滬教版九年級數學核心知識點與常見題型通關講解練第26章二次函數全章復習與測試(原卷版+解析)

第26章二次函數全章復習與測試【知識梳理】1.二次函數的概念解析式形如的函數；它的定義域為一切實數；2.二次函數的圖像與性質對稱軸頂點開口方向變化情況直線時，開口向上，頂點是最低點；時，開口向下，頂點是最高點；當時，拋物線在對稱軸（直線）左側的部分下降，在右側上升；時，在對稱軸左側上升，在對稱軸右側下降.直線直線直線直線【考點剖析】一．二次函數的定義（共3小題）1．（2023?楊浦區(qū)一模）下列函數中，二次函數是（）A．y＝x+1 B．y＝x（x+1） C．y＝（x+1）2﹣x2 D．2．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果函數y＝（m+1）x+2是二次函數，那么m＝．3．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）已知二次函數y＝﹣x2+bx+3，當x＝2時，y＝3．則這個二次函數的表達式是．二．二次函數的圖象（共2小題）4．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖所示的拋物線y＝x2﹣bx+b2﹣9的圖象，那么b的值是．5．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果二次函數y＝a（x﹣1）2（a≠0）的圖象在它的對稱軸右側部分是上升的，那么a的取值范圍是．三．二次函數圖象與系數的關系（共7小題）6．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）如果二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜07．（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（k﹣2）x2的開口向上，那么k的取值范圍是．8．（2023?普陀區(qū)一模）如果二次函數y＝（x﹣m）2+k的圖象如圖所示，那么下列說法中正確的是（）A．m＞0，k＞0 B．m＞0，k＜0 C．m＜0，k＞0 D．m＜0，k＜09．（2023?虹口區(qū)一模）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列四個結論中，錯誤的是（）A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．abc＜010．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（a+2）x2+a的開口向下，那么a的取值范圍是．11．（2023?徐匯區(qū)一模）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，點P在x軸的正半軸上，且OP＝1，下列選項中正確的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜012．（2023?楊浦區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2在對稱軸左側的部分是下降的，那么a的取值范圍是．四．二次函數圖象上點的坐標特征（共13小題）13．（2023?普陀區(qū)一模）下列函數圖象中，與y軸交點的坐標是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2+1 D．y＝2（x+1）214．（2023?長寧區(qū)一模）某同學在用描點法畫二次函數的圖象時，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算錯了其中的一個y值，那么這個錯誤的數值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣115．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）下列各點中，在二次函數y＝x2﹣8x﹣9圖象上的點是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）16．（2023?徐匯區(qū)一模）已知點A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在拋物線y＝﹣x2﹣2x+4上，則mn（填“＞”、“＝”或“＜”）．17．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）已知點A（0，y1）、B（﹣1，y2）在拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數）上，則y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．18．（2022秋?金山區(qū)校級期末）二次函數y＝ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值為．19．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知y是關于x的函數，若該函數的圖象經過點P（t，﹣t），則稱點P為函數圖象上的“相反點”，例如：直線y＝2x﹣3上存在“相反點”P（1，﹣1）．若二次函數y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點”，則m＝．20．（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如果二次函數y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的圖象過原點，那么m＝．21．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）函數y＝2x2+4x﹣5的圖象與y軸的交點的坐標為．22．（2023?青浦區(qū)二模）已知點M（﹣1，2）和點N都在拋物線y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x軸，那么點N的坐標為．23．（2023?崇明區(qū)一模）已知點A（2，y1），B（﹣3，y2）為二次函數y＝（x+1）2圖象上的兩點，那么y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．24．（2023?長寧區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）經過點（﹣1，y1），（2，y2），試比較y1和y2的大?。簓1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．25．（2023?靜安區(qū)校級一模）拋物線y＝（x+1）2﹣2與y軸的交點坐標是．五．二次函數圖象與幾何變換（共6小題）26．（2023?虹口區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝x2+2x沿著y軸向下平移2個單位，所得到的新拋物線的表達式為．27．（2023?金山區(qū)一模）將拋物線y＝2（x+4）2向右平移3個單位，得到新拋物線的表達式是．28．（2023?松江區(qū)一模）把拋物線y＝x2+1向左平移2個單位，所得新拋物線的表達式是．29．（2023?寶山區(qū)一模）將拋物線y＝x2+3向右平移3個單位長度，平移后拋物線的表達式為（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+330．（2022秋?金山區(qū)校級期末）若將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向下平移3個單位，則所得到的新拋物線表達式為．31．（2023?上海）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M：y＝ax2+bx+c經過點B．（1）求點A，B的坐標；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯結CD，且CD∥x軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數解析式．六．二次函數綜合題（共9小題）32．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與x軸分別交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸交于點C，聯結BC，點P在線段BC上，設點P的橫坐標為m．（1）求直線BC的表達式；（2）如果以P為頂點的新拋物線經過原點，且與x軸的另一個交點為D；①求新拋物線的表達式（用含m的式子表示），并寫出m的取值范圍；②過點P向x軸作垂線，交原拋物線于點E，當四邊形AEDP是一個軸對稱圖形時，求新拋物線的表達式．33．（2023?長寧區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+2x+6與x軸交于點A、點B（點A在點B的左側，點B在原點O右側），與y軸交于點C，且OB＝OC．（1）求拋物線的表達式．（2）如圖1，點D是拋物線上一點，直線BD恰好平分△ABC的面積，求點D的坐標；（3）如圖2，點E坐標為（0，﹣2），在拋物線上存在點P，滿足∠OBP＝2∠OBE，請直接寫出直線BP的表達式．34．