2025高考數(shù)學沖刺復(fù)習：立體幾何截面、外接球、動點歸類（解析版）

培優(yōu)沖刺09立體幾何截面'外接球'動點歸類

籍優(yōu)題型大集合

目錄

題型一：動點：恒平行..................................................................1

題型二：動點：恒垂直..................................................................4

題型三：動點：球截面..................................................................6

題型四：動點；定角....................................................................9

題型五：外接球：線面垂直型..........................................................11

題型六：外接球：垂面型...............................................................13

題型七：外接球：兩線定心法...........................................................15

題型八：外接球：二面角型.............................................................17

題型九：外接球：最值范圍型..........................................................20

題型十：外接球：動點與翻折..........................................................22

題型十一：動點型最短距離和..........................................................24

題型十二：動點：內(nèi)切球...............................................................27

題型十三：多選題綜合應(yīng)用：二面角型幾何體............................................29

題型十四：多選題綜合應(yīng)用：翻折型.....................................................34

題型十五：多選題綜合應(yīng)用：正方體表面動點型..........................................38

題型十六：多選題綜合應(yīng)用：兩部分體積比型............................................42

題型一：動點：恒平行

線面恒平行，過線做面，需要找它們和第三個面的交線互相平行，借助好“第三個面的交線平行“這個性

質(zhì)，可以解決線面恒平行題型的截面問題

1.在四棱錐中，PA1?平面ABC。，且E4=AC=2AB=2A。=4,G為PC的

中點，過AG的平面a與棱尸夙尸。分別交于點￡、尸.若所〃平面ABC。，則截面AEGF的面積為.

B

【答案】卷

.2-21

【分析】由題知AC=2A3+2AD,則=①，再根據(jù)E、F、G三點共面得

PA=xPE+yPF+zPG,其中x+y+z=1.設(shè)PE=<X<1),PF=APD,從而可求

PA=AxPB+AyPD+^PC,與①對比即可求出九從而可求的長度再證明8。垂直平面PAC,EF//BD,

從而得AGLE/7,根據(jù)S截而.GFngAG-ET7即可得答案.

【詳解】-.AC=2AB=2AD,CDLAD,CBLAB,

ADAC=ABAC=&0°,

則根據(jù)向量加法法則易知，AC=2AB+2AD,

gpPC-PA=2(PB-PA\+2(PD-PA},貝IJ以=2收+22。一J_pc.

根據(jù)共面向量定理的推論知，PA=xPE+yPF+zPG,其中x+y+z=l.

連接8D,

EF//^ABCD,Efu平面P8。，平面尸BOA平面ABCO=B。，-EF//BD,

設(shè)PE=/IPB（O<2<1）,則PF=，又G為PC的中點，，癡=無產(chǎn)石+yPF+zPG=AxPB+AyPD+jPC,

貝無=2y=—,—=—,解得2=—,AB—2.,BD—2xABsin60o=2^/3,則EF=±BD=-

323555

連接AG,?.,P4=AC=4,G為尸C的中點，故AG=工尸C=2后.易知8O_LAC,BD^PA,ACc\PA=A,

2

故平面尸4C,又AGu平面PAC,?.BD1AG,?.AGIEF,因此

S截i=；的"<2后半=平.故答案為:卓.

解法二：連接8D,設(shè)AC與8。交于點K,連接AG、PK,設(shè)AG與PK交于點L

作KN//AG交PC于N,易知CK=3AK,

則CN=3GN,從而PG=4GN,故需篝喘?即如乎.以下解法同上故答案為亭.

2.在三棱錐ABCD中，對棱AB=CD=岳,AD=BC=岳,AC=BD=y/10,當平面a與三棱錐ABCD的某

組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面a所截得的截面面積最大值為.

［答案］3

【分析】每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐A8CQ放入長方體中，設(shè)長寬高分別為x,y,z,求出x，y，z,

由線面平行得線線平行，證明當瓦尸,G,"是所在棱中點時面積最大，按截面與哪對棱平行分類討論求得截

面面積的最大值.

【詳解】因為每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中,設(shè)長寬高分別為x,y,z,則

yjx2+y2=A/5，VX2+z2=+z2=V?3,貝U*=l,y=2,z=3.

