13.2.6 斜邊直角邊（難點(diǎn)練）解析版

13.2.6斜邊直角邊（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2019·浙江杭州·八年級(jí)期末）已知的周長(zhǎng)相等，現(xiàn)有兩個(gè)判斷：①若，則；②若，，則，對(duì)于上述的兩個(gè)判斷，下列說(shuō)法正確的是（）A．①，②都正確 B．①，②都錯(cuò)誤C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①正確，②錯(cuò)誤【答案】A【分析】根據(jù)即可推出△△，判斷①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定和全等三角形的判定推出即可．【詳解】解：①△，△的周長(zhǎng)相等，，，，△△，①正確；②如圖，延長(zhǎng)到，使，，延長(zhǎng)到，使，∴，，∵的周長(zhǎng)相等，∴，在△和△中，∴△△（SAS）∴，∵，∴，，又∵，，∴，在△和△中，△△（AAS），②正確；綜上所述：①，②都正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，能構(gòu)造全等三角形、綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，而和不能判斷兩三角形全等．2．（2019·浙江杭州·）如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯(cuò)誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等．3．（2021·河南浉河·八年級(jí)期末）如圖，在的網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，連接，相交于，那么的大小是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取格點(diǎn)，連接，先證明，得出，再證明得出，最后證明是等腰直角三角形，得出，從而得出即可．【詳解】解：取格點(diǎn)，連接，由已知條件可知：，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，∵，∴,∴,∴是等腰直角三角形，∴,即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，所求角轉(zhuǎn)換成容易求出度數(shù)的角，合理的添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．4．（2020·浙江義烏·八年級(jí)期末）如圖，、是的角平分線，、相交于點(diǎn)F，已知，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)AF=FC、△AEF≌△CDF時(shí)，需要滿足條件∠BAC=∠BCA，據(jù)此可判斷①②；在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結(jié)論，據(jù)此可判斷③④．【詳解】解：①假設(shè)AF=FC．則∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故①不一定正確；②假設(shè)△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．同①，當(dāng)∠BAC=∠BCA時(shí)，該結(jié)論成立，∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故②不一定正確；③如圖，在AC上取AG=AE，連接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF與△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，則∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC與△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正確；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．二、填空題5．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖為的角平分線，且，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，過(guò)E作于F，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是________．【答案】①②④【分析】根據(jù)SAS易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確；再判斷AB∥CE，可得③錯(cuò)誤；判斷出Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），得出BG=BF，進(jìn)而判斷出Rt△CEG≌Rt△AEF，即可判斷出④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD=BC，BD=BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正確；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°，即②正確；③根據(jù)已知條件，可得不一定成立，故③錯(cuò)誤；④如圖，過(guò)作于點(diǎn)，是上的點(diǎn)，，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），，，即④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2020·沙洋縣紀(jì)山中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=_______．【答案】65°【分析】先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，在和中，；過(guò)點(diǎn)作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2020·浙江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，且分別以、為腰，點(diǎn)C為直角項(xiàng)點(diǎn)在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________．【答案】7．【分析】先過(guò)N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根據(jù)點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP．【詳解】解：過(guò)N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN＝180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN＝180°，∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，∴∠CNH＝∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°，∴∠HCN＝∠QAC，在△HCN和△QAC中，，∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH＝AQ，HN＝QC，∵QC＝MC，∴HN＝CM，∵點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，∴AQ＝6，∴CH＝6，∵NH∥CM，∴∠PNH＝∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，，∴△PNH≌△PMC（AAS），∴CP＝PH＝CH＝3，又∵CO＝4，∴OP＝3+4＝7；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．三、解答題9．（2021·云南文山·）在中，，，點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)EC．（1）如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，如圖1：求證：（2）如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)寫出AC與CE的位置關(guān)系．通過(guò)觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過(guò)點(diǎn)E作交直線BC于F，如圖2所示，通過(guò)證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系，請(qǐng)你寫出證明過(guò)程．