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的表達式和對稱軸；（2）聯結AC、BC，D為x軸上方拋物線上一點（與點C不重合），如果△ABD的面積與△ABC的面積相等，求點D的坐標；（3）設點P（m，4）（m＞0），點E在拋物線的對稱軸上（點E在頂點上方），當∠APE＝90°，且＝時，求點E的坐標．35．（2023?楊浦區(qū)三模）已知拋物線與x軸交于點A（3，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），頂點為點D．（1）求拋物線的表達式和頂點D的坐標；（2）點P是線段AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，如果PE＝PB，求點P的坐標；（3）在第（2）小題的條件下，點F在y軸上，且點F到直線EC、ED的距離相等，求線段EF的長．36．（2023?虹口區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的頂點為A，與y軸相交于點B，異于頂點A的點C（2，n）在該拋物線上．（1）如圖，點B的坐標為（0，1）．①求點A的坐標和n的值；②將拋物線向上平移后的新拋物線與x軸的一個交點為D，頂點A移至點A1，如果四邊形DCAA1為平行四邊形，求平移后新拋物線的表達式；（2）直線AC與y軸相交于點E，如果BC∥AO且點B在線段OE上，求m的值．37．（2023?崇明區(qū)二模）如圖．在直角坐標平面xOy中，直線y＝﹣x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A、B兩點，點D是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）拋物線與x軸的另一個交點為C，點在拋物線對稱軸左側的圖象上，將拋物線向上平移m個單位（m＞0），使點M落在△ABC內，求m的取值范圍；（3）對稱軸與直線AB交于點E，P是線段AB上的一個動點（P不與E重合），過P作y軸的平行線交原拋物線于點Q，當PE＝QD時，求點Q的坐標．38．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣ax2+bx+c與x軸交于點A、B（點A在點B右側），與y軸交于點C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求這條拋物線的表達式及頂點M的坐標；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果點D在這條拋物線的對稱軸上，且∠CAD＝45°，求點D的坐標．39．（2023?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和B（3，0），與y軸交于點C．拋物線的頂點為點D．（1）求拋物線的表達式，并寫出點D的坐標；（2）將直線BC繞點B順時針旋轉，交y軸于點E．此時旋轉角∠EBC等于∠ABD．①求點E的坐標；②二次函數y＝x2+2bx+b2﹣1的圖象始終有一．部分落在△ECB的內部，求實數b的取值范圍．40．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知拋物線經過點B（6，0）和C（0，3），與x軸的另一個交點為點A．（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；（2）將該拋物線向右平移m個單位（m＞0），點C移到點D，點A移到點E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的條件下，設新拋物線的頂點為G，新拋物線在對稱軸右側的部分與x軸交于點F，求點C到直線GF的距離．

【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．拋物線y＝﹣x2+2x﹣4一定經過點（）A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）2．在同一坐標系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的圖象，它們的共同特點是（）A．拋物線的開口方向向上 B．都是關于x軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而增大 C．都是關于y軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而減小 D．都是關于y軸對稱的拋物線，有公共的頂點3．下列二次函數中，如果圖象能與y軸交于點A（0，1），那么這個函數是（）A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x4．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，那么a、b、c的取值范圍是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜05．將二次函數y＝2（x﹣2）2的圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位后所得圖象的函數解析式為（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2x2﹣36．二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1，有以下結論：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）其中正確的結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共12小題）7．如果拋物線y＝ax2+2經過點（1，0），那么a的值為．8．如果函數是關于x的二次函數，那么k的值是．9．如果拋物線y＝﹣2x2+bx+c的對稱軸在y軸的左側，那么b0（填入“＜”或“＞”）．10．將拋物線y＝2x2+4繞原點O旋轉180°，則旋轉后的拋物線的解析式為．11．若拋物線y＝ax2+bx+c的系數a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則這條拋物線必經過點．12．如果拋物線y＝（k﹣1）x2+9在y軸左側的部分是上升的，那么k的取值范圍是．13．將拋物線y＝2（x+2）2+2經過適當的幾何變換得到拋物線y＝2x2﹣2，請寫出一種滿足條件的變換方法．14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣mx+4與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線于點B，點A在拋物線上，點B關于點A的對稱點D恰好落在x軸負半軸上，過點A作x軸的平行線交拋物線于點E．若點A、D的橫坐標分別為1、﹣1，則線段AE與線段CB的長度和為．15．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝a（x+1）2+b與y＝a（x﹣2）2+b+1交于點A．過點A作y軸的垂線，分別交兩條拋物線于點B、C（點B在點A左側，點C在點A右側），則線段BC的長為．16．已知二次函數y1＝x2+2x﹣3的圖象如圖所示．將此函數圖象向右平移2個單位得拋物線y2的圖象，則陰影部分的面積為．17．如圖，在平面直角坐標系中，點O是邊長為2的正方形ABCD的中心．函數y＝（x﹣h）2的圖象與正方形ABCD有公共點，則h的取值范圍是．18．如圖，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐標系中，CD＝2DE，點O、C、F在y軸上，點A在x軸上，O為坐標原點，點M為線段OC的中點，若拋物線y＝ax2+b經過M、B、E三點，則的值等于．三．解答題（共7小題）19．已知二次函數y＝x2﹣4x+3．（1）在網格中，畫出該函數的圖象．（2）（1）中圖象與x軸的交點記為A，B，若該圖象上存在一點C，且△ABC的面積為3，求點C的坐標．20．將拋物線y＝先向上平移2個單位，再向左平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線經過點（﹣1，4），求新拋物線的表達式及新拋物線與y軸交點的坐標．21．拋物線y＝x2﹣2x+c經過點（2，1）．（1）求拋物線的頂點坐標；（2）將拋物線y＝x2﹣2x+c沿y軸向下平移后，所得新拋物線與x軸交于A、B兩點，如果AB＝2，求新拋物線的表達式．22．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2個單位得到拋物線y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的拋物線經過點A（2，1）．（1）求平移后拋物線的解析式；（2）設原拋物線與y軸的交點為B，頂點為P，平移后拋物線的對稱軸與x軸交于點M，求△BPM的面積．23．我們定義兩個不相交的函數圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數的“和諧值”．（1）求拋物線y＝x2﹣2x+2與x軸的“和諧值”；（2）求拋物線y＝x2﹣2x+2與直線y＝x﹣1的“和諧值”．（3）求拋物線y＝x2﹣2x+2在拋物線y＝x2+c的上方，且兩條拋物線的“和諧值”為2，求c的值．24．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y＝x2+（3﹣m）x經過點A（﹣1，0）．（1）求拋物線C的表達式；（2）將拋物線C沿直線y＝1翻折，得到的新拋物線記為C1，求拋物線C1的頂點坐標；（3）將拋物線C沿直線y＝n翻折，得到的圖象記為C2，設C與C2圍成的封閉圖形為M，在圖形M上內接一個面積為4的正方形（四個頂點均在M上），且這個正方形的邊分別與坐標軸平行．求n的值．25．小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．求y＝﹣x2+3x﹣2函數的“旋轉函數”．小明是這樣思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函數可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根據a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能確定這個函數的“旋轉函數”．請參考小明的方法解決下面的問題：（1）寫出函數y＝﹣x2+3x﹣2的“旋轉函數”；（2）若函數y1＝x2﹣x+n與y2＝﹣x2+mx﹣3互為“旋轉函數”，求（m+n）2016的值；（3）已知函數y＝（x﹣1）（x+4）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1、B1、C1，試證明經過點A1、B1、C1的二次函數與函數y＝（x﹣1）（x+4）互為“旋轉函數”．

