滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破01相似三角形中的“8”字模型(3種題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破01相似三角形中的“8”字模型（3種題型）【知識(shí)梳理】8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);【考點(diǎn)剖析】題型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解題例1.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若，則 ．例2.如圖，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)．求證：．例3.如圖，在平行四邊形中，的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交 于點(diǎn)．求證：．例4.如圖，點(diǎn)在線段上，和都是等邊三角形． 求證：（1）； （2）．例5.如圖，已知．，，求的長(zhǎng)．（用、的代數(shù)式表示）．例6.如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．例7.如圖，，，，求的值．（2）添加輔助線構(gòu)造“8”字模型解題例8.過(guò)的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E．求證：．AABCDEF例9.如圖，AD是的內(nèi)角平分線．求證：．AABCD題型二：8字-不平行型例10.如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共3小題）1．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，中線AD與中線BE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DE．下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．2．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，點(diǎn)D在△ABC邊AB上，∠ACD＝∠B，點(diǎn)F是△ABC的角平分線AE與CD的交點(diǎn)，且AF＝2EF，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A． B． C． D．3．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，則零件的厚度x為（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm二．填空題（共8小題）4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知點(diǎn)D為△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，BC＝8，則AE的長(zhǎng)為．5．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊CA、BA的延長(zhǎng)線上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，設(shè)＝，試用向量表示向量，＝．6．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，AO：OC＝1：4，設(shè)＝，那么＝．（用含向量的式子表示）7．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊EF于點(diǎn)P．如果點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．8．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果△BCD的面積是△ABD面積的2倍，那么△BOC與△BDC的面積之比是．9．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上且3CF＝CD，EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，則AG：GC＝．10．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖是一個(gè)零件的剖面圖，已知零件的外徑為10cm，為求出它的厚度x，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（AC和BD的長(zhǎng)相等）去測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝，且量得CD的長(zhǎng)是3cm，那么零件的厚度x是cm．11．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）如圖，梯形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果AB＝4，且＝，那么梯形ABCD的中位線等于．三．解答題（共12小題）12．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一點(diǎn)，AE∥CD，AE、BD相交于點(diǎn)F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）聯(lián)結(jié)FC，設(shè)，，那么＝，＝.（用向量、表示）13．（2023?奉賢區(qū)一模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求證：AE?BD＝AD?DC；（2）如果點(diǎn)F在邊DC上，且，求證：EF∥BC．14．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，射線BA、CF相交于點(diǎn)E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，試用、表示向量．15．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：DG?AE＝AB?AG．16．（2022?松江區(qū)二模）已知：如圖，兩個(gè)△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且點(diǎn)A、B、C在一條直線上，聯(lián)結(jié)AE、ED，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）如果BE2＝BF?BD，求證：DF＝BE．17．（2023?寶山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，OB＝OC．（1）求證：AB＝CD；（2）E是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，如果AO2＝OF?OC，求證：四邊形ABED是平行四邊形．18．（2022秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．19．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若＝，求的值．20．（2023?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于E，M是邊DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM，與邊BC交于F，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G．（1）求證：AG2＝GF?GM；（2）聯(lián)結(jié)CG，如果∠BAG＝∠BCG，求證：平行四邊形ABCD是菱形．21．（2021秋?虹口區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E．點(diǎn)F是線段EC上一點(diǎn)，且∠BDF＝∠BAC．（1）求證：EB2＝EF?EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的長(zhǎng)．22．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AD上，CE與BD相交于點(diǎn)H，CE與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的長(zhǎng)．23．（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，點(diǎn)D為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且BD＜AD，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，射線AE與射線CD交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，①求證：∠AFC＝45°；②延長(zhǎng)AF與邊CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，如果△EBG與△BDC相似，求線段BD的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破01相似三角形中的“8”字模型（3種題型）【知識(shí)梳理】8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);【考點(diǎn)剖析】題型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解題例1.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若，則 ．【答案】．【解析】，可知， 由，可知，故．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型．例2.如圖，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)．求證：．【解析】證明：四邊形為平行四邊形，，．根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，則有，．