（3）如果點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，利用圖3畫(huà)圖分析，（2）中的結(jié)論是否仍然成若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）垂直，理由見(jiàn)解析；（3）成立，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)E作交直線BC于F，如圖2所示，通過(guò)證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系；（3）如圖3所示，過(guò)點(diǎn)E作于F，證明，進(jìn)一步可證明【詳解】解：（1）證明：∵∴∵∴∴（2）垂直∵∴∵∴在和中∴∴，∵∴，∴即．∴又∵∴，且∴即．（3）（2）中的結(jié)論仍然成立如圖3所示，過(guò)點(diǎn)E作于F∵∴在和中∴∴，∴即∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．10．（2020·安徽相山·八年級(jí)月考）如圖，在中，點(diǎn)M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)N是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N，M重合時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是________；和的位置關(guān)系是_________；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N不與點(diǎn)M重合時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，則的面積與的面積的關(guān)系為_(kāi)___________，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)畫(huà)出并證明．【答案】（1）ME=MF，CF∥BE；（2），證明見(jiàn)解析；（3）成立，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）證明△CMF≌△BME可得ME=MF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得CF∥BE；（2）證明△CFN≌△BPN（AAS），可得FN=NP，根據(jù)三角形中線平分三角形的面積可得；（3）證明△CPN≌△BEN，可得PN=NE，根據(jù)三角形中線平分三角形的面積可得．【詳解】解：（1）當(dāng)N，M重合時(shí)，BM=MC，∵于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，∴∠CFE=∠BEF=90°，∴CF∥BE，∵∠CMF=∠BME，∴△CMF≌△BME（AAS）∴ME=MF，故答案為：ME=MF，CF∥BE；（2）∵于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，∴∠CFE=∠BEF=90°，∴CF∥BE，∴∠CFN=∠BPN，∠CBE=∠BCF，∵N為BC的中點(diǎn)，∴BN=NC，∴△CFN≌△BPN（AAS），∴FN=NP，∴；（3）成立，如下圖，∵于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，∴∠CFE=∠BEM=90°，∴CF∥BE，∴∠P=∠BEP，∠PCB=∠EBC，∵N為BC的中點(diǎn)，∴BN=NC，∴△CPN≌△BEN（AAS），∴PN=NE，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷，平行線的性質(zhì)和判斷，三角形中線有關(guān)的面積證明．（2）（3）中理解三角形中線平分三角形面積是解題關(guān)鍵．11．（2021·全國(guó)八年級(jí)期中）如圖1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D在AB邊的延長(zhǎng)線上，且CD＝AB．（1）求BD的長(zhǎng)度；（2）如圖2，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'與CD相交于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)度；②連接A'D、BD'，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A'D＝BD'時(shí)，求滿足條件的α的度數(shù)．（3）如圖3，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段A'D'上任意一點(diǎn)，直接寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段MN長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】（1）3﹣3；（2）①6﹣2；②45°或225°；（3）3﹣3≤MN≤6＋3【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CH＝BH＝AB，由勾股定理求出DH，則可求出答案；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CD'＝，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，即可求解；②分兩種情況討論，由“SSS”可證△A'CD≌△BCD'，可得∠A'CD＝∠BCD'，即可求解；（3）當(dāng)A'D'⊥AC時(shí)，N是AC與A'D'的交點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，當(dāng)A'D'⊥AC時(shí)，N是AC與A'D'的交點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD'于F，∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∵圖1中CD=2CH，∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如圖2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°＋α，∴α＝45°；如圖2﹣2，同理可證：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，綜上所述：滿足條件的α的度數(shù)為45°或225°；（3）如圖3，當(dāng)A'D'⊥AC時(shí)，N是AC與A'D'的交點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如圖4，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)D'共線，且點(diǎn)N與點(diǎn)D'重合時(shí)，MN有最大值，此時(shí)MN＝CM＋CN＝6＋3，∴線段MN的取值范圍是3﹣3≤MN≤6＋3．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2021·全國(guó)）如圖1，在四邊形ABDC中，，，，，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．（1）求證：．（2）在圖1中，若G在AB上且，試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（3）運(yùn)用（1）（2）（3）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的長(zhǎng)．（用含a，b的代數(shù)式表示，可能用到直角三角形中，30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知推出，根據(jù)證明，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)證，可得，根據(jù)可證，推出即可得出結(jié)論；（3）過(guò)C作交的延長(zhǎng)線于M，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，由（1）（2）可知，分別用含a，b的代數(shù)式表示，，最后代入即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）如圖，連接，在和中，，∴，∴∵，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∵，∴．（3）如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，在和中，∴，∴，，由（1）（2）可知：，∵，，，∴，又∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定綜合．（1）解題的關(guān)鍵是證明全等三角所需對(duì)應(yīng)角相等；（2）證明兩線段和等于一條線段時(shí)，通常將兩條線段轉(zhuǎn)移到同一條已知線段中，再證明已知線段與求和后的線段相等即可；（3）解題關(guān)鍵在于構(gòu)造輔助線證明三角形全等．13．（2021·江蘇東臺(tái)·八年級(jí)月考）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE為多少？