當平面a與三棱錐ABC。的對棱AB,CD均平行時,截而為四邊形EFGH,AB//FG//EH,CD//EFHHG,

ApFFAF

設(shè)蕓=r（O<r<l）,則忘=.=%EF,CD,同理EH=（1T）AB,N?。ɑ蚱溲a角）是異面直線A8,a>

ACAC

所成的角，

SEFCH=EF?EHsinZHEF=AB-CDsinZHEF,其中AB-CDsinZHEF為定值,

f（l-1）=—廠f—『H—，f=7時，》（1-。取得最大值，即截面EPGH面積最大，此時瓦尸,G,77是所

242

在棱中點，

由長方體性知最大面積為長方體上下底面面積的一半;W=1,

I3

同樣地，當平面。與三棱錐A8C。的對棱AC,3。均平行時，截面最大面積為;xz=：；當平面a與三棱錐

22

A8CD的對棱AO,BC均平行時，截面最大面積為:yz=3.故答案為：3.

3.（山西省懷仁市2022屆高三下學期一模數(shù)學試）在四棱錐P-A3CD中，底面ABCO是邊長為2a的正

方形，尸在底面的射影為正方形的中心O,PO=4,Q點為A。中點.點T為該四棱錐表面上一個動點，滿足

2,8。都平行于過QT的四棱錐的截面，則動點T的軌跡圍成的多邊形的面積為（）

A.5岔B.獨C.D.還

442

【答案】D

【分析】

首先取的中點E,PD的中點P,尸0的中點R,PB的中點N,連接QR延長交PC與點連接ERVWG,

證明平面EEVWG即為所求的截面，再證明四邊形EFNG是矩形，RM1FN,矩形面積加三角形面積之和

即為所求.

【詳解】

取AD的中點E,PD的中點尸，尸0的中點R,PB的中點N,連接QA延長交PC與點連接EFMNG,

因為底面ABCD是邊長為2挺的正方形，

所以對角線AC=m=4,AO=2,

因為在底面的射影為正方形的中心，可得尸。_1_面48?！?,

因為AOu面A3CD,所以PO_LA。，

因為尸0=4,AO=2,所以尸&=后不=26，

因為￡\F為AD、尸￡)的中點，

所以所=工巳4=石，旦EFHPA,

2

因為PA<Z平面EW0G,EFu平面EW0G,

所以PAII平面EFMG,同理BDH平面EFMG,

所以平面EFMG即為所求截面.

又因為平面APC平面環(huán)MG=QM,PAu平面APC,所以QM//AP,

3

因為。為A0的中點，可得QC==AC,

4

所以QM=WAP,QR=}-AP,RM=QM-QR=-AP=—.

4242

因為N、F為PB、尸。的中點，所以FN〃BD,FN=；BD,

所以FN〃EG,FN=EG,所以四邊形瓦WG是平行四邊形，

因為EGLPO,EG1AC,POAC=O,所以EG,平面APC,

因為QMu平面APC,可得EGLQM,所以EGLGN,

所以四邊形EFNG是矩形，

所以動點T的軌跡圍成的多邊形的面積為近x2+、2x@=述.

222

故選：D

題型二：動點：恒垂直

恒垂直型截面，可以借助投影解決，投影型，需要利用“三垂線定理及其逆定理”這個性質(zhì)轉(zhuǎn)化尋找。

三垂線定理指的是平面內(nèi)的一條直線，如果與穿過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也和這

【答案】3夜+?

【分析】根據(jù)線線垂直，證明線面垂直，找到與AC垂直的平面,故可得平面a〃平面即可

求解.

【詳解】取AC中點為M,連接交AC于。，連接聞8,所以CM=；AC=0,CG=2,"8=夜，所以

=n,AC=2663=《BC?+CC；=2V2

MOCOCM111

AQC00加.，==7^=777=5，所以。知=^^2,。。=￡4。，

433

OM-+OC-=1（GM2+AC2）=2=CM2，故4c±C\M，又因為平面ABC，平面ACC.A,，其交線為AC,且

加6,47,因此版5，平面4（^^,故4。，創(chuàng)1,因此4（7，平面加3&,故平面￡//平面其2。1,因為點P在

棱BC上運動，故當點P運動到點B時，此時截面最大，進而周長最大，此時周長為

Affi+MC]+C[B=0+#+2&=3五+"

故答案為：372+76

2.（江西省南昌三中2021-2022學年高三10月月考數(shù)學（理）試題）在棱長為2的正方體4BCD-A4GA

中，E是正方形BBCC的中心，〃為GA的中點，過4M的平面a與直線。￡垂直，則平面a截正方體

ABC。-AAGA所得的截面面積為（）

A.4立B.2指C.2A/5D.2M

【答案】B

【解析】確定平面AMCN即為平面a,四邊形4MCN是菱形，計算面積得到答案.

