高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)教學(xué)教案

二、極限一、函數(shù)三、連續(xù)與間斷機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)、極限與連續(xù)第一章一、函數(shù)

1、函數(shù)的概念

2、函數(shù)的特性

3、反函數(shù)

4、隱函數(shù)

5、復(fù)合函數(shù)

6、初等函數(shù)與基本初等函數(shù)一、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義:定義域值域圖形:(一般為曲線)設(shè)函數(shù)為特殊（數(shù)域上）的映射:其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)奇偶性且有若則稱f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(4)周期性且則稱為周期函數(shù),若稱l為周期(一般指最小正周期).周期為

注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x為有理數(shù)x為無理數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.反函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射稱此映射為f的反函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)4、隱函數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),函數(shù)為隱函數(shù).則稱此5、復(fù)合函數(shù)

則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束—復(fù)合映射的特例②u稱為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合6.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)（定義域、性質(zhì)、圖形、導(dǎo)數(shù)、積分）冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù).例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)函數(shù)求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束?？碱}型：四大特性判斷；復(fù)合函數(shù)例2.設(shè)求及其定義域.由得解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一步：根據(jù)具體的外函數(shù)將抽象的內(nèi)函數(shù)作為自變量表示出來。第二步：題1——外函數(shù)的定義域=內(nèi)函數(shù)的值域題2——利用反函數(shù)，解出內(nèi)函數(shù)表達(dá)式二、極限

1、極限的概念

2、極限的性質(zhì)

3、極限存在準(zhǔn)則

4、兩個(gè)重要極限

5、無窮小量與無窮大量

無窮小量的概念、性質(zhì)、比較、等價(jià)無窮小

無窮大量的概念1、極限的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)列當(dāng)時(shí),有極限定義的等價(jià)形式(以為例)(即為無窮小)有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)時(shí),有2)保號(hào)性:

若且A>0,則存在(A<0)(P37定理3)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)不等式性質(zhì):

若在的某去心鄰域內(nèi),且則2.極限的性質(zhì)1)有界性:

若則存在(P37定理3)其中

為時(shí)的無窮小量.4)函數(shù)值與函數(shù)極限的關(guān)系則有5)四則運(yùn)算法則

若（B≠0）1）夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)

(P49)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2）單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準(zhǔn)則2

)

(P52)

3、極限存在準(zhǔn)則4.兩個(gè)重要極限

5.無窮小量與無窮大量1）無窮小的概念：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),函數(shù)(或)2）無窮大的概念：若若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則定理2.

在自變量的同一變化過程中,2)無窮小的性質(zhì)：有限個(gè)無窮小的和是無窮?。o限否）有限個(gè)無窮小的積是無窮?。o限立）有界量乘無窮小是無窮小機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)無窮小的比較設(shè)

,

對(duì)同一自變量的變化過程為無窮小,且

是

的高階無窮小

是

的低階無窮小

是

的同階無窮小

是

的等價(jià)無窮小

是

的k階無窮小4)等價(jià)無窮小:

～～～～～～～～～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.求極限的基本方法：整理、四則運(yùn)算法則、變量代換（復(fù)合函數(shù)求極限）、無窮小性質(zhì)、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小代換、極限存在兩個(gè)重要準(zhǔn)則、?？碱}型：求極限；無窮小量階的比較提示:無窮小有界機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理函數(shù)通用手段：三角函數(shù)和差化積，無理式有理化，分式通分，取對(duì)數(shù)（冪指函數(shù)）～則有復(fù)習(xí):若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束變量代換原則:簡(jiǎn)化函數(shù)；簡(jiǎn)化變化過程；機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知例4.當(dāng)時(shí),是的幾階無窮小?解:設(shè)其為的階無窮小,則因故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、連續(xù)與間斷

1、連續(xù)的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）

2、間斷點(diǎn)（2個(gè)）

3、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（6個(gè)）三、連續(xù)與間斷1.函數(shù)連續(xù)的概念有2.函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當(dāng)時(shí),使必存在