13.2.3 邊角邊（重點(diǎn)練）解析版

13.2.3邊角邊（重點(diǎn)練）一、單選題1．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知平分，那么就可以證明，理由是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得、、，由此即可判定求解．【詳解】解：∵平分，∴，在和中，∴故選C【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2020·重慶渝北區(qū)·禮嘉中學(xué)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用“邊角邊”證明△ABG和△CDH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出∠ABG=∠DCH，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠CBG=∠BCH，從而得到∠1=∠2，同理求出∠DCH=∠CDM，結(jié)合圖形判斷出∠BCH>∠EDM，從而得到∠2>∠3，即可得解．【詳解】解：如圖，∵BG=CH，AG=DH，∠AGB=∠CHD=90°，∴△ABG≌△CDH，∴∠ABG=∠DCH，∵BG//CH，∴∠CBG=∠BCH，∴∠1=∠2，同理可得：∠DCH=∠CDM，但∠BCH>∠EDM，∴∠2>∠3，∴∠1=∠2>∠3，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)；把∠1、∠2、∠3拆成兩個角，能利用全等三角形和平行線得出相關(guān)角相等，是解題關(guān)鍵．3．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】證△ODA≌△OCB，推出∠D＝∠C＝25°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DBE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：在△ODA和△OCB中∴△ODA≌△OCB（SAS），∴∠D＝∠C＝25°，∵∠O＝60°，∠C＝25°，∴∠DBE＝60°＋25°＝85°，∴∠BED＝180°?85°?25°＝70°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．4．（2020·浙江）如圖，在正中，D為上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，交于P，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】證明△AEC≌△CDB，得到∠ACP=∠DBC，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠BPE．【詳解】解：在正△ABC中，AC=BC，∠A=∠BCD，又∵AE=DC，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ACP=∠DBC，∴∠BPE=∠DBC+∠ECB=∠ACP+∠ECB=60°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用全等得到一對對應(yīng)角相等，進(jìn)而求得所求角的度數(shù)．5．（2018·湖南省長沙市百熙實(shí)驗(yàn)學(xué)校）如圖所示，AO=BO，CO=DO連接AD,BC，設(shè)AD,BC交于點(diǎn)P，結(jié)論：①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．以上結(jié)論中（）A．只有①正確 B．只有②正確C．只有①②正確 D．①②③都正確【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定和角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】連接OP,在△AOD與△BOC中，，∴△AOD≌△BOC，①正確；∴∠A=∠B；∵AO=BO，CO=DO，在△APC與△BPD中，，∴△APC≌△BPD，②正確；∴AP=BP，在△AOP與△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴∠AOP=∠BOP，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，③正確.故選D.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.6．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，，則下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過，，得到，得到，即可得解；【詳解】∵，，∴，∴，即，在和中，，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的全等判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．7．（2021·汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=35°，則∠DAO的度數(shù)是（）A．35° B．85° C．95° D．以上都不對【答案】B【分析】由“SAS”可證△OAD≌△OBC，就可以得出∠C=∠D，從而得出結(jié)論．【詳解】解：在△OAD和△OBC中，∴△OAD≌△OBC（SAS），∴∠D=∠C．∵∠C=35°，∴∠D=35°．∴∠DAO=180°-∠D-∠O=180°-60°-35°=85°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．8．（2021·山西八年級期末）如圖，正五邊形中，與相交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為（）A．100° B．108° C．120° D．135°【答案】B【分析】利用正五邊形的性質(zhì)，求出內(nèi)角的度數(shù)，證，再利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和求解．【詳解】∵正五邊形∴，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查正五邊形的性質(zhì)．求出正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是本題解題的關(guān)鍵．9．（2020·浙江）如圖，中，垂直的平分線于點(diǎn)D．若的面積為a，且的面積是面積的，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長AC、BD交于點(diǎn)E，可證明△ABD≌△AED，則有，，根據(jù)已知推導(dǎo)出，，進(jìn)而可求得的面積．【詳解】解：延長AC、BD交于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°，又AD=AD，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD=ED，∴，，∵的面積為a，且的面積是面積的，∴，∴，，∴==，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的中線平分三角形的面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，推導(dǎo)面積間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．