【詳解】如圖，在正方體ABCD-AgG。中，記A3的中點為N,連接MC,CN,NA，

則平面4MCN即為平面a.證明如下：由正方體的性質(zhì)可知，NC,則A-M,C,N四點共面，

記CG的中點為尸，連接。尸，易證。尸，MC.連接EP,則砂，MC,

EF\DF=F,EF,OFu平面DEb,所以MC_L平面DEF,又DEu平面DEF,則DE_LMC.

同理可證，DEYNC,NC\MC=C,則。E2平面A^CN,所以平面A^CN即平面a,

四邊形AMCN即平面a截正方體所得的截面.因為正方體的棱長為2,易知四邊形A^CN

是菱形，

其對角線AC=26，MN=26、所以其面積S=；x2近x2石=2#.故選：B

3.（清華大學自主招生暨領(lǐng)軍計劃數(shù)學試題）已知正方體A8C。-A46R的棱長為1,棱A4的中點為E,

AC與8。交于點。.若平面。經(jīng)過點E且與。G垂直，則平面。該正方體所得截面的面積為（）

A.在B.立C.BD.1

422

【答案】A

【分析】如圖，連結(jié)ED,EB,EO,可以證明。G，平面9犯，故可求截面的面積.

【詳解】如圖，連結(jié)ED,EB,EO,則當=0=當，

OAAE

而NC|CO=NOAE=g,故△GCOAZOAE,所以/C℃=/OEA,故

TT

NCQC+ZEOA=ZOEA+ZEOA=-,

故GOLOE,而加1平面C]CA,CQu平面C]CA,故BOJ_G。，因bQOEu平面也組，BDcOE=O,

故。G_L平面EBZ）.因此△￡?￡）的面積為所求，其面積5=工|8。|?|￡0|=!義〃\走=".

2224

題型三：動點：球截面

1.已知正四面體尸-ABC內(nèi)接于球0,點E是底面三角形ABC一邊的中點，過點E作球。的截面，若存

在半徑為白的截面圓，則正四面體尸-ABC棱長的取值范圍是（）

A.["拘B.陷㈣

C.[2A/2,273]D.[2^/3,276]

【答案】C

【分析】根據(jù)條件設(shè)正四面體的棱長為。，用棱長。表示出其外接球的半徑7?=逅％過E點作外接球。的

4

截面，只有當截面圓所在的平面時，截面圓的面積最小，此時此時截面圓的半徑為「=；即最大截面

圓為過球心的大圓，半徑為R=逅a,根據(jù)題意則從而可得出答案.

424

【詳解】如圖，在正四面體尸-ABC中，設(shè)頂點p在底面的射影為a,

則球心。在P。上，口在CE上，且|P0j=||C同，連接0E、0C,設(shè)正四面體的棱長為。，則|CE|=#a,

|pO||=||C￡|=^flo則正四面體的高產(chǎn)Q=JPC2一℃2=卜哼行=存,設(shè)外接球半徑為R,

在口。。夕中，0。2=。。；+002,即R2=（%_R）2+（*）2,解得R=手”，

，在及。?；蛑?，OE="O：+0F=J哈a）2+（￡4=乎a,

過E點作外接球。的截面，只有當截面圓所在的平面時,截面圓的面積最小，

此時截面圓的半徑為r=收一速=J（%）2_（%）2=%最大截面圓為過球心的大圓，半徑為

R=^a,由題設(shè)存在半徑為右的截面圓，40V"a,解得2&WaV26,故選:C.

424

2.（江西省景德鎮(zhèn)市浮梁縣第一中學2022-2023學年高三數(shù)學試題）已知正方體A3CO-4月G2的棱長為2,

石為棱A4的中點，截面石交棱A5于點尸，則四面體。2的外接球表面積為（）

39?—41%——43%

A.-----B.-----C.12nD.

444

【答案】B

【解析】可證尸為A3的中點，設(shè)。2的中點為G,△。尸C的外接圓的球心為&,四面體CDFR的外接球

的球心為0,連接OG,O￡OOI，48,利用解三角形的方法可求△物（的外接圓的半徑，從而可求四面體

CDFD,的外接球的半徑.