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型，一個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來(lái)進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化．例3.如圖，在平行四邊形中，的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交 于點(diǎn)．求證：．【解析】證明：四邊形為平行四邊形，，．根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，則有：，．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型，一個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來(lái)進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化．例4.如圖，點(diǎn)在線段上，和都是等邊三角形． 求證：（1）； （2）．【解析】證明：（1）和是等邊三角形，．∵點(diǎn)在線段上，．，．（2）同（1）易證得，則有．和是等邊三角形，，，．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型，一個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來(lái)進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化．例5.如圖，已知．，，求的長(zhǎng)．（用、的代數(shù)式表示）．【答案】．【解析】由，則有， 即，得．【總結(jié)】考查相似三角形中“8”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．例6.如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．【答案】．【解析】由，可得，即， 故，由， 可得：．【總結(jié)】考查相似三角形中“8”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．例7.如圖，，，，求的值．【答案】．【解析】由，得：，又， 可得，故．【總結(jié)】考查相似三角形中“8”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．（2）添加輔助線構(gòu)造“8”字模型解題例8.過(guò)的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E．求證：．AABCDEF【解析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．，；是中線，，；．【總結(jié)】題考查三角形一邊的平行線知識(shí)，要學(xué)會(huì)構(gòu)造平行基本模型．例9.如圖，AD是的內(nèi)角平分線．求證：．AABCDM【解析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)． ， 是角平分線 ； ．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線、角平分線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí)．題型二：8字-不平行型例10.如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC【分析】結(jié)合圖形利用8字模型相似三角形證明△EFB∽△DFC，然后利用等角的補(bǔ)角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后證明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例逐一判斷即可．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EFDF∴EF?FC＝DF?FB，故A不符合題意：∵△EFB∽△DFC，∴BECD∴BE?CF＝CD?BF，故B不符合題意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴ABAC∴AB?AE＝AD?AC，故C符合題意；因?yàn)椋篈E，BE，AD，CD組不成三角形，也不存在比例關(guān)系，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共3小題）1．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，中線AD與中線BE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DE．下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．【分析】由AD，BE是△ABC的中線，得到DE是△ABC的中位線，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：AD，BE是△ABC的中線，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，∴S△AGB：S△AEB＝2：3，∵AE＝EC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB＝S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴S△CDE＝S△ABC，∴＝，結(jié)論成立的是＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．2．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，點(diǎn)D在△ABC邊AB上，∠ACD＝∠B，點(diǎn)F是△ABC的角平分線AE與CD的交點(diǎn)，且AF＝2EF，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A． B． C． D．【分析】過(guò)C作CG∥AB交AE延長(zhǎng)線于G，由條件可以證明△ACF≌△GCE（ASA），得到AF＝EG，CF＝CE，由△ADF∽△GCF，再由平行線分線段成比例，即可解決問(wèn)題．【解答】解：過(guò)C作CG∥AB交AE延長(zhǎng)線于G，∴∠G＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠G＝∠CAE，∴CG＝CA，∵∠ACD＝∠B，∠ECG＝∠B，∴∠ACF＝∠ECG，∴△ACF≌△GCE（ASA），∴CF＝CE，AF＝EG，∵AF＝2FE，∴EG＝2FE，令EF＝k，則AF＝EG＝2k，AE＝GF＝3k，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG＝AF：FG＝2k：（3k）＝2：3，∴＝，故A正確．∵AB∥CG，∴CE：BE＝GE：AE＝2k：（3k）＝2：3，∴＝，故B正確．∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，故C正確．∵＝，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的平分線，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造相似三角形．3．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，則零件的厚度x為（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝2，∵CD＝4cm．∴AB＝8cm．∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣8）÷2＝1（cm），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出AB的值．二．填空題（共8小題）4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知點(diǎn)D為△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，BC＝8，則AE的長(zhǎng)為4．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出＝＝，又有BC的值，再由＝＝1，得出AE＝CF，代入即可求解AE的長(zhǎng)．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴＝＝，＝＝1，即AE＝CF，又BC＝8，∴＝AE＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握．5．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊CA、BA的延長(zhǎng)線上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，設(shè)＝，試用向量表示向量，＝﹣．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC＝2：3，可得DA＝CD，即可表示，從而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC＝2：3，∴DA：CA＝DE：BC＝2：3，∵CD＝DA+CA，∴DA＝CD，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和向量的運(yùn)算的解題的關(guān)鍵．6．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，AO：OC＝1：4，設(shè)＝，那么＝．（用含向量的式子表示）【分析】由相似三角形性質(zhì)可得＝4＝4，再根據(jù)梯形中位線定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝＝，∴＝4＝4，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，∴＝（+）＝（+4）＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形中位線定理，平面向量等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊EF于點(diǎn)P．