2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.3模擬方法-概率的應(yīng)用課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修3

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十八)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．灰太狼和紅太狼安排在某日12：00～18：00這個(gè)時(shí)間段內(nèi)外出捉羊，則灰太狼和紅太狼在14：00～15：00之間動(dòng)身的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)D[P＝eq\f(15－14,18－12)＝eq\f(1,6).]2．有四個(gè)嬉戲盤(pán)，如圖所示，假如撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明希望中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)大，他應(yīng)當(dāng)選擇的嬉戲盤(pán)為()A[對(duì)A，P(A)＝eq\f(3,8)，對(duì)B，P(B)＝eq\f(1,3)；對(duì)C，P(C)＝eq\f(4－π,4)＜eq\f(1,4)；對(duì)D，P(D)＝eq\f(1,π)，明顯P(A)最大，因此應(yīng)選嬉戲盤(pán)A.]3．如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．向正方形中隨機(jī)扔一粒豆子，若它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3) D．無(wú)法計(jì)算B[設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，依題意，得eq\f(2,3)＝eq\f(S,2×2)，所以S＝eq\f(8,3).故選B.]4．有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)B[先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π.則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]5．已知A是圓O上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，它是一條弦，則它的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)C[如圖，當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)，∠AOA′＝60°，由圓的對(duì)稱性及幾何概型得P＝eq\f(120°,360°)＝eq\f(1,3).故選C.]二、填空題6．廣告法對(duì)插播廣告時(shí)間有規(guī)定，某人對(duì)某臺(tái)的電視節(jié)目作了長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論，他隨意時(shí)間打開(kāi)電視機(jī)看該臺(tái)節(jié)目，看不到廣告的概率約為eq\f(9,10)，那么該臺(tái)每小時(shí)約有________分鐘廣告．6[這是一個(gè)與時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，這個(gè)人看不到廣告的概率為eq\f(9,10)，則看到廣告的概率約為eq\f(1,10)，故60×eq\f(1,10)＝6.]7．水池的容積是20m3，水池里的水龍頭A和B的水流速度都是1m3/h，它們一晝夜(0～24h)內(nèi)隨機(jī)開(kāi)啟eq\f(25,72)[如圖所示，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示A，B兩水龍頭開(kāi)啟的時(shí)間，則陰影部分是滿意不溢水的對(duì)應(yīng)區(qū)域，因?yàn)檎叫螀^(qū)域的面積為24×24，陰影部分的面積是eq\f(1,2)×20×20，所以所求的概率P＝eq\f(\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,72).]8．圓上的隨意兩點(diǎn)間的距離大于圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率是________．eq\f(1,3)[如圖所示，從點(diǎn)A動(dòng)身的弦中，當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)落在劣弧eq\x\to(BC)上的時(shí)候，滿意已知條件，當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)在劣弧eq\x\to(AB)或劣弧eq\x\to(AC)上的時(shí)候不能滿意已知條件，又因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以弦長(zhǎng)大于正三角形邊長(zhǎng)的概率是eq\f(1,3).]三、解答題9．如圖所示，在邊長(zhǎng)為25cm的正方形中有兩個(gè)腰長(zhǎng)均為23cm的等腰直角三角形，現(xiàn)有粒子勻稱散落在正方形中，粒子落在中間陰影區(qū)域的概率是多少？[解]因?yàn)榱Ｗ勇湓谡叫蝺?nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件．設(shè)A＝{粒子落在中間陰影區(qū)域}，則依題意得正方形面積為25×25＝625(cm2)，兩個(gè)等腰直角三角形的面積為2×eq\f(1,2)×23×23＝529(cm2)，陰影區(qū)域的面積為625－529＝96(cm2)，所以粒子落在中間陰影區(qū)域的概率為P(A)＝eq\f(96,625).10．在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C＝30°，求下列事務(wù)的概率．(1)在底邊BC上任取一點(diǎn)P，使BP<AB；(2)在∠BAC的內(nèi)部任作射線AP交BC于P，使BP＜AB.[解](1)因?yàn)辄c(diǎn)P隨機(jī)地落在線段BC上，故線段BC為試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，以B為圓心，BA為半徑的弧交BC于M，記“在底邊BC上任取一點(diǎn)P，使BP<AB”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(BA,2BAcos30°)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).(2)所作射線AP在∠BAC內(nèi)是等可能分布的，在BC上取一點(diǎn)M，使∠AMP＝75°，則BM＝BA.記“在∠BAC的內(nèi)部作射線AP交線段BC于P，使BP<AB”為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(∠BAM,∠BAC)＝eq\f(75°,120°)＝eq\f(5,8).1．已知函數(shù)f(x)＝log2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上任取一點(diǎn)x0，則使f(x0)≥0的概率為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)C[欲使f(x)＝log2x≥0，則x≥1，而x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴x0∈[1,2]，由幾何概型概率公式知P＝eq\f(2－1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3).]2．在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,10)C.eq\f(π,20) D.eq\f(π,40)A[設(shè)在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內(nèi)，則有0≤a2＋b2≤1.如圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，滿意a2＋b2在[0,1]內(nèi)的點(diǎn)在eq\f(1,4)單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(π,4).]3．函數(shù)f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點(diǎn)x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________．eq\f(7,10)[由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]．設(shè)使f(x0)≤0為事務(wù)A，則事務(wù)A構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是2－(－5)＝7，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是5－(－5)＝10，則P(A)＝eq\f(7,10).]4.如圖，是一殘缺的輕質(zhì)圓形轉(zhuǎn)盤(pán)，其中殘缺的每小部分與完整的每小部分的角度比是3∶2，面積比是3∶4.某商家用其來(lái)與顧客進(jìn)行互動(dòng)嬉戲，中間自由轉(zhuǎn)動(dòng)的指針若指向殘缺部分，商家贏；指針若指向完整部分，顧客贏．則顧客贏的概率為_(kāi)_______．eq\f(2,5)[指針在轉(zhuǎn)盤(pán)上轉(zhuǎn)動(dòng)，只與所轉(zhuǎn)過(guò)的角度有關(guān)系，且指針自由轉(zhuǎn)動(dòng)，指向哪一部分是隨機(jī)的，因此該問(wèn)題屬于角度型幾何概型．因其角度比為3∶2，故商家贏的概率為eq\f(360°×\f(3,5),360°)＝eq\f(3,5)，顧客贏的概率為eq\f(360°×\f(2,5),360°)＝eq\f(2,5).]5．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，x＞0，y＞0))內(nèi)的一點(diǎn)，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖像的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.若a＝1，則b＝－1；若a＝2，則b＝－1或1；若a＝3，則b＝－1或1.所以事務(wù)包含基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是1＋2＋2＝5.又因?yàn)閍，b所取的全部可能結(jié)果為3×5＝15(個(gè))，所以所求事務(wù)的概率為eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，依條件可知事務(wù)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|a＋b－8