2025高考數(shù)學二輪復習：三角函數(shù)綜合問題的熱點題型-專項訓練【含解析】

2025高考數(shù)學二輪專題復習-高考中三角函數(shù)綜合問題的熱點題型-專項訓練

【A級基礎鞏固】

1.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知。=啊，b=2,

A=120°.

⑴求sin3的值；

⑵求c的值；

(3)求sin(B—O的值.

2.在①C=2&②△ABC的面積為乎；③sin(3+0=乎這三個條件中任選

一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角

形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，。=1,b=2,

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

3.已知△ABC為銳角三角形，且cosA+sin3=d§(sinA+cosB).

(1)若C=?求A；

(2)已知點。在邊AC上，且AD=3D=2,求CD的取值范圍.

4.在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且5(sinA+sin06

12asinC.

(1)若a=2Z?—c,求cos3的值.

(2)是否存在△ABC,滿足B為直角？若存在，求出△ABC的面積;若不存在，

請說明理由.

【B級能力提升】1.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

△ABC面積為小，。為3c的中點，且AD=L

1.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為小,

。為的中點，且AD=1.

jr

⑴若NADC=w，求tan8

(2)若乂+?=8,求。，c.

2.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且(人一c)(sin3—sinC)

=asinA-OsinC.

(1)求角A的大小；

(2)求sin3+sinC的取值范圍.

(ccosB+bcosCy+A

.記△的內角所對的邊分別是a,b,已知

3ABCA,3,Cc.廬+/

⑴求角A的大小；

⑵若點。在邊BC上，AD平分NA4C,AD=2,且6=2c,求a

4.在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知2csin3=(2a

~c)tanC,角C的內角平分線與邊AB交于點E.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)記△BCE,AACE的面積分別為Si,S2,在①c=2,b=幣,②SAABC=乎，

b=幣,A>C這兩個條件中任選一個作為已知，求冷的值.注：如果選擇多個條

件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案

【A級基礎鞏固】

abA/392

1.［解析］（1）由正弦定理一、=一%，得

L」-sinAsinBsin120smB

解得sin

（2）解法一（余弦定理）：由余弦定理得a2=Z?2+c2—2bccosA.

即39=4+<?—4ccos120°,

整理得c2+2c—35=0,

解得c=5或c=—7（舍去）.

所以c=5.

解法二（射影定理）：第1步：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系，求出cosB

因為A=120。，所以5,C均為銳角，

所以cosB=-^1—sirrB=■

第2步：利用三角形的射影定理求c

由射影定理得，c=acos3+bcos單+2X（—g）=6—1=5.

⑶由正弦定理上=磊，可得sinC=嚼，

又5,C均為銳角，所以cosC=^/l—sin2C=,cosB=AJ1—sin2B=^

（若第（2）問采用解法二，則cosB可直接用）

所以（

sinB—Q=sinBcosC—cosBsinJL，乙ULJ乙U-

7^3

26'

2.［解析］若選①，則4=兀一33,且A<B<C.

由」一二—^—得---------=—^~即一--二二一

由sinAsin3'何sin（ji—33）sin5'囚sin33sin3'

所以化簡得2

2sin3B=sinB,2(3sin3—4sin35)=sin3,#sinB=go,

因為3?(0,7i),所以sinB=*,因為A<B<C,

所以角3為銳角，所以cosB=ql-sin?B=*,

所以sinC=sin2B=2sin5cos3=2X^^X乎

2X逅

所以由正弦定理得『粵*=康—=加?

4

若選②，則由△ABC的面積為乎，a=l,b=2,得/。加由C=sinC=乎，所

_______3

以cosC=±^/l—sin2C=±4.

3

當C為銳角時，cos。=不由余弦定理得c2=a2+b2—2abcosC=1+4—

2X1X2X^=2,所以c=色；當C為鈍角時，cosC=—由余弦定理得02=/

3

+廿一2abcosC=l+4+2XlX2X-=8,所以c=2取.

綜上c=巾或c=2啦.

若選③，由sin(B+Q=>得sinA=

,2X近廠

由馬■=$,得sin3=^9=—^-=羋>1,所以三角形不存在.

sinAsinBa13

3.［解析］(1)因為cosA+sinB=^/3(sinA+cosB),

所以cosA—^/3sinA=^/3cosB—sinB9

即cos(A+§=cos(5+制

又A?(0,習,B￡(0,.

所以*A+*表|<B+1<y,

所以A+畀3+小BPB=A+l，又A+3+CFC=?