如果點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝﹣1．【分析】先根據(jù)黃金分割的定義可得＝，再利用正方形的性質(zhì)可得：DF∥AE，DF＝AE，從而可得＝，然后證明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（DF＞FC），∴＝＝，∵四邊形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF＝AE，∴＝，∵DC∥AB，∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴＝＝，∵PE＝2，∴PF＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果△BCD的面積是△ABD面積的2倍，那么△BOC與△BDC的面積之比是2：3．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)已知易得DM＝BN，再根據(jù)S△BCD＝2S△ABD，從而可得BC＝2AD，然后再證明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性質(zhì)可得＝＝，從而可得＝，最后根據(jù)△BOC與△BDC的高相等，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵AD∥BC，∴BN＝DM，∵S△BCD＝2S△ABD，∴BC?DM＝2×AD?BN，∴BC＝2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴＝＝，∴＝，∵△BOC與△BDC的高相等，∴＝＝，故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上且3CF＝CD，EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，則AG：GC＝7：2．【分析】如圖，連接DE，交AC于M，過(guò)M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，可以得到AD：EC＝AM：CM＝DM：ME＝3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF＝DM：ME＝3：2＝6：4，最后利用又3CF＝CD即可求解．【解答】解：如圖，連接DE，交AC于M，過(guò)M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC＝AM：CM＝DM：ME＝3：2，∵M(jìn)H∥EF，∴DH：HF＝DM：ME＝3：2＝6：4，又3CF＝CD，∴DF＝2CF，∴CF：HF＝5：4，∴CG：MG＝5：4，∴CG＝CM，MG＝CM，而AM：CM＝3：2，∴AM＝CM，∴AG＝AM+MG＝CM，∴AG：GC＝CM：CM＝7：2．故答案為：7：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)于判定，同時(shí)也利用了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)進(jìn)行比例線段的轉(zhuǎn)換，有一定的難度．10．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖是一個(gè)零件的剖面圖，已知零件的外徑為10cm，為求出它的厚度x，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（AC和BD的長(zhǎng)相等）去測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝，且量得CD的長(zhǎng)是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm．∴AB＝9cm．∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣9）÷2＝0.5（cm），故答案為：0.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出AB的值．11．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）如圖，梯形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果AB＝4，且＝，那么梯形ABCD的中位線等于7．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EC，利用同高的兩個(gè)三角形的面積的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性質(zhì)求出ED、EG，最后利用梯形中位線與上下底的關(guān)系得結(jié)論．【解答】解過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EC，垂足為G∵＝，∴＝．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴＝＝，∴ED＝2，＝．∵AD∥BG，∴＝．∴EG＝6．∵CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，∴BE＝BC．∵BG⊥EC，∴EG＝GC＝6．∴DC＝DG+CG＝4+6＝10．∴梯形ABCD的中位線＝（AB+CD）＝（4+10）＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握等腰三角形的三線合一、等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊的比、梯形的中位線等于上下底的和的一半是解決本題的關(guān)鍵．三．解答題（共12小題）12．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一點(diǎn)，AE∥CD，AE、BD相交于點(diǎn)F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）聯(lián)結(jié)FC，設(shè)，，那么＝，＝.（用向量、表示）【分析】（1）根據(jù)題意可證明四邊形AECD為平行四邊形，得到AE＝CD，則EF：AE＝1：3，EF：AF＝1：2，易證明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由AF＝2EF得，，由三角形法則求出和，再求出，最后利用三角形法則即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE＝CD，∵EF：CD＝1：3，∴EF：AE＝1：3，EF：AF＝1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；（2）聯(lián)結(jié)FC，如圖，由（1）可得AF＝2EF，∵，∴，，∴＝，＝，∵，AD＝EC，∴，∴＝＝，∴＝＝．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平面向量，熟練三角形法則是解題關(guān)鍵．13．（2023?奉賢區(qū)一模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求證：AE?BD＝AD?DC；（2）如果點(diǎn)F在邊DC上，且，求證：EF∥BC．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)證明∠ADB＝∠DBC，然后利用已知條件可以證明△ADE∽△DBC，由此即可解決問(wèn)題；（2）利用（1）的結(jié)論和已知條件可以證明△DEF∽△DBC，接著利用相似三角形的在即可求解．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠EAD＝∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD＝DC：BD，∴AE?BD＝AD?DC；（2）∵AE：AD＝DC：BD，且，∴＝，而∠EDF＝∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF＝∠DBC，∴EF∥BC．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，同時(shí)也利用了平行線的性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)，有一定的綜合性．14．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，射線BA、CF相交于點(diǎn)E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，試用、表示向量．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，易證△AEF∽△DCF，則＝，由DF＝2AF即可求解；（2）先算出，再根據(jù)即可求解．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF＝2AF，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DF＝2AF，∴，∵，，∴，，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平面向量，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．15．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：DG?AE＝AB?AG．【分析】（1）通過(guò)證明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行線的性質(zhì)可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可證△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得＝，且∠DCG＝∠ACB，可證△CDG∽△CAB，可得＝，由平行線分線段成比例可得＝，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AF2＝FG?FE．