第26章二次函數全章復習與測試【知識梳理】1.二次函數的概念解析式形如的函數；它的定義域為一切實數；2.二次函數的圖像與性質對稱軸頂點開口方向變化情況直線時，開口向上，頂點是最低點；時，開口向下，頂點是最高點；當時，拋物線在對稱軸（直線）左側的部分下降，在右側上升；時，在對稱軸左側上升，在對稱軸右側下降.直線直線直線直線【考點剖析】一．二次函數的定義（共3小題）1．（2023?楊浦區(qū)一模）下列函數中，二次函數是（）A．y＝x+1 B．y＝x（x+1） C．y＝（x+1）2﹣x2 D．【分析】利用二次函數定義進行解答即可．【解答】解：A、y＝x+1是一次函數，不是二次函數，故此選項不合題意；B、y＝x（x+1）是二次函數，故此選項符合題意；C、y＝（x+1）2﹣x2可化為y＝2x+1，不是二次函數，故此選項不合題意；D、y＝不是二次函數，故此選項不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握二次函數的定義，一次函數、反比例函數定義．2．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果函數y＝（m+1）x+2是二次函數，那么m＝2．【分析】直接利用二次函數的定義得出m的值．【解答】解：∵函數y＝（m+1）x+2是二次函數，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了二次函數的定義，正確得出m的方程是解題關鍵．3．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）已知二次函數y＝﹣x2+bx+3，當x＝2時，y＝3．則這個二次函數的表達式是y＝﹣x2+2x+3．【分析】根據當x＝2時，y＝3，直接代入函數解析式，得出b的值，即可得出答案．【解答】解：∵二次函數y＝﹣x2+bx+3，當x＝2時，y＝3，∴3＝﹣22+2b+3，解得：b＝2，∴這個二次函數的表達式是：y＝﹣x2+2x+3．故答案為：y＝﹣x2+2x+3．【點評】此題主要考查了代數式求值，得出b的值是解題關鍵．二．二次函數的圖象（共2小題）4．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖所示的拋物線y＝x2﹣bx+b2﹣9的圖象，那么b的值是3．【分析】把原點坐標代入拋物線解析式計算即可求出b的值，再根據拋物線的對稱軸在y軸的右邊判斷出b的正負情況，然后即可得解．【解答】解：由圖可知，拋物線經過原點（0，0），所以，02﹣b×0+b2﹣9＝0，解得b＝±3，∵拋物線的對稱軸在y軸的右邊，∴﹣＞0，∴b＞0，∴b＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，準確識圖判斷出函數圖象經過原點坐標是解題的解，要注意利用對稱軸判斷出b是負數．5．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）如果二次函數y＝a（x﹣1）2（a≠0）的圖象在它的對稱軸右側部分是上升的，那么a的取值范圍是a＞0．【分析】由于二次函數的圖象在對稱軸x＝2的右側部分是上升的，由此可以確定二次函數的二次項系數為正數．【解答】解：∵二次函數的圖象在對稱軸x＝1的右側部分是上升的，∴這個二次函數的二次項系數為正數，∴a＞0，故答案為a＞0．【點評】本題主要考查二次函數的圖象，解題關鍵是要熟練掌握二次函數的性質．三．二次函數圖象與系數的關系（共7小題）6．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）如果二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0【分析】利用拋物線開口方向確定a的符號，利用對稱軸方程可確定b的符號，利用拋物線與y軸的交點位置可確定c的符號．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0．故選：A．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．7．（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（k﹣2）x2的開口向上，那么k的取值范圍是k＞2．【分析】根據二次函數的圖象與性質即可求出答案．【解答】解：由題意可知：k﹣2＞0，∴k＞2，故答案為：k＞2．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是熟練運用二次函數的圖象與性質．8．（2023?普陀區(qū)一模）如果二次函數y＝（x﹣m）2+k的圖象如圖所示，那么下列說法中正確的是（）A．m＞0，k＞0 B．m＞0，k＜0 C．m＜0，k＞0 D．m＜0，k＜0【分析】根據解析式知，m，k是拋物線的頂點坐標，再根據函數圖象得出結論．【解答】解：∵y＝（x﹣m）2+k，頂點坐標為（m，k），由圖象可得，m＞0，k＜0，故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象和系數的關系，解題的關鍵是能根據圖象找出二次函數的頂點存在的特點、性質．9．（2023?虹口區(qū)一模）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列四個結論中，錯誤的是（）A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．abc＜0【分析】根據二次函數圖象的開口方向可以得到a的正負，再根據左同右異，可以得到b的正負，然后根據拋物線與y的軸的交點位置，可以得到c的正負，從而可以得到abc的正負，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，故選項A正確，不符合題意；∵拋物線對稱軸在y軸右側，a＜0，∴b＞0，故選項B錯誤，符合題意；∵拋物線交y軸于正半軸，∴c＞0，故選項C正確，不符合題意；∴abc＜0，故選項D正確，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解答本題的關鍵判斷出a、b、c的正負．10．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果拋物線y＝（a+2）x2+a的開口向下，那么a的取值范圍是a＜﹣2．【分析】根據拋物線y＝（a+2）x2+a的開口向下，可得a+2＜0，從而可以得到a的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝（a+2）x2+x﹣1的開口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案為：a＜﹣2．【點評】本題考查二次函數的性質和定義，解題的關鍵是明確二次函數的開口向下，則二次項系數就小于0．11．（2023?徐匯區(qū)一模）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，點P在x軸的正半軸上，且OP＝1，下列選項中正確的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0【分析】由二次函數的圖象和性質，即可判斷．【解答】解：A、二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，a＜0，故A不符合題意；B、當x＝0時，y＝c＞0，故B不符合題意；C、當x＝1時y＝a+b+c＜0，故C不符合題意；D、拋物線的對稱軸是直線x＝﹣＜0，由a＜0，得到b＜0，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查二次函數的圖象與系數的關系，關鍵是掌握：二次函數的性質．12．（2023?楊浦區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2在對稱軸左側的部分是下降的，那么a的取值范圍是a＞0．【分析】由題意可得拋物線開口向上，進而求解．【解答】解：∵拋物線y＝ax2在對稱軸左側的部分是下降的，∴拋物線開口向上，∴a＞0，故答案為：a＞0．【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．四．二次函數圖象上點的坐標特征（共13小題）13．（2023?普陀區(qū)一模）下列函數圖象中，與y軸交點的坐標是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2+1 D．