2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.1直線與直線的方程2.1.5平面直角坐標(biāo)系中的距離公式課時分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE1-課時分層作業(yè)(十八)平面直角坐標(biāo)系中的距離公式(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知點(diǎn)A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝eq\r(13)，則實(shí)數(shù)k等于()A．±3B．3C．－3D．0A[|AB|＝eq\r(2k－k2＋－1－12)＝eq\r(13)，即k2＋4＝13，所以k＝±3.]2．到直線3x－4y－11＝0的距離為2的直線方程為()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0B[設(shè)所求的直線方程為3x－4y＋c＝0.由題意eq\f(|c－－11|,\r(32＋－42))＝2，解得c＝－1或c＝－21.故選B.]3．點(diǎn)P(a,0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>7 B．a(chǎn)<－3C．a(chǎn)>7或a<－3 D．a(chǎn)>7或－3<a<7C[依據(jù)題意，得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，解得a>7或a<－3.]4．已知直線3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0相互平行，則它們之間的距離是()A．4B.eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26)D.eq\f(7\r(13),26)D[∵直線3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0相互平行，∴m＝2，∴直線3x＋my－3＝0可化為6x＋4y－6＝0，∴兩平行直線之間的距離d＝eq\f(7,\r(36＋16))＝eq\f(7\r(13),26).]5．過點(diǎn)A(4，a)和點(diǎn)B(5，b)的直線與y＝x＋m平行，則|AB|的值為()A．6 B.eq\r(2)C．2 D．不能確定B[kAB＝eq\f(b－a,5－4)＝b－a.又∵過A，B的直線與y＝x＋m平行，∴b－a＝1，∴|AB|＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(2).]二、填空題6．點(diǎn)P與x軸及點(diǎn)A(－4,2)的距離都是10，則P的坐標(biāo)為________．(2,10)或(－10,10)[設(shè)P(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|y|＝10，,x＋42＋y－22＝100.))當(dāng)y＝10時，x＝2或－10；當(dāng)y＝－10時，無解．則P(2,10)或P(－10,10)．]7．兩平行直線kx＋6y＋2＝0與4x－3y＋4＝0之間的距離為________．1[∵直線kx＋6y＋2＝0與4x－3y＋4＝0平行，∴－eq\f(k,6)＝eq\f(4,3)，∴k＝－8，∴直線kx＋6y＋2＝0可化為4x－3y－1＝0，∴兩平行直線之間的距離d＝eq\f(|－1－4|,\r(16＋9))＝1.]8．直線l經(jīng)過點(diǎn)M0(1,5)，傾斜角為60°，且交直線x－y－2＝0于點(diǎn)M，則|MM0|＝________.6eq\r(3)＋6[∵直線l經(jīng)過點(diǎn)M0(1,5)，傾斜角為60°，∴直線l的方程為y－5＝eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x－y＋5－eq\r(3)＝0，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＋5－\r(3)＝0，,x－y－2＝0，))得交點(diǎn)M(－2－3eq\r(3)，－4－3eq\r(3)，∴|MM0|＝eq\r(1＋2＋3\r(3)2＋5＋4＋3\r(3)2)＝6eq\r(3)＋6.]三、解答題9．在直線2x－y＝0上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)M(5,8)的距離為5，并求直線PM的方程．[解]∵點(diǎn)P在直線2x－y＝0上，∴可設(shè)P(a,2a依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝eq\f(32,5)，∴P(2,4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,5)，\f(64,5)))，∴直線PM的方程為eq\f(y－8,4－8)＝eq\f(x－5,2－5)或eq\f(y－8,\f(64,5)－8)＝eq\f(x－5,\f(32,5)－5)，整理得4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.10．已知點(diǎn)A(0,0)，B(1,1)，C(2，－1)，求△ABC的面積．[解]直線AB的方程為x－y＝0，點(diǎn)C到AB的距離d＝eq\f(|2－－1|,\r(12＋－12))＝eq\f(3\r(2),2)，|AB|＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3,2).1．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C[設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,5－3x)，則由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|x－5＋3x－1|,12＋－12)＝eq\r(2)，即|4x－6|＝2，∴4x－6＝±2，∴x＝1或x＝2，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)或(2，－1)．]2．直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱的直線方程是()A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0D[法一：設(shè)所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0，由題意可知eq\f(|2－3－6|,\r(22＋32))＝eq\f(|2－3＋C|,\r(22＋32))，∴C＝－6(舍)或C＝8，故所求直線的方程為2x＋3y＋8＝0.法二：令(x0，y0)為所求直線上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于(1，－1)的對稱點(diǎn)為(2－x0，－2－y0)，此點(diǎn)在直線2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直線方程為2x＋3y＋8＝0.]3．若實(shí)數(shù)x，y滿意關(guān)系式x＋y＋1＝0，S＝eq\r(x2＋y2－2x－2y＋2)的最小值為________．eq\f(3\r(2),2)[∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一個動點(diǎn)M(x，y)到一個定點(diǎn)N(1,1)的距離．即為點(diǎn)N與直線l：x＋y＋1＝0上隨意一點(diǎn)M(x，y)的距離，∴S＝|MN|的最小值應(yīng)為點(diǎn)N到直線l的距離，即|MN|min＝d＝eq\f(|1＋1＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).]4．已知a，b，c為某始終角三角形的三邊長，c為斜邊長，若點(diǎn)P(m，n)在直線ax＋by＋2c＝0上，則m2＋n24[由題設(shè)a2＋b2＝c2，m2＋n2表示直線l：ax＋by＋2c＝0上的點(diǎn)P(m，n)到原點(diǎn)O的距離的平方，故當(dāng)PO⊥l時，m2＋n2取最小值d，所以d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2c,\r(a2＋b2))))2＝eq\f(4c2,a2＋b2)＝4.]5．在△ABC中，A(3,3)，B(2，－2)，C(－7,1)，求∠A的平分線AD所在直線的方程．[解]設(shè)M(x，y)為∠A的平分線AD上隨意一點(diǎn)，由已知可求得AC邊所在直線的方程為x－5y＋12＝0，AB邊所在直線的方程為5x－y－12＝0.由角平分線的性質(zhì)，得eq\f(|x－5y＋