10．（2021·河北）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE，若∠A＝50°，則∠BDE的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】先由直角三角形的性質(zhì)得∠B＝90°﹣∠A＝40°，再證△CDE≌△CDA（SAS），得∠CED＝∠A＝50°，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACD，在△CDE和△CDA中，，∴△CDE≌△CDA（SAS），∴∠CED＝∠A＝50°，又∵∠CED＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠CED﹣∠B＝50°﹣40°＝10°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題11．（2021·全國八年級課前預(yù)習(xí)）閱讀教材P38-39頁，完成下列問題：觀察：先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，，∠A=∠A′（即兩邊和它們的夾角分別相等），把畫好的三角形A’B’C’剪下來放在△ABC上，觀察這兩個三角形全等嗎？畫法：（1）畫∠DA′E=_____；（2）在射線A′D上截取A′B=________，在射線A′E上截取A′C=AC；（3）連接B′C現(xiàn)象：兩個三角形放在一起能完全重合說明：這兩個三角形_______．【答案】∠AAB全等12．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，線段和關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，若，則的度數(shù)為________．【答案】40°【分析】根據(jù)線段和關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，可以證明，則，從而可以得到答案．【詳解】解：∵線段和關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，，∵AO=CO，BO=DO，又∵∠AOB=∠COD，∴（SAS），∴，∴的度數(shù)為．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．13．（2021·全國八年級課前預(yù)習(xí)）已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC＝CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA＝PB．證明：∵l⊥AB，∴______________．又_________，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴___________．【答案】∠PCA＝∠PCBAC＝CBPA＝PB14．（2021·全國八年級課前預(yù)習(xí)）全等三角形的判定：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“______”或“SAS”），如圖，用符號語言表達(dá)為：在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（_____）．【答案】邊角邊SAS15．（2021·陜西金臺區(qū)·八年級期末）如圖，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得點(diǎn)B，A，C′，在同一條直線上，則旋轉(zhuǎn)角∠BAB′的度數(shù)是_____.【答案】150°【分析】依題意，直角三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，可得，，，即可；【詳解】由題知，直角三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到；由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：∴又點(diǎn)在同一直線上；∴；∴；故填：；【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)及三角形全等的性質(zhì)，關(guān)鍵在熟練構(gòu)造平角進(jìn)行求解；16．（2021·山東八年級期末）如圖，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延長線交BC于點(diǎn)E，若∠BAE＝80°，則∠EAC的度數(shù)為______．【答案】50°【分析】利用SAS證明△ABC≌△ADC得∠D+∠DCA＝∠B+∠BCA，根據(jù)三角形的外角定理推出∠B+∠BCA＝∠CAE，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵AC平分∠DCB，∴∠BCA＝∠DCA，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCA，∵∠EAC＝∠D+∠DCA，∴∠B+∠BCA＝∠EAC，∵∠B+∠BCA＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC，∴∠CAE＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC，∵∠BAE＝80°，∴∠EAC＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是利用SAS證明△ABC≌△ADC．17．（2021·河北保定市·八年級期末）把兩個等腰直角△ABC和△ADE按如圖所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖②，連接BD，EC，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．（1）當(dāng)DE⊥AC時，AE與BC的位置關(guān)系是___；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時，∠BEC的度數(shù)是___．【答案】平行【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系，求得，從而得到AE與BC的位置關(guān)系；（2）通過證明三角形全等，從而得到∠BEC的度數(shù)．【詳解】解：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，如下圖：由題意可知：，，∴∴（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時，如下圖：∵∴又∵∴∴∴∴故答案為：平行；【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的證明和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的證明方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021·福建三明一中八年級開學(xué)考試）如圖，已知在四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．