y＝2（x+1）2【分析】把（0，1）代入解析式，解答即可．【解答】解：A．當x＝0時，y＝2×0＝0≠1，不符合題意；B．當x＝0時，y＝2×0﹣1＝﹣1≠1，不符合題意；C．當x＝0時，y＝2×0+1＝1，符合題意；D．當x＝0時，y＝2×（0+1）2＝2≠1，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象上的點都在該函數的圖象上．14．（2023?長寧區(qū)一模）某同學在用描點法畫二次函數的圖象時，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算錯了其中的一個y值，那么這個錯誤的數值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣1【分析】假設三點（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數圖象上，利用待定系數法求得解析式，然后判斷其他兩點可得答案．【解答】解：假設三點（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數圖象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函數解析式得：，解得，函數解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當x＝﹣1時，y＝0，當x＝﹣2時，y＝5，故選：D．方法二：解：假設函數經過（0，﹣3），（2，﹣3），則對稱軸為直線x＝1，此時y＝﹣4，函數值最小，∴函數開口向上，∴當x＜1時，y隨x的增大而減小，而表格中，x＝﹣2時，y＝﹣1，由題意不符，故選：D．【點評】本題考查了二次函數圖象，待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，求是二次函數的解析式解題關鍵．15．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）下列各點中，在二次函數y＝x2﹣8x﹣9圖象上的點是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）【分析】分別計算自變量為1、﹣1、﹣3、3所對應的函數值，然后根據二次函數圖象上點的坐標特征進行判斷．【解答】解：當x＝1時，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣16；當x＝﹣1時，y＝x2﹣8x﹣9＝0；當x＝﹣3時，y＝x2﹣8x﹣9＝24；當x＝3時，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣24；所以點（1，﹣16）在二次函數y＝x2﹣8x﹣9的圖象上．故選：A．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．16．（2023?徐匯區(qū)一模）已知點A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在拋物線y＝﹣x2﹣2x+4上，則m＜n（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】由開口向下的拋物線的性質：拋物線在對稱軸左側時，圖象上升，y隨x的增大而增大，即可判斷．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+4的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，a＝﹣1＜0，∴拋物線在對稱軸是直線x＝﹣1左側時，圖象上升，y隨x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴m＜n．故答案為：＜．【點評】本題考查二次函數圖象上的點的坐標特征，關鍵是掌握：二次函數的性質．17．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）已知點A（0，y1）、B（﹣1，y2）在拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數）上，則y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】根據拋物線的表達式，求出對稱軸，再根據二次函數的開口方向，對稱性和增減性進行分析即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴拋物線的對稱軸為直線，∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，則當x＜1時，y隨x的增大而減小，∵﹣1＜0＜1，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點評】本題主要考查了二次函數的性質，掌握當拋物線開口方向向上，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，對稱軸右邊，y隨x的增大而增大性質，是關鍵．18．（2022秋?金山區(qū)校級期末）二次函數y＝ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值為﹣6．【分析】根據二次函數的對稱性解答即可．【解答】解：∵x＝﹣3、x＝﹣1時的函數值都是﹣3，相等，∴函數圖象的對稱軸為直線x＝﹣2，∵x＝﹣4和x＝0關于直線x＝﹣2對稱，∴m＝﹣6，故答案為：﹣6．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，熟記二次函數的對稱性是解題的關鍵．19．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知y是關于x的函數，若該函數的圖象經過點P（t，﹣t），則稱點P為函數圖象上的“相反點”，例如：直線y＝2x﹣3上存在“相反點”P（1，﹣1）．若二次函數y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點”，則m＝．【分析】將P（t，﹣t）代入y＝x2+2mx+m+2中得t2+2mt+m+2＝﹣t，即t2+（2m+1）t+m+2＝0，將二次函數y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點”，轉化為方程有兩個相等的實數根，Δ＝0，求解即可．【解答】解：將P（t，﹣t）代入y＝x2+2mx+m+2中，得t2+2mt+m+2＝﹣t，即t2+（2m+1）t+m+2＝0，∵二次函數y＝x2+2mx+m+2的圖象上存在唯一“相反點”，∴方程有兩個相等的實數根，∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m+2）＝0，解得，故答案為：．【點評】本題考查了二次函數、一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是將函數問題轉化為方程問題．20．（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如果二次函數y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的圖象過原點，那么m＝﹣1．【分析】將原點坐標（0，0）代入二次函數解析式，列方程求m，注意二次項系數m﹣1≠0．【解答】解：∵二次函數y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的圖象過原點，∴m2﹣1＝0，解得m＝±1，又二次項系數m﹣1≠0，∴m＝﹣1．故本題答案為：﹣1．【點評】本題考查了二次函數圖象上的點與解析式的關系，將點的坐標代入解析式是解題的關鍵，判斷二次項系數不為0是難點．21．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）函數y＝2x2+4x﹣5的圖象與y軸的交點的坐標為（0，﹣5）．【分析】根據題目中的函數解析式，令x＝0，求出相應的y的值，即可解答本題．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，∴當x＝0時，y＝﹣5，故答案為：（0，﹣5）．【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，知道拋物線與y軸的交點，橫坐標為0．22．（2023?青浦區(qū)二模）已知點M（﹣1，2）和點N都在拋物線y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x軸，那么點N的坐標為（3，2）．【分析】根據拋物線的對稱性即可求得點N的坐標．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵點M（﹣1，2）和點N都在拋物線y＝x2﹣2x+c上，且MN∥x軸，∴M、N關于直線x＝1對稱，∴點N的坐標為（3，2）．故答案為：（3，2）．【點評】本題考查了拋物線圖形上點的坐標特征，平行線的性質，明確M、N關于拋物線的對稱軸對稱是解題的關鍵．23．（2023?崇明區(qū)一模）已知點A（2，y1），B（﹣3，y2）為二次函數y＝（x+1）2圖象上的兩點，那么y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】由二次函數解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，進而求解．