【詳解】

設(shè)。R的中點為G,的外接圓的圓心為。1,四面體CDFR的外接球的球心為。，連接

OGO￡OO|，AB,

因為平面AABBJ/平面DXDCCX,平面CREc平面\ABB}=EF,平面C'Ec平面DXDCC1=RC,故

EF//D.C,

___10-43

而AB//DC,故EF//AB,故F為AB的中點，所以。P=CP==有，故cosZDFC=?又尋小=工

4C''

因為NNC為三角形的內(nèi)角，^sinZDFC=-,故的外接圓的半徑為24-4,

5?

OOX1平面ABCD,DD、1平面ABCD,故OQHDD、、在平面GDOQ中，0G，OR,O.D，?？?，故OG//OQ

故四邊形GDO0為平行四邊形，故OO'/GD,00,=GD,所以四面體COP?的外接球的半徑為

膘呼

乃

故四面體8尸2的外接球表面積為4%＞二41=4學1，故選：B.

164

24

3.（新疆2022屆高三年級第一次聯(lián)考數(shù)學試題）已知三棱錐尸-ABC,AB=BC=2,ZABC=—,PA=46

E4過三棱錐P-ABC外接球心。，點E是線段AB的中點，過點E作三棱錐P-ABC外接球。的截面，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐P-ABC體積為墳B.截面面積的最小值是2萬

3

C.三棱錐P-ABC體積為城D.截面面積的最小值是￡

32

【答案】A

【分析】由題可得當且僅當截面與OE垂直時，過點E作三棱錐S-A3C外接球。的截面要使截面面積最小，

求出可判斷BD；由余弦定理求出AC=2g,求出過A、2、C的截面圓半徑，即可求出。到平面ABC的距

離，進而求出高，得出體積.

【詳解】三棱錐P-ABC外接球。的球心為P4中點，可得

要使過點E作三棱錐5-ABC外接球0的截面要使截面面積最小，

則當且僅當截面與。￡垂直時，此時E為截面圓心，A3為直徑，

則可得截面半徑為1,則截面面積的最小值是萬，故B,D錯誤.

在.ABC中由余弦定理得AC?=AB2+8c2-2AB.BacosZABC=22+22-2X2X2COST，AC=2瓜

設(shè)過A、B、C的截面圓圓心為G,半徑為廣，連接OG,則OGL平面4BC,在...ABC中由正弦定理得

“巫_

———=2r,即再一解得廠=2.在MOG4中，由勾股定理得OG=20,???三棱錐尸-ABC的

sinNABC±i

2

高為20G=4近,

故三棱錐P-ABC體積為％Me=；x；x2x2xsin等'4后=^^,A正確.故選：A.

H

題型四：動點；定角

定角：定角，可以平移旋轉(zhuǎn)而成圓錐母線、軸關(guān)系

1.直線和直線成定角，可與平移-旋轉(zhuǎn)為圓錐母線與軸的關(guān)系。

2.直線與面成定角，可以平移旋轉(zhuǎn)為：直線-一面的法向量==圓錐母線一一軸的關(guān)系

1.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面。所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大

值為

A.在B.C.D.—

4342

［答案］A

【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一

個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊

長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體ABC。一A4GQ中，

平面ABQ與線至小綜所成的角是相等的，

所以平面A4R與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面C/。也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面A耳2與中間的，

且過棱的中點的正六邊形，且邊長為受，

2

所以其面積為5=6、乎.（5>=孚，故選A.

2.（江蘇省連云港市灌南高級中學2022-2023學年數(shù)學試題）如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-孫z中，P（x,y,z）

是正三棱柱ABC-A耳G的底面內(nèi)一動點，AlA=AB=3,直線必和底面ABC所成角為:，則尸點

坐標滿足（）

z.G

必7一'IB?y

rx

2222222

A.X+y=3B.尤2+y2+z2=3cx+y=27D.x+y+z=27

【答案】A

【分析】根據(jù)空間直角坐標系求得上4=（-x,-y,-z）,以及平面ABC的一個法向量9=（0,0,3）,根據(jù)線面

夾角的坐標運算即可得尸點坐標滿足的等式關(guān)系.