說(shuō)明理由；（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不需證明．【答案】（1）90°；（2）①α＋β＝180°，理由見(jiàn)詳解；②點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，α＋β＝180°或α＝β．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；（2）①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②分兩種情況畫(huà)出圖形，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°；（2）①α＋β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC?∠DAC＝∠DAE?∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB．∵∠ACE＋∠ACB＝β，∴∠B＋∠ACB＝β，∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，∴α＋β＝180°；②如圖1：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，α＋β＝180°，連接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝∠BAC＋∠BCE＝180°，即：∠BCE＋∠BAC＝180°，∴α＋β＝180°，如圖2：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α＝β．連接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，∴∠ABD＋∠ABC＝∠ACE＋∠ABC＝∠ACB＋∠BCE＋∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°?∠ABC?∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；綜上所述：點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，α＋β＝180°或α＝β．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，證明△ABD≌△ACE是解本題的關(guān)鍵．14．（2020·安徽肥東·八年級(jí)期末）如圖，已知中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）用含的式子表示的長(zhǎng)為；（2）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)秒后，與是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？【答案】（1）8-3t；（2）全等，理由見(jiàn)解析；（3）cm/s【分析】（1）由運(yùn)動(dòng)知，BP=3t，即可得出結(jié)論；（2）先求出BP=3，CP=5，CQ=3，得出BP=CQ，再判斷出CP=BD，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，BP=3t，∵BC=8，∴PC=BC-BP=8-3t；（2）全等，理由：當(dāng)t=1時(shí)，BP=3，CP=5，CQ=3，∴BP=CQ，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴BD=AB=5，∴CP=BD，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（3）∵BP=3t，CP=8-3t，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，∴CQ=xt，當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，∴BP=CQ，∴3t=xt，∴x=3（不符合題意），當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)，∴BP=CP，BD=CQ，∴3t=8-3t，5=xt，∴t=，x=，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能使△BPD與△CQP全等．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．15．（2020·平山縣外國(guó)語(yǔ)中學(xué)八年級(jí)期末）已知：在中，，，是過(guò)點(diǎn)的一條直線，且于，于．（1）當(dāng)直線處于如圖①的位置時(shí)，有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)直線處于如圖②的位置時(shí)，則、、的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BD=DE-CE，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）利用與（1）相同的證明方法證明即可．【詳解】解：證明：（1）∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE；（2）BD=DE-CE，理由如下：∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵AE=DE-AD，∴BD=DE-CE．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．（2020·浙江八年級(jí)單元測(cè)試）在中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E，（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，顯然有：（不必證明）；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)也可以解決問(wèn)題；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=BE-AD．【詳解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如圖3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之間的關(guān)系為DE=BE-AD．【點(diǎn)睛】此題需要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，也利用了直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)探究性題目，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高．17．（2021·全國(guó)）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上的一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．當(dāng)旋轉(zhuǎn)至?xí)r，點(diǎn)恰好在同一直線上，此時(shí)作于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）9；（3）4.8【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，然后求出，利用“角角邊”證明和△全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后求得PC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（3）過(guò)D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時(shí)H點(diǎn)即為N點(diǎn)，連接CM，再由等積法即可求出DN，即為MC+MN的最小值．【詳解】解：（1）證明：是旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，又；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，又，，，，，又，，在和△中，，△，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得，，∴△PBC的面積==9；（3）∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB，∴點(diǎn)D為C點(diǎn)關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD，過(guò)D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時(shí)H點(diǎn)即為N點(diǎn)，連接CM，∴CM=DM，MC+MN=MN+MD=DN，由等面積法得：，∴，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，（2）作輔助線構(gòu)造出過(guò)渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2021·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，為直線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在直線上截取，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)，都在線段上時(shí)，如圖①，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）圖②：；圖③：【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，．