【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴y1＞y2．故答案為：＞．【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象上點的坐標特征，掌握二次函數圖象與系數的關系．24．（2023?長寧區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）經過點（﹣1，y1），（2，y2），試比較y1和y2的大?。簓1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】由a＞0可得拋物線開口方向，由二次函數解析式可得拋物線的對稱軸，進而求解．【解答】解：∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故答案為：＞．【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象上點的坐標特征，掌握二次函數圖象與系數的關系．25．（2023?靜安區(qū)校級一模）拋物線y＝（x+1）2﹣2與y軸的交點坐標是（0，﹣1）．【分析】把x＝0代入函數解析式求解．【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，∴拋物線與y軸交點坐標為（0，﹣1）．故答案為：（0，﹣1）．【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，y軸上點的橫坐標為0是解題的關鍵．五．二次函數圖象與幾何變換（共6小題）26．（2023?虹口區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝x2+2x沿著y軸向下平移2個單位，所得到的新拋物線的表達式為y＝（x+1）2﹣3．【分析】根據平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答．【解答】解：將拋物線y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1沿著y軸向下平移2個單位得函數解析式為y＝（x+1）2﹣3，故答案為：y＝（x+1）2﹣3．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數解析式．27．（2023?金山區(qū)一模）將拋物線y＝2（x+4）2向右平移3個單位，得到新拋物線的表達式是y＝2（x+1）2．【分析】先求出原拋物線的頂點坐標，再根據向右平移橫坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解析式寫出即可．【解答】解：y＝2（x+4）2的頂點坐標為（﹣4，0），∵向右平移3個單位，∴平移后的拋物線的頂點坐標為（﹣1，0），∴所得到的新拋物線的表達式是y＝2（x+1）2．故答案為：y＝2（x+1）2．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，此類題目，利用頂點的變化求解更簡便．28．（2023?松江區(qū)一模）把拋物線y＝x2+1向左平移2個單位，所得新拋物線的表達式是y＝（x+2）2+1．【分析】已知拋物線解析式為頂點式，頂點坐標為（0，1），則平移后頂點坐標為（﹣2，1），由拋物線的頂點式可求平移后的拋物線解析式．【解答】解：∵y＝x2+1頂點坐標為（0，1），∴向左平移2個單位后頂點坐標為（﹣2，1），∴所得新拋物線的表達式為y＝（x+2）2+1．故答案為：y＝（x+2）2+1．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換．關鍵是把拋物線的平移理解為頂點的平移，根據頂點式求拋物線解析式．29．（2023?寶山區(qū)一模）將拋物線y＝x2+3向右平移3個單位長度，平移后拋物線的表達式為（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+3【分析】根據左加右減的平移規(guī)律求解即可．【解答】解：將拋物線y＝x2+3向右平移3個單位長度，平移后拋物線的表達式為y＝（x﹣3）2+3，故選：D．【點評】本題考查了二次函數圖象的平移規(guī)律，熟練掌握二次函數圖象的平移規(guī)律是解題的關鍵．30．（2022秋?金山區(qū)校級期末）若將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向下平移3個單位，則所得到的新拋物線表達式為y＝2（x﹣2）2．．【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【解答】解：由“左加右減、上加下減”的原則可知，把拋物線y＝2（x﹣1）2+3向下平移3個單位，所得到的新拋物線表達式為y＝2（x﹣1）2，故答案為：y＝2（x﹣2）2．【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．31．（2023?上海）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M：y＝ax2+bx+c經過點B．（1）求點A，B的坐標；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯結CD，且CD∥x軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數解析式．【分析】（1）根據題意，分別將x＝0，y＝0代入直線即可求得；（2）設，得到拋物線的頂點式為，將B（0，6）代入可求得，進而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；（3）根據題意，設P（p，0），，根據平移的性質可得點B，點C向下平移的距離相同，列式求得m＝﹣4，，然后得到拋物線N解析式為：，將B（0，6）代入可得，即可得到答案．【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；（2）設，設拋物線的解析式為：，∵拋物線M經過點B，∴將B（0，6）代入得：，∵m≠0，∴，即，將代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，整理得：，∴，c＝6；（3）如圖：∵CD∥x軸，點P在x軸上，∴設P（p，0），，∵點C，B分別平移至點P，D，∴點B，點C向下平移的距離相同，∴，解得：m＝﹣4，由（2）知，∴，∴拋物線N的函數解析式為：，將B（0，6）代入可得：，∴拋物線N的函數解析式為：或．【點評】本題考查了求一次函數與坐標軸的交點坐標，求拋物線的解析式，涉及平移的性質，二次函數的圖性質等，解題的關鍵是根據的平移性質求出m和a的值．六．二次函數綜合題（共9小題）32．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與x軸分別交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸交于點C，聯結BC，點P在線段BC上，設點P的橫坐標為m．（1）求直線BC的表達式；（2）如果以P為頂點的新拋物線經過原點，且與x軸的另一個交點為D；①求新拋物線的表達式（用含m的式子表示），并寫出m的取值范圍；②過點P向x軸作垂線，交原拋物線于點E，當四邊形AEDP是一個軸對稱圖形時，求新拋物線的表達式．【分析】（1）用待定系數法即可求解；（2）①設點P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），設新拋物線的表達式為：y＝t（x﹣m）2﹣m+3，再用待定系數法即可求解；②當點D在y軸左側時，此時，點P不可能在BC上，故點D只能在y軸右側，當PE垂直平分AD時，則m﹣1＝2m﹣m，即可求解；當AD垂直平分PE時，則yP＝|yE|，進而求解．【解答】解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），則﹣4a＝﹣4，則a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，則點C（0，3），設直線BC的表達式為：y＝kx+3，將點B的坐標代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，即直線BC的表達式為：y＝﹣x+3；（2）①設點P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），則設新拋物線的表達式為：y＝t（x﹣m）2﹣m+3，將點O的坐標為（0，0）代入上式得：0＝t（0﹣m）2﹣m+3，解得：t＝，則新拋物線的表達式為：y＝（x﹣m）2﹣m+3，（0＜m＜3）；②當點D在y軸左側時，此時，點P不可能在BC上，故點D只能在y軸右側，由新拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝m，則點D（2m，0），當PE垂直平分AD時，則m﹣1＝2m﹣m，此方程無解，即此種情況不存在；當AD垂直平分PE時，則yP＝|yE|，即﹣m+3＝﹣（m2﹣4m+3），解得：m＝3（舍去）或2，故新拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣2）2+1．【點評】本題考查了二次函數綜合題，涉及到待定系數求函數解析式、垂直平分線的性質、圖象的平移等，有一定的綜合性，難度適中．33．（2023?長寧區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+2x+6與x軸交于點A、點B（點A在點B的左側，點B在原點O右側），與y軸交于點C，且OB＝OC．（1）求拋物線的表達式．