【詳解】解：由正三棱柱ABC-A與G，且AA=A?=3,根據(jù)坐標系可得：

4（0,0,0）,A（0,0,3）,又尸（尤,y,z）是正三棱柱ABC-4耳G的底面AB?內(nèi)一動點，則z=3,所以

PA=（-x,_y,-z）,

又抽，平面ABC,所以A4,=（0,0,3）是平面ABC的一個法向量，

7T

因為直線PA和底面A3C所成角為y,

卜3z|_忖一出

所以cosPA例

2222222

網(wǎng)4AAi|yjx+y+zx3^x+y+z'

整理得z2=3x2+3y2,又z=3,所以*+/=3.

故選：A.

3.正四面體P-ABC中，點M是棱BC上的動點（包含端點），記異面直線PM與所成角為。，直線PM

與平面ABC所成角為夕，則（）

K.a>（3B.av夕C.a./D.P

【答案】c

【分析】由題意，過點M作用。//AB,過點P作尸底面ABC,垂足為。，根據(jù)異面角和線面角的定義，

得到a=?PA〃）和尸=NPM。，分間）不過點。和MD過點0,兩種情況討論，即可求解.

【詳解】由題意，過點M作地//AB,過點P作尸01底面ABC,垂足為0,

所以異面直線尸M與AB所成角，即為角NPA0,即（z=?PMD,

因為尸01底面ABC,可得NPMO為直線PM與平面ABC所成的角，即4=/尸”。，

（1）當必）不過點。時，過點。作連接PE,如圖所示，因為尸01底面ABC,MEu底面ABC,

可得ME_LPO,

又由POOE=O,所以ME,平面POE,因為尸Eu平面POE,所以ME,尸E,在直角△〃出中，可得

ME

cosa=---

PM

在直角POM中，可得cos分在直角△MOE,中可得所以cosavcosP,

PM

因為％尸￡（0,9且y=cos%在區(qū)間（0,鄉(xiāng)上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以;

TT

（2）當過點。時，此時cosa=cosp,由tz/e（O,'）,可得a=尸，綜上可得：cN.故選：C.

p

題型五：外接球：線面垂直型

1.（2022?河南開封?高三河南省杞縣高中校聯(lián)考開學考試）在四棱錐尸-TWCD中，四邊形ABCD為正方形,

PA_L平面A3CD,且PA=6,AB=8,則四棱錐P-ABCD的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）

A.叵C.3D

2-7T

【答案】B

3V

【分析】根據(jù)幾何體內(nèi)切圓半徑公式一三（V為幾何體的體積，S為幾何體的表面積），由PAA氏兩

兩垂直，四棱錐可補形為長方體，可得外接圓的半徑公式，可得答案.

【詳解】設(shè)四棱錐P-ABCD的外接球與內(nèi)切球的半徑分別為R,r.

因為％棱錐_PABCD=）X8?x6=128,

四棱錐尸一ASCD的表面積S=8?+LX6X8X2+」X8X10X2=192,

22

所以1=3%棱錐PWCD=2

S

因為兩兩垂直，四棱錐可補形為長方體，所以R=［正轉(zhuǎn)仔="1,

所以四棱錐尸-ABCD的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為咨=?.故選：B.

4%升4

2.（2023?河南高三校聯(lián)考階段練習）已知正方體ABCD-ABGA的外接球表面積為27萬，點E為棱股的

中點，且平面a,點&e平面a,則平面a截正方體助儀）-4月6。所得的截面圖形的面積為（）

A81V2R81V2p81n81

4848

［答案］D

【分析】先求得正方體的邊長，畫出截面利用向量法證得DE上平面a,根據(jù)梯形面積公式計算出截面

的面積.

【詳解】設(shè)該正方體外接球的半徑為R,

依題意，4萬4=27萬，解得改=彳，故R=￥，43AB=2R=3y/3,故AB=3.

分別取棱A氏3C的中點￡G,連接尸G,\F,GG,4G,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：四邊形64打?為