再證，由此即可證得結(jié)論；（2）圖②：，類比（1）中的方法證明即可；圖③：，類比（1）中的方法證明即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）圖②：．證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴，∵∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．圖③：．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是全等三角形的綜合題，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．（2021·全國(guó)）定義：若一個(gè)三角形中，其中有一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的一半，則這樣的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在鈍角三角形中，，，，過(guò)點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)．點(diǎn)在直線上，且．

（1）如圖1，若，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，圖中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，請(qǐng)寫出圖中的“半角三角形”，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，若，保持的度數(shù)與（1）中的結(jié)論相同，請(qǐng)直接寫出，，滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）存在，“半角三角形”為，證明見(jiàn)解析；（2）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使得，根據(jù)邊角關(guān)系證出，得出，即可證明為“半角三角形”．（2）由（1）可知，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接BF，構(gòu)造全等三角形△≌△，進(jìn)而可得出.因?yàn)椋砸詾閳A心，長(zhǎng)為半徑作圓與直線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)?shù)谝环N情況成立時(shí)，必定存在一個(gè)與它互補(bǔ)的，所以可得出另外一種情況.【詳解】（1）存在，“半角三角形”為，證明：延長(zhǎng)到，使得，連接．，，即，在和中，，．，．為“半角三角形”（2）或.①延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接BF,∵，，∴△≌△.過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn),可得.∴.②因?yàn)椋砸詾閳A心，長(zhǎng)為半徑作圓與直線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)?shù)谝环N情況成立時(shí)，必定存在一個(gè)與它互補(bǔ)的．可知：.綜上所述，這三個(gè)角之間的關(guān)系有兩種，或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．正確理解題意，使用分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．20．（2021·哈爾濱市第四十七中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，己知中，，，分別過(guò)、向過(guò)的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過(guò)的直線與斜邊不相交時(shí)，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，過(guò)的直線與斜邊相交時(shí)，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．【答案】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．證明見(jiàn)詳解；（3）S△GHC=15．【分析】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．利用一線三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．先證∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，可得∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；（3）先由（2）結(jié)論EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用對(duì)角線垂直的四邊形面積可求BG=，再求EG=3，AH=10，分別求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面積差即可求出．【詳解】解：（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF-AE=BE-CF；（3）∵EF=BE-CF；，∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，∵，EH+FH=EF=6，∴2FH+FH=6，解得FH=2，∴EH=2FH=4，S四邊形ABFG==90，∴BG=，∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15．【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換探究線段和差問(wèn)題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算，掌握?qǐng)D形變換探究線段和差問(wèn)題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算是解題關(guān)鍵．21．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知在中，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)B，M，C分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如圖1，可以得到（可以當(dāng)作已知應(yīng)用）．（1）當(dāng)直線m不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2，圖3的位置時(shí)，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想．圖2，猜想：___________________；圖3，猜想：___________________；（2）選擇第（1）問(wèn)中任意一種猜想加以證明．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)題意可以寫出圖2和圖3的猜想，從而本題得以解決；

（2）對(duì)于圖2和圖3的猜想可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用圖1的結(jié)論可以推導(dǎo)出圖2和3猜想，并寫出證明過(guò)程．【詳解】（1）圖2的猜想為：，圖3的猜想為；，（2）圖2的猜想證明：如圖2，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，∵，∴，∴，又∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，由（1）知：，∴；驗(yàn)證圖3的猜想：如圖3，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，∵，∴，∴，又∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，由（1）知：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想、找出所求問(wèn)題需要的條件．22．（2021·長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）在中，點(diǎn)