（2）如圖1，點D是拋物線上一點，直線BD恰好平分△ABC的面積，求點D的坐標；（3）如圖2，點E坐標為（0，﹣2），在拋物線上存在點P，滿足∠OBP＝2∠OBE，請直接寫出直線BP的表達式．【分析】（1）用待定系數法求函數的解析式即可；（2）記直線BD交AC于點G，由直線BD恰好平分△ABC的面積，那么點G為AC的中點，過點G、D分別作x軸的垂線，垂足分別為點N、T，設D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，得出，解方程求出t的值即可；（3）分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）由題意可知C（0，6），∵OB＝OC＝6，∴B（6，0），∴36a+12+6＝0，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+6；（2）由（1）知拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+6，故令y＝0得：0＝﹣x2+2x+6，解得：x＝﹣2，x2＝6，∴點A的坐標為（﹣2，0）．即OA＝2，記直線BD交AC于點G，由直線BD恰好平分△ABC的面積，那么點G為AC的中點，過點G、D分別作x軸的垂線，垂足分別為點N、T，在△OCA中，GN∥CO，故由三角形中位線定理可得：GN＝3，ON＝1，故在Rt△BGN中，tan∠GBN＝，設D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，在Rt△BDT中，tan∠DBT＝＝，∵tan∠DBT＝tan∠GBN，∴，解得：t1＝﹣，t2＝6（舍），∴D（﹣，）；（3）①當點P在x軸上方時，在y軸上取點G（0，2），連接BG，則∠OBG＝∠OBE，過點B作直線PB交拋物線于點P，交y軸于點M，使∠GBM＝∠GBO，則∠OBP＝2∠OBE，過點G作GH⊥BM，∵E（0，﹣2），∴OE＝OG＝GH＝2，設MH＝x，則MG＝，在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，∴（+2）2+62＝（x+6）2，解得：x＝，故MG＝＝，∴OM＝OG+MG＝2+＝，∴點M（0，），將點B（6，0）、M（0，）的坐標代入一次函數表達式y(tǒng)＝mx+n，，解得：，∴直線BP的表達式為：y＝﹣x+；②當點P在x軸下方時，作點M（0，）關于x軸的對稱點N（0，﹣），求得直線BN的解析式為y＝x﹣，綜上所述，直線BP的表達式為y＝﹣x+或y＝x﹣．【點評】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數圖象和性質，待定系數法，三角形面積，直角三角形的性質，勾股定理等，解題的關鍵是熟練運用分類討論思想和方程的思想解決問題．34．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的表達式和對稱軸；（2）聯結AC、BC，D為x軸上方拋物線上一點（與點C不重合），如果△ABD的面積與△ABC的面積相等，求點D的坐標；（3）設點P（m，4）（m＞0），點E在拋物線的對稱軸上（點E在頂點上方），當∠APE＝90°，且＝時，求點E的坐標．【分析】（1）將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，即可求解；（2）D為x軸上方拋物線上一點（與點C不重合），△ABD的面積與△ABC的面積相等，則yD＝y(tǒng)C＝3，進而求解；（3）證明△EMP∽△PNA，得到，即可求解．【解答】解：（1）將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，則拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3，則拋物線的對稱軸為x＝﹣＝﹣1；（2）∵D為x軸上方拋物線上一點（與點C不重合），△ABD的面積與△ABC的面積相等，則yD＝y(tǒng)C＝3，則點C、D關于拋物線的對稱軸對稱，故點D（﹣2，3）；（3）設點E（﹣1，t），過點P作x軸的垂線，交x軸于點N，交過點E和x軸的平行線于點M，∵∠APE＝90°，則∠EPM+∠APN＝90°，∵∠PAN+∠APN＝90°，∴∠EPM＝∠PAN，∵∠EMP＝∠PNA＝90°，∴△EMP∽△PNA，∴，則，解得：t＝，即點E的坐標為：（﹣1，）．【點評】本題是二次函數綜合題，主要考查了一次函數的性質、三角形相似、面積的計算等，有一定的綜合性，難度適中．35．（2023?楊浦區(qū)三模）已知拋物線與x軸交于點A（3，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），頂點為點D．（1）求拋物線的表達式和頂點D的坐標；（2）點P是線段AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，如果PE＝PB，求點P的坐標；（3）在第（2）小題的條件下，點F在y軸上，且點F到直線EC、ED的距離相等，求線段EF的長．【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線的表達式，轉化成頂點式即可知頂點D的坐標；（2）令y＝0，求得B（﹣1，0），設P（n，0），則E（n，﹣n2+n+2），根據已知條件得出﹣n2+n+2＝1+n，解方程即可求得E的坐標；（3）求出點E的坐標，利用待定系數法求出直線ED的表達式，可得直線ED與y軸的交點為H（0，3），則EC＝EH，根據等腰三角形的性質即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（3，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），∴，解得，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+2，由y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴頂點D的坐標為（1，）；（2）如圖，設P（n，0），則E（n，﹣n2+n+2），∵PE＝PB，∴﹣n2+n+2＝1+n，解得n1＝，n2＝1（舍去），∴點P的坐標為（，0）；（3）如圖1，設直線DE與y軸交于H，∵點P的坐標為（，0），∴E（，），∵頂點D的坐標為（1，），設直線ED的表達式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線ED的表達式為y＝﹣x+3，∴H（0，3），∵C（0，2），E（，），∴EC＝EH，∵點F到直線EC、ED的距離相等，∴點F在∠CEH的角平分線上，∴EF⊥y軸，∴EF＝．【點評】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的表達式，二次函數的性質，角平分線的性質，等腰三角形的性質，掌握待定系數法以及等腰三角形的性質是解題的關鍵．36．（2023?虹口區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的頂點為A，與y軸相交于點B，異于頂點A的點C（2，n）在該拋物線上．（1）如圖，點B的坐標為（0，1）．①求點A的坐標和n的值；②將拋物線向上平移后的新拋物線與x軸的一個交點為D，頂點A移至點A1，如果四邊形DCAA1為平行四邊形，求平移后新拋物線的表達式；（2）直線AC與y軸相交于點E，如果BC∥AO且點B在線段OE上，求m的值．【分析】（1）①將B（0，1）代入y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，得2m﹣3＝1，則m＝2，由y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，得A（3，﹣8）；將C（2，n）代入y＝x2﹣6x+1，可求得n＝﹣7；②由平行四邊形的性質得DC∥AA1，DC＝AA1，因為AA1⊥x軸，所以DC⊥x軸，則AA1＝DC＝7，可知拋物線y＝（x﹣3）2﹣8向上平移了7個單位，所以平移后新拋物線的表達式為y＝（x﹣3）2﹣1；（2）先求得B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3），A（m+1，﹣m2﹣4），可求得直線AC的表達式為y＝（1﹣m）x﹣5，則E（0，﹣5）；設直線OA的表達式為y＝px，則﹣m2﹣4＝p（m+1），得p＝；設直線BC的表達式為y＝qx+r，則，得，由BC∥AO得﹣2m＝，即可求得符合題意的m值為﹣1+．【解答】解：（1）①∵點B（0，1）在拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3上，∴2m﹣3＝1，解得m＝2，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣6x+1，∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，點A是該拋物線的頂點，∴A（3，﹣8）；∵點C（2，n）在拋物線y＝x2﹣6x+1上，∴n＝22﹣6×2+1＝﹣7．②如圖1，∵四邊形DCAA1為平行四邊形，∴DC∥AA1，DC＝AA1，∵將拋物線向上平移，∴AA1⊥x軸，∴DC⊥x軸，∵C（2，﹣7），∴AA1＝DC＝7，∴拋物線y＝（x﹣3）2﹣8向上平移7個單位，∵﹣8+7＝﹣1，∴平移后新拋物線的表達式為y＝（x﹣3）2﹣1．