=（）計(jì)算即可

求解.

【詳解】設(shè)y=f（x）=與，貝。廣。）=st

ee

設(shè)切點(diǎn)為（如”/），則八%）=-啄:"-1

ee

ax+1_-ax+a-1

所以切線方程為00(X-%).

CLXQ+1—CLXQ+Q—1

又該切線過(guò)原點(diǎn)，所以0-(0—x0).

整理得式+%+1=0①，因?yàn)榍€＞=/（尤）只有一條過(guò)原點(diǎn)的切線.

所以方程①只有一個(gè)解，故A=l-4a=0,解得

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)未知，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，確定方程

的解與根的判別式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

2x

2.⑵-24高三上?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?期末）若過(guò)點(diǎn)尸（LM可以作三條直線與曲線C:y=亍相切，則，〃的取值范圍是（）

0.126_

A.B.C.(-1,0)D.

°4e

【答案】D

【分析】設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線方程，將點(diǎn)（1，⑼代入，則關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程有三個(gè)實(shí)根,通過(guò)分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題求解即可.

2x2ex-2xex_2(l-x)

【詳解】由y=得外

e2x

設(shè)切點(diǎn)為（后,為）,過(guò)切點(diǎn)的切線方程為k華=以3—

e

代入點(diǎn)尸坐標(biāo)化簡(jiǎn)為，”=—包,即這個(gè)方程有三個(gè)不等式實(shí)根.

令g。)=『一：+1,求導(dǎo)得至IJg'(x)=-2

ee

由g'(x)>0,得l<x<2,由g'(x)<0,得x<l,或x>2.

故函數(shù)（-8』）上單調(diào)遞減，在（L2）上單調(diào)遞增，在（2,+8）上單調(diào)遞減.

故得g⑴音＜g（2）,結(jié)合g⑴=：,g（2）=/.

當(dāng)尤f(wàn)+oo時(shí),0戶f_00時(shí)+8.

故選：D.

6

^

2

e

0\12X

3.（23-24高二下?遼寧?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（0,〃?）可作曲線/（x）=*3-痛2+2的三條不同的切線，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為.

【答案】{加機(jī)＜一6或2＜根＜3或相＞3}.

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，將（0,7"）代入切線方程得（占-吼2尤：+（2-根）的+（2-明=0,即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為2/+（2-〃?卜+2-旭=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且招1,利用判別式即可求.

【詳解】由=一如2+2，r（x）=3f—2mx.

設(shè)切點(diǎn)為尸（石,乂）,則曲線在點(diǎn)p（%,%）的切線方程為鬲+2）=（34-2叫）（％-%）.

又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)（0,加），代入切線方程得2父-〃鬲+?i-2=0,即2任-1）-加儲(chǔ)-1）=0,

所以（再一1）［2■片+（2-???）+（2-/?）］=0,

即方程2x2+（2-m）x+2-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且x片1,

所以［八=（2-W-4x2x（2-m）＞0,解得很9或2〈優(yōu)＜3或機(jī)＞3,

6-2m。0,

故答案為：{〃?1%＜-6或2＜m＜3或根＞3}.

4.（23-24高二下.陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）若曲線=K有且僅有兩條過(guò)點(diǎn)（0M）的切線，則實(shí)數(shù)a的值為.

4

【答案】-/4e-2

e

【分析】

構(gòu)造新函數(shù)〃（x）=5,利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性和極值,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)。的取值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（如為）為曲線"X）=［上一點(diǎn)，則/（x0）=4

又「(無(wú))=e-xe1-x

~/\2"，則/(%)=

e”

則曲線W在點(diǎn)P(x。，％)處的切線方程為

y一興=t?(i。)，又切線過(guò)點(diǎn)(°，。

則