等腰梯形，

建立如圖所示空間直角坐標系，尸（1,0,3）6（3,3,0）,石13,0,11。（0,3,3）,DE=（3,-3,-胃，

99

A/=5—5=0,0月4。=9—9=0,所以。石_LARO￡_LA］G，由于AbcAG=A，

所以O(shè)E工平面GAPG,即截面為等腰梯形CHFG,由題可知FG=；AG=手，A1F=C1G=^,

所以等腰梯形C"G的高為逑，故截面圖形的面積為:x］羋+3⑸義軍=4

42I2）48

故選：D

3.（2022?河北唐山?高三開灤第二中學?？茧A段練習）如圖，在三棱錐S-ABC中，S3,平面

ABC,AB±BC,SB=AB=BC=2,P,。分別為AB,BC的中點，則平面SPQ截三棱錐S-ABC的外接球所得截

面的面積為（）

A.兀B.72TTC.2兀D.2&兀

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量求解出點到平面的距離，進而求出截面半徑和面積

【詳解】因為，S8_L平面A5cAs==將三棱錐S—ABC補成正方體ABCD-乙S腸V,

所以三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心。是BN的中點.設(shè)外接球的半徑為R,則2R=BN=2y/3,

即R=6,

NM

以BC,BABS分別為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標系8-孫z,

5(0,0,2),尸(0,1,0),2(1,0,0),0(1,1,1),則尸Q=(l,—l,o),PS=(O,-l,2),OP=(-1,0,-1),設(shè)平面WQ

的法向量為〃=（x,y,z）,

n-PQ=0[x—y=0i/、

由,得c,令x=2,則y=2,z=l,所以平面SPQ的一個法向量"=2,2,1.

nPS=Q[-y+2z=n0'7

I。尸3

所以球心0到平面的距離為d=—^=亍^==1,設(shè)平面截三棱錐S-ABC的外接球所得的

\n\V4+4+1

截面半徑,，則r=VF二產(chǎn)=夜，故該截面的面積為2兀，故選：C

題型六：外接球：垂面型

面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；

（2）直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；

1.（2022,安徽高三校聯(lián)考階段練習）四棱錐尸-A3c。中，ABC。是正方形，PA=AB=PB=底,且面

面ABCQ,則四棱錐P-A8CD的外接球表面積為

A.8萬B.10〃C.12TID.14〃

【答案】D

【解析】P-ABCD的外接球轉(zhuǎn)化為三棱柱PAB-EDC的外接球，球心位于上、下底面中心連線段中點。處,

由正弦定理求出。丁,勾股定理求出R，代入球體表面積公式即可得解.

【詳解】P-ABCD的外接球與三棱柱PAB-EDC外接球相同.

球心位于上、下底面中心連線段中點。處，設(shè)外接球半徑為R,

cP_J_而_B

因為尸4=48=尸8=后，所以△PA8為等邊三角形，由正弦定理得?尸一，,17一”2,

sin—

3

R=OP=JOO"OF=J圖2+（可=爐=半，

S=4TTR2=14乃.

2.（2023?全國?高三專題練習）已知在三棱錐C-ABD中，△ABD是等邊三角形，BC1CD,平面平

面6。。，若該三棱錐的外接球表面積為4萬，則AC=（）

A.走B.如C.73D.-

222

【答案】c

【分析】首先根據(jù)題意，判斷出三棱錐外接球球心的位置，利用其表面積求得其半徑的大小，之后在三角

形中，利用勾股定理求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意,畫出圖形,半徑為/?,

根據(jù)題意，有4萬7?2=4萬，解得R=l,根據(jù)題意，有球心。為正三角形△ABD的中心,

因為OD=1,所以AO=l,OF=g,所以正三角形△鈿￡）的邊長為6，BC1CD,所以==

因為平面ABD_L平面68,所以NA/C=工，所以AC=Jc>?+AF，=E+2=B故選：C.

2V44

3.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐尸—ABC中，上4=網(wǎng)=3C=4,AC=8,AB,BC.平面平面

ABC,若球。是三棱錐P-ABC的外接球，則球。的表面積為（）.

A.25萬B.60萬C.72TID.80%

［答案］D

【分析】根據(jù)已知條件求得外接球的半徑，由此求得球的表面積.

【詳解】設(shè)“E分別是",4c的中點，由于尸8=24,所以尸D_LA?,由于平面上針，平面ABC且交線

為AB,所以PE>_L平面ABC,由于AB13C,所以E是RtABC的外心，所以球心。在過E且與平面A3C

垂直的直線上，

AB=d**=4區(qū)AD=BD=26,尸。=’42一（2@~=2,DE=；BC=2,過。作。尸_1_尸￡）,且交點

為尸,

由千OFHDEQEHDF、所以四邊形OEDE是矩形，則=設(shè)外接球的半徑為R,所以

7?2=22+（2+DF）2=42+OE2,

解得。￡=0/=2,a=20,R=2褥.所以外接球的表面積為4萬斤=80乃.故選：D

p

B

C

題型七：外接球：兩線定心法

◎0目點

雙線交點定心法（特殊三角形圓心垂線交點確定球心法）

（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；

（2）直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；

L（福建省龍巖市一級達標校2022-2023學年高三教學質(zhì)量檢查數(shù)學試題）三棱錐P-ABC的底面ABC是

等腰三角形，AC=BC=2,AB=26，側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表

面積為一.