所以A+A+牡畀兀,則A寸

JT

(2)因為AD=3。=2,所以ND3A=NA,又NA3C=ND3A+NDBC=A+不

7T

所以N￡>3C=z.

o

CDBD

在△D3C中,sinZDBC=sinC'

“、，BDsinZDBC］

所以O=NinCsinC

在△A5C中，sinC=sin(A+NABC)=sin(2A+%

因為△ABC為銳角三角形,

r7i

0<A4<2，

所以<0<B=A+聿專得聿<A<W，

cc,7171

0<C=7i—A—A—g<2，

所以與<2A+/旁，所以;<sin(2A+露1,

2oo2V07

1

所以瓦￡G(1,2),即CD的取值范圍為(1,2).

4.［解析］判斷三角形是否存在

(1)因為a=2Z>—c,所以a+c=2。,又5(sinA+sinO》=12asinC,

A26

由正弦定理得5(a+c)0=12ac,所以i=予

a+c

所以由余弦定理得cos3=()=|^__i=|x1-1=*

(2)假設3為直角，則sinB=l,sinC=cosA,由題意結合正弦定理可得，(sin

12

A+sinQsinA-sinC,

即sinA+cosA=^sin2A,

上式兩邊平方得1+sin2A=1^sin22A,

所以(9sin2A+5)(4sin2A—5)=0,因為0<sin2AWl,

所以9sin2A+5>0,4sin2A—5<0,

與(9sin2A+5)(4sin2A—5)=0矛盾，

故不存在△ABC滿足3為直角.

【B級能力提升】1.［解析］由題意知??S/\ADC=2?

1.［解析］由題意知&ABC=小，BD=DC,：.S/\ADC~2?

i7ii7i

S^ADC=^DADC-smZADC=^~,DA=1,ZADC=^,/.yDCsin卡干

：.DC=2,

：.BD=2,易知/4。3=至,

在△AD3中，由余弦定理可知，AB2=BD2+DA1-2DADBcosZADB,即

AB2=22+l2-2XlX2xf-^j=7,

：.AB=\p,

.4"+8￡)2―心7+4T5市

??as3=2ABBD=2巾乂2=14，

25^21

/.sinCOS25=1

28-14，

??3=%=堂

cosB5

(2)如圖所示，延長AD至E,DE=AD,連接BE,CE,

易得四邊形ABEC為平行四邊形，：.AB=CE,AC=BE,

由余弦定理得BC2=AB2+AC2~lABACcosZBAC,A^=AC2+CE2~

2ACCEcosZACE,兩式相加得BC?+452=2(432+4^2),即BG+AEZMZga+c?)

=16,

又AE=2AD=2,.*.BC2=12,：.BC=2y［3,

1

'：S^ADC=^ADDC-sinZADC=^,AD=1,DC=y［3,

：.sinZADC=l,：.AD±BC,：.b=c,

又Z?2+C2=8,:.b=c=2.

222

2.［解析］(1)由正弦定理可得(b—c)(b—c)=〃?〃-be,即b-\-c—a=bc9

Z?2+/一1

由余弦定理的變形得cosA=—豆==去

7T

又A?(0,71),所以A=1

(2)由A+B+C=7r得。=皇一B,且

所以sinC=sin停一3)=sin兀一(3+目=sin(_B+§,

所以sinB+sinC=sinB+sin^5+^=1sinB+坐'cos3="\/§sin(B+春，

因為3?［o,從而3+公。，焉兀)，所以sin(B+§d］；,1,從而sinB

+sinC?(^，小，

故sin3+sinC的取值范圍為［坐，表］

2

々■n,Ll、,1(ccosB+bcosC)+bc

3.［解析］(1)因為------b2+c2-------=1,

即1號c+'；ab『十—洛

化簡可得a2=b2+c2—bc,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,

1jr

所以2cosA=10cosA=1,且A?(0,71),則A=g.

Z,2_|_?2—?2

(2)由(1)知A=w，由余弦定理可得cosA=----嵐---，將Z?=2c代入，

化簡可得。=/c,

又因為AD平分乙BAC,由角平分線定理可得第=等，即/等今;=券今

zl.X_XJLXUX_ZY,X乙

CD=2BD,且a=/c,所以CD=*c,BD=^c

又因為NAD3+NADC=ji,

14

4+2c2-c24+2c2-4c2

則cosZADB=-cosZADC,結合余弦定理可得------彳=一------丁彳,

2X2X冬2X2X空c

解得，=3,所以c=小,則。=小。=3.

4.[解析](1)因為2csinB=(2a—c)tanC,

由正弦定理可得2sinCsinB=(2sinA-sinC)：.0,

即2sinBcosC=2sinA—sinC

又由sinA=sin[7i—(B+Q]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

可得2cosBsinC=sinC,

因為因￡(0,71),可得sinSO,所以COSB=T，

JT

又因為3G(0,兀)，可得3=1

(2)選①：因為c=2,b=小