（2）如圖2，拋物線y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，當x＝0時，y＝2m﹣3；當x＝2時，y＝﹣2m﹣3，∴B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3）；∵y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3＝（x﹣m﹣1）2﹣m2﹣4，∴A（m+1，﹣m2﹣4），設直線AC的表達式為y＝sx+t，則，∴，∴y＝（1﹣m）x﹣5，當x＝0時，y＝﹣5，∴E（0，﹣5）；設直線OA的表達式為y＝px，則﹣m2﹣4＝p（m+1），∴p＝；直線BC的表達式為y＝qx+r，則，∴，∵BC∥OA，∴q＝p，∴﹣2m＝，解得m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣，當m＝﹣1+時，則2m﹣3＝2（﹣1+）﹣3＝﹣5+2，∴B（0，﹣5+2）在線段OE上；當m＝﹣1﹣時，則2m﹣3＝2（﹣1﹣）﹣3＝﹣5﹣2，∴B（0，﹣5﹣2）不在線段OE上，∴m2＝﹣1﹣不符合題意，舍去，∴m的值為﹣1+．【點評】此題重點考查二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、用待定系數法求函數表達式、平行四邊形的判定與性質、一元二次方程的解法等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．37．（2023?崇明區(qū)二模）如圖．在直角坐標平面xOy中，直線y＝﹣x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A、B兩點，點D是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）拋物線與x軸的另一個交點為C，點在拋物線對稱軸左側的圖象上，將拋物線向上平移m個單位（m＞0），使點M落在△ABC內，求m的取值范圍；（3）對稱軸與直線AB交于點E，P是線段AB上的一個動點（P不與E重合），過P作y軸的平行線交原拋物線于點Q，當PE＝QD時，求點Q的坐標．【分析】（1）由直線y＝﹣x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點，求得A（5，0），B（0，5），再將A（5，0），B（0，5）代入y＝x2+bx+c，列方程組并且解該方程組，即可求得拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5，再將該解析式配方成頂點式，可求得拋物線的頂點D的坐標是（3，﹣4）；（2）拋物線的對稱軸為直線x＝3，則a＜3，將（a，﹣）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣＝a2﹣6a+5，求得符合題意的a值為，則M（，﹣），過點M作MF⊥x軸于點F，交AB于點G，則F（，0），直線y＝﹣x+5，當x＝時，y＝，則G（，），由拋物線向上平移m個單位，點M落在△ABC內，得0＜﹣+m＜，即可求得m的取值范圍是得＜m＜；（3）作PH⊥DE于點H，QL⊥DE于點L，可求得E（3，2），則DE＝2+4＝6，設Q（x，x2﹣6x+5），則P（x，﹣x+5），所以PQ＝﹣x2+5x，當點P在直線DE的左側，可證明Rt△PHE≌Rt△QLD，得∠PEH＝∠QDL，則PE∥QD，所以四邊形PQDE是平行四邊形，則PQ＝DE＝6，于是得﹣x2+5x＝6，求得符合題意的得x值為2，則Q（2，﹣3）；當點P在直線DE的右側，可證明∠HPE＝∠HEP＝45°，則EH＝DL＝PH＝x﹣3，所以PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，于是得﹣x2+5x＝12﹣2x，求得符合題意的x值為4，則Q（4，﹣3）．【解答】解：（1）直線y＝﹣x+5，當x＝0時，y＝5；當y＝0時，則0＝﹣x+5，解得x＝5，∴A（5，0），B（0，5），∵拋物線y＝x2+bx+c經過A、B兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5；∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴拋物線的頂點D的坐標是（3，﹣4）．（2）∵拋物線的頂點D的坐標是（3，﹣4），∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，∵M（a，﹣）在拋物線對稱軸左側的圖象上，∴a＜3，將（a，﹣）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣＝a2﹣6a+5，解得a1＝，a2＝（不符合題意，舍去），∴M（，﹣），如圖1，過點M作MF⊥x軸于點F，交AB于點G，則F（，0），直線y＝﹣x+5，當x＝時，y＝﹣+5＝，∴G（，），∵點C與點A（5，0）關于直線x＝3對稱，∴C（1，0），∵拋物線向上平移m個單位（m＞0），點M落在△ABC內，∴0＜﹣+m＜，解得＜m＜，∴m的取值范圍是得＜m＜．（3）作PH⊥DE于點H，QL⊥DE于點L，直線y＝﹣x+5，當x＝3時，y＝2，∴E（3，2），∴DE＝2+4＝6，設Q（x，x2﹣6x+5），則P（x，﹣x+5），∴PQ＝﹣x+5﹣（x2﹣6x+5）＝﹣x2+5x，當點P在直線DE的左側，如圖2，∵PQ∥DE，∴PH＝QL，∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），∴∠PEH＝∠QDL，∴PE∥QD，∴四邊形PQDE是平行四邊形，∴PQ＝DE＝6，∴﹣x2+5x＝6，解得x1＝2，x2＝3（不符合題意，舍去），∴Q（2，﹣3）；當點P在直線DE的右側，如圖3，∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，PH＝QL，∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），∴EH＝DL，∵OA＝OB＝5，∠AOB＝90°，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠HEP＝∠OBA＝45°，∴∠HPE＝∠HEP＝45°，∴EH＝DL＝PH＝x﹣3，∴PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，∴﹣x2+5x＝12﹣2x，解得x1＝4，x2＝3（不符合題意，舍去），∴Q（4，﹣3），綜上所述，點Q的坐標為（2，﹣3）或（4，﹣3）．【點評】此題重點考查二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、用待定系數法求函數的解析式、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、一元二次方程的解法等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．38．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣ax2+bx+c與x軸交于點A、B（點A在點B右側），與y軸交于點C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求這條拋物線的表達式及頂點M的坐標；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果點D在這條拋物線的對稱軸上，且∠CAD＝45°，求點D的坐標．【分析】（1）根據與y軸的交點C的坐標（0，﹣3）就可以求出OC的值及c的值，進而求出OA的值及A的坐標，由待定系數法就可以求出b的值而求出解析式及定點坐標；（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為點H，交AC于點N，過點N作NE⊥AM于點E，垂足為點E．在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，就可以求出AM的值，再由待定系數法求出直線AC的解析式，就可以求出點N的坐標，進而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，從而求出AE的值就可以得出結論；（3）如圖2，分類討論，當D點在AC上方時，根據角之間的關系就可以求出∠D1AH＝∠CAM，當D點在AC下方時，∠MAC＝∠AD2M就可以求出點D的坐標．【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），∴OC＝3．y＝x2+bx﹣3．∵OA＝2OC，∴OA＝6．∵a＝＞0，點A在點B右側，拋物線與y軸交點C（0，﹣3）．∴A（6，0）．∴0＝36+6b﹣3，∴b＝﹣1．∴y＝x2﹣x﹣3，∴y＝（x﹣2）2﹣4，∴M（2，﹣4）．答：拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣3，M的坐標為（2，﹣4）；（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為點H，交AC于點N，過點N作NE⊥AM于點E，垂足為點E．∴∠AHM＝∠NEM＝90°．在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，由勾股定理，得AM＝4，∴∠AMH＝∠HAM＝45°．設直線AC的解析式為y＝kx+b，由題意，得，解得：，∴直線AC的表達式為y＝x﹣3．當x＝2時，y＝﹣2，∴N（2，﹣2）．∴MN＝2．∵∠NEM＝90°，∠NME＝45°，∴∠MNE＝∠NME＝45°，∴NE＝ME．在Rt△MNE中，∴NE2+ME2＝NM2，∴ME＝NE＝．∴AE＝AM﹣ME＝3在Rt△AEN中，tan∠MAC＝．