【答案】20萬

【分析】

求出APAB的外接圓半徑如AABC的外接圓半徑不求出外接球的半徑,，即可求出該三棱錐的外接球的

表面積.

【詳解】

由題意，設(shè)AR4B的外心為。2，AABC的外心為

則AR4s的外接圓半徑弓=1/-=2,

22sin60

在AABC中，因為AC=5C=2,A5=2j5,

由余弦定理可得cosC==_1所以sinc=走,

2ACBC22

_AB_20

所以MBC的外接圓半徑"―一二3一，

2

在等邊中，由AB=26,所以尸￡>=3,所以。?￡>=尸。=3-2=1,

設(shè)球心為0,球的半徑為"，貝IJOQ=3-2=1,0?尸=2,

又由。。。2,面

則產(chǎn)=22+F=5,所以該三棱錐的外接球的表面積為4萬d=20萬

故答案為：20萬.

2.（湖北省鄂東南省級示范高中教學改革聯(lián)盟2023屆高三模擬考試數(shù)學（文）試）已知在三棱錐C-ABD中,

是等邊三角形，3CJ_CD,平面ABD1,平面6。。,若該三棱錐的外接球表面積為4萬，則AC=（）

A.0B."C.指D.-

222

【答案】C

【分析】

首先根據(jù)題意，判斷出三棱錐外接球球心的位置，利用其表面積求得其半徑的大小，之后在三角形中，利

用勾股定理求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，畫出圖形，

設(shè)且外接球球心為。，半徑為/?,根據(jù)題意，有4萬曉=4萬，解得尺=1

根據(jù)題意，有球心。為正三角形的中心，

因為OD=1,所以AO=l,Of=g,所以正三角形△ABD的邊長為6，

5C1CD,所以CF=^BO=無，因為平面平面6。。，所以NA/C=￡,

222

所以AC=+=e+2=石,故選：C.

V44

3.（江蘇省鹽城中學2022-2023學年高三上學期第三次階段性質(zhì)量檢測數(shù)學試題）已知菱形ABCD邊長為3,

440=60。，E為對角線AC上一點，AC=6AE■.將△ABO沿2。翻折到VA'BD的位置，E記為E'且二面角

A-3D-C的大小為120°,則三棱錐4-3CD的外接球的半徑為；過￡作平面a與該外接球相交，

所得截面面積的最小值為.

A

【答案】叵卜

24

【分析】

(1)過C3￡UA'8D的重心作垂線，垂線的交點即為球心，再根據(jù)已知線段長度求解出球的半徑；

(2)首先確定出當截面面積最小時對應(yīng)的OE與截面的位置關(guān)系，再根據(jù)線段長度求解出截面圓的面積.

【詳解】

因為ZZM￡>=60。且四邊形A3CD為菱形，所以一CBD,-48。均為等邊三角形，

取C82.43O的重心為Af,N,過M,N作平面CB。、平面A3D的垂線，且垂線交于一點。，

此時。即為三棱錐A—BCD的外接球球心，如下圖所示：

記ACBD=O',連接CO,。。，，因為二面角A-a)-C的大小為120。，

且，BD,CO'l.BD,所以二面角A-BD—C的平面角為NA'O'C=120。，

因為O'M=O'N,所以cos/MO'O=cos/2Vo'O,所以NMO'O=NM9'O=60。，

又因為BC=3,所以CO'=4。'=3sin60。=2叵，所以M0'=N0'=1c0'=3,

232

所以O(shè)M=O'Aftan60o=|,又CM=gcO'=百，所以0c+0”=小+：=孝,

所以三棱錐A-BCD的外接球的半徑為叵；

2

當截面面積取最小值時，此時截面，又因為截面是個圓，設(shè)圓的半徑為,，外接球的半徑為R,

又因為他'='4。，=［。0'=走且0'=0加=3,所以O(shè)E=")儲+府=2+』=6,

3322V44

所以'=奴_°片=也