如果點(diǎn)在線段上以3厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為___________厘米/秒時，能夠使與以，，三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．【答案】3或【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動速度．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①當(dāng)BE＝CP＝6，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等，此時，6＝8﹣3t，解得t，∴BP＝CQ＝2，此時，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為23厘米/秒；②當(dāng)BE＝CQ＝6，BP＝CP時，△BPE與△CQP全等，此時，3t＝8﹣3t，解得t，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為6厘米/秒；故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等．19．（2021·內(nèi)蒙古八年級期末）如圖，，于，于，且，在線段上，在射線上，若與全等，則__________．【答案】6或8【分析】此題分兩種情況討論，情況一：，，時；情況二：，，，分情況求出AP即可．【詳解】解：∵于，于∴當(dāng)，，時，與全等，此時；當(dāng)，，時，與全等，此時；故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題20．（2018·湖北八年級期中）如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF與DE交于點(diǎn)G.求證：△ABF≌△DCE.【分析】由BE=CF,根據(jù)等式的性質(zhì)得BF=CE,由已知AB=DC，∠B=∠C，進(jìn)而由SAS判定△ABF≌△DCE.【詳解】∵BE＝CF，∴BE+EF=CE+EF，即：BF=CE，在△ABF和△DCE中，ABDC，BC，BFCE，△ABF≌△DCE（SAS）.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定.21．（2021·湖南八年級期末）如圖所示，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD．求證：∠B=∠D．【分析】要證明∠B=∠D，只需要證明△ABC≌△ADE．根據(jù)已知提供的條件通過SAS定理即可證得．【詳解】證明:∵∠EAB=∠CAD，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAD=∠BAC．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠B=∠D．（全等三角形的對應(yīng)角相等）【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．22．（2021·南陽市第三中學(xué)八年級期中）（教材呈現(xiàn)）如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：（1）（方法應(yīng)用）如圖①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是．（2）（猜想證明）如圖②，在四邊形ABCD中，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）（拓展延伸）如圖③，已知AB//CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接寫出線段DF的長．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD＝AB+DC，證明見解析；（3）3【分析】（1）延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．（2）結(jié)論：AD＝AB+DC．延長AE，DC交于點(diǎn)F，證明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB＝CF，再證明DA＝DF即可解決問題．（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點(diǎn)G，證明AB＝DF+CF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．（2）結(jié)論：AD＝AB+DC．理由：如圖②中，延長AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB//CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∵AB//CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠FDG＝∠G，∴FD＝FG，∴AB＝DF+CF，∵AB＝5，CF＝2，∴DF＝AB﹣CF＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．23．（2021·遼寧建昌縣·八年級期末）如圖，點(diǎn)E在CD上，BC與AE交于點(diǎn)F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求證：AE＝CD；（2）證明：∠1＝∠3．【分析】（1）先根據(jù)角的和差可得∠ABE=∠CBD，再根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)對頂角相等可得∠AFB=∠CFE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、等量代換即可得證．【詳解】（1）證明：∵∠1=∠2，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE和中，∵，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）由（1）已證，知，△ABE≌△CBD∴∠A=∠C，又∵∠AFB=∠CFE，∴∠1＝∠3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、對頂角相等、三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知，．求證：．【詳解】解析：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，要證明三角形全等，需要先從三角形中確定相等的對應(yīng)元素，再根據(jù)相等的對應(yīng)元素選擇合適的方法進(jìn)行證明．答案：證明：在和中，∴（SAS）．∴，∵，，∴，即．在和中，25．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，，，且，求證：．如果將BD沿著AC邊的方向平行移動，如圖2、圖3，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．【答案】證明見解析，依然成立，證明見解析【詳解】解析：可以根據(jù)已知條件，利用SAS判定．如果將BD沿著AC邊的方向平行移動，如圖2、圖3，其余條件不變，結(jié)論仍然成立．可以利用全等三角形的常用判定方法進(jìn)行驗(yàn)證．答案：解：證明：∵，∴，即．∴，∴．在和中，∴（SAS）．在圖2、圖3中結(jié)論依然成立．如在圖3中，∵，∴，即，∵，∴