答：tan∠MAC＝；（3）如圖2，①當D點在AC上方時，∵∠CAD1＝∠D1AH+∠HAC＝45°，且∠HAM＝∠HAC+∠CAM＝45°，∴∠D1AH＝∠CAM，∴tan∠D1AH＝tan∠MAC＝．∵點D1在拋物線的對稱軸直線x＝2上，∴D1H⊥AH，∴AH＝4．在Rt△AHD1中，D1H＝AH?tan∠D1AH＝4×＝．∴D1（2，）；②當D點在AC下方時，∵∠D2AC＝∠D2AM+∠MAC＝45°，且∠AMH＝∠D2AM+∠AD2M＝45°，∴∠MAC＝∠AD2M．∴tan∠AD2H＝tan∠MAC＝．在Rt△D2AH中，D2H＝．∴D2（2，﹣12）．綜上所述：D1（2，）；D2（2，﹣12）．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式的運用，一次函數的解析式的運用，二次函數的頂點式的運用，等腰直角三角形的性質的運用，三角函數值的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵，靈活運用等腰直角三角形的性質求解是難點．39．（2023?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和B（3，0），與y軸交于點C．拋物線的頂點為點D．（1）求拋物線的表達式，并寫出點D的坐標；（2）將直線BC繞點B順時針旋轉，交y軸于點E．此時旋轉角∠EBC等于∠ABD．①求點E的坐標；②二次函數y＝x2+2bx+b2﹣1的圖象始終有一．部分落在△ECB的內部，求實數b的取值范圍．【分析】（1）用待定系數法可得拋物線的表達式，配成頂點式可得D的坐標；（2）由①∠EBC＝∠ABD，得∠EBO＝∠CBD，根據C（0，﹣3），B（3，0），D（1，﹣4），得tan∠CBD＝＝，即可得＝，OE＝1，故點E的坐標為（0，1）；②將所給的拋物線解析式化為頂點式，可得：y＝（x+b）2﹣1，由于b值不確定，因此該函數的頂點在直線y＝﹣1上左右移動；圖象始終有一部分落在△ECB的內部可考慮兩種情況：①當對稱軸右側的拋物線經過點E時，求出b的值；②當對稱軸左側的拋物線經過點B時，求出b的值；根據上述兩種情況下b的取值即可求得實數b的取值范圍．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c得：，解得：，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線頂點D坐標為（1，﹣4）；（2）①如圖：∵∠EBC＝∠ABD，∴∠EBO＝∠CBD，在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），D（1，﹣4），∴BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝，∴tan∠EBO＝，∴＝，∵OB＝3，∴OE＝1，∴點E的坐標為（0，1）；②∵y＝x2+2bx+b2﹣1＝（x+b）2﹣1，∴二次函數y＝x2+2bx+b2﹣1圖象的頂點為（﹣b，﹣1），∴二次函數y＝x2+2bx+b2﹣1圖象的頂點在直線y＝﹣1上左右移動，如圖：當對稱軸右側的拋物線過E（0，1）時，b2﹣1＝1，解得：b＝﹣（舍去）或b＝；當對稱軸左側的拋物線過B（3，0）時，（3+b）2﹣1＝0，解得：b＝﹣4或b＝﹣2（舍去），由圖象可得，當﹣4＜b＜時，二次函數y＝x2+2bx+b2﹣1的圖象始終有一部分落在△ECB的內部．【點評】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，旋轉變換，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是數形結合數形的應用．40．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知拋物線經過點B（6，0）和C（0，3），與x軸的另一個交點為點A．（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；（2）將該拋物線向右平移m個單位（m＞0），點C移到點D，點A移到點E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的條件下，設新拋物線的頂點為G，新拋物線在對稱軸右側的部分與x軸交于點F，求點C到直線GF的距離．【分析】（1）用待定系數法可得拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；令y＝0可解得點A的坐標為（﹣2，0）；（2）由平移得AC∥DE，平移距離m＝AE，證明∠CAO＝∠OCE，可得，故，即可得；（3）過點C作CH⊥GF，垂足為點H，過點G作GP⊥x軸，垂足為點P，設直線GF與y軸交于點M，將拋物線y＝﹣x2+x+3向右平移得到新拋物線y＝﹣（x﹣）2+4，得G（，4），P（，0），令y＝0得F（，0），從而PG＝PF，△GPF是等腰直角三角形，可得△MOF是等腰直角三角形，△CMH是等腰直角三角形，可求得CH＝＝，即點C到直線GF的距離是．【解答】解：（1）將B（6，0）、C（0，3）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；令y＝0得0＝﹣x2+x+3，解得：x＝6或x＝﹣2，∴點A的坐標為（﹣2，0）；（2）如圖：由平移得AC∥DE，平移距離m＝AE，∴∠ACE＝∠DEC＝90°，∵∠ACO+∠OCE＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠OCE，∴tan∠CAO＝tan∠OCE，在Rt△ACO中，；在Rt△ECO中，，∴，解得，∴，∴；（3）過點C作CH⊥GF，垂足為點H，過點G作GP⊥x軸，垂足為點P，設直線GF與y軸交于點M，如圖：∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴將拋物線y＝﹣x2+x+3向右平移得到新拋物線y＝﹣（x﹣）2+4，∴G（，4），P（，0），∴PG＝4，在y＝﹣（x﹣）2+4中，令y＝0得x＝或x＝，∴F（，0），∴PF＝4，OF＝，∴PG＝PF，∴△GPF是等腰直角三角形，∴∠GFP＝45°，∴△MOF是等腰直角三角形，∴∠CMH＝45°，OM＝OF＝，∴△CMH是等腰直角三角形，CM＝OF﹣OC＝﹣3＝，∴CH＝＝，∴點C到直線GF的距離是．【點評】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，平移變換，等腰直角三角形的判定與性質，解題的關鍵是作輔助線，構造等腰直角三角形解決問題．【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．拋物線y＝﹣x2+2x﹣4一定經過點（）A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）【分析】分別將各點代入解析式，使解析式成立者即為正確答案．【解答】解：A、將（2，﹣4）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，﹣4＝﹣4+4﹣4，等式成立，故本選項正確；B、將（1，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣1+2﹣4，等式不成立，故本選項錯誤；C、將（﹣4，0）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，0≠﹣16﹣8﹣4，等式不成立，故本選項錯誤；D、將（3，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣9+6﹣4，等式不成立，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，要知道函數圖象上的點的坐標符合函數的解析式．2．在同一坐標系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的圖象，它們的共同特點是（）A．拋物線的開口方向向上 B．都是關于x軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而增大 C．都是關于y軸對稱的拋物線，且y隨x的增大而減小 D．都是關于y軸對稱的拋物線，有公共的頂點【分析】本題的三個拋物線解析式都符合y＝ax2形式，可以從頂點坐標和對稱軸找相同點．【解答】解：因為y＝ax2形式的二次函數對稱軸都是y軸，且頂點都在原點，所以它們的共同特點是：關于y軸對稱的拋物線，有公共的頂點．故選：D．【點評】要掌握y＝ax2形式的二次函數對稱軸都是y軸，且頂點都在原點．3．下列二次函數中，如果圖象能與y軸交于點A（0，1），那么這個函數是（）A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x【分析】根據y軸上點的坐標特征，分別計算出x＝0時四個函數對應的函數值，然后根據函數值是否為1來判斷圖象能否與y軸交于點A（0，1）．【解答】解：當x＝0時，y＝3x2＝0；當x＝0時，y＝3x2+1＝1；當x＝0時，y＝3（x+1）2＝3；當x＝0時，y＝3x2﹣x＝0，所以拋物線y＝3x2+1與y軸交于點（0，1）．故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．4．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，那么a、b、c的取值范圍是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜0【分析】根據二次函數的圖象與性質即可求出答案．【解答】解：由圖象開口可知：a＜0，由圖象與y軸交點可知：c＜0，由對稱軸可知：＜