∴＝，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴＝，∵AE∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴DG?AE＝AB?AG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．16．（2022?松江區(qū)二模）已知：如圖，兩個(gè)△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且點(diǎn)A、B、C在一條直線上，聯(lián)結(jié)AE、ED，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）如果BE2＝BF?BD，求證：DF＝BE．【分析】（1）根據(jù)已知易證△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠DAB＝∠EBC，＝，從而可得AD∥EB，進(jìn)而證明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，即可解答；（2）根據(jù)已知易證△BFE∽△BED，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得∠BEF＝∠BDE，進(jìn)而可得∠DAF＝∠BDE，然后利用（1）的結(jié)論可證△ADF≌△DBE，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】證明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，∴＝，∵∠ADB＝∠BEC，∴△DAB∽△EBC，∴∠DAB＝∠EBC，＝，∴AD∥EB，∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，∴△ADF∽△EBF，∴＝，∴；（2）∵BE2＝BF?BD，∴＝，∵∠DBE＝∠EBF，∴△BFE∽△BED，∴∠BEF＝∠BDE，∵∠DAF＝∠AEB，∴∠DAF＝∠BDE，∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，∴△ADF≌△DBE（ASA），∴DF＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023?寶山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，OB＝OC．（1）求證：AB＝CD；（2）E是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，如果AO2＝OF?OC，求證：四邊形ABED是平行四邊形．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和判定及平行線的性質(zhì)，說(shuō)明△AOB和△DOC全等，利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）先說(shuō)明△AOB∽△FOD，再說(shuō)明AB∥DE，結(jié)合已知由平行四邊形的判定可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC．∴∠DAC＝∠ADB．∴OA＝DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS）．∴AB＝CD．（2）∵AO2＝OF?OC，OA＝OD，OC＝OB，∴AO?OD＝OF?OB，即．∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO＝∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的判定是解決本題的關(guān)鍵．18．（2022秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE；（2）由（1）中的相似可得出AE：DE＝BE：CE，再由∠BEC＝∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，可得△BCD∽△ADE，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB2＝BE?BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE?CD＝BC?ED．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與安定，涉及A字型相似，8字型相似等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)判定是解題關(guān)鍵．19．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若＝，求的值．【分析】（1）利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥CB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用（1）的結(jié)論可得＝＝＝，先AC＝2a，AB＝3a，從而求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的值，再根據(jù)已知設(shè)CD＝m，BD＝3m，從而求出BC，BE的長(zhǎng)，然后證明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性質(zhì)可得EH＝m，再證明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，從而求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEB，∴＝，∴AB2＝AC?AE；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥CB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵△ABC∽△AEB，∴＝＝＝，∴設(shè)AC＝2a，AB＝3a，∴＝，∴AE＝a，∴＝＝，∵BD＝3CD，∴設(shè)CD＝m，則BD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，∴＝，∴EB＝6m，∵EH∥CD，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，∴△ACD∽△AEH，∴＝＝，∴EH＝m，∵EH∥BD，∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，∴△BDF∽△EHF，∴＝＝＝，∴EF＝BE＝m，∴＝＝，∴的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．（2023?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于E，M是邊DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM，與邊BC交于F，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G．（1）求證：AG2＝GF?GM；（2）聯(lián)結(jié)CG，如果∠BAG＝∠BCG，求證：平行四邊形ABCD是菱形．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等”先說(shuō)明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三線合一說(shuō)明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴＝，＝．∴＝．∴AG2＝GF?GM．（2）∵AB∥DM，∴∠BAG＝∠M．∵∠BAG＝∠BCG，∴∠M＝∠BCG．∵∠MGC＝∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴＝，即CG2＝GF?GM．∵AG2＝GF?GM，∴CG2＝AG2．∴CG＝AG．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE＝CE．∴GE⊥AC，即BD⊥AC．∴平行四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．21．（2021秋?虹口區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E．點(diǎn)F是線段EC上一點(diǎn)，且∠BDF＝∠BAC．（1）求證：EB2＝EF?EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的長(zhǎng)．【分析】（1）先由AD∥BC得到△EAD∽△ECB，從而得到，然后由∠BDF＝∠BAC、∠AEB＝∠DEF得證△EAB∽△EDF，進(jìn)而得到，最后得到結(jié)果；（2）先利用條件得到AC、AB的長(zhǎng)，然后利用BC＝2AD得到AD、BD的長(zhǎng)，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得到EB、EC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到EF的長(zhǎng)和FC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵∠BDF＝∠BAC，∠AEB＝∠DEF，∴△EAB∽△EDF，∴，∴，∴EB2＝EF?EC．（2）解：∵BC＝6，sin∠BAC＝＝，BC＝2AD∴AC＝9，AD＝3，∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠BAD＝90°，∴AB＝＝＝3，∴BD＝＝＝3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC＝AC＝×9＝6，EB＝BD＝×3＝2，∵EB2＝EF?EC，即（2）2＝6EF，∴EF＝4，∴FC＝EC﹣EF＝6﹣4＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知“8”字模型相似三角形的判定與性質(zhì)．22．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AD上，CE與BD相交于點(diǎn)H，CE與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)題目的已知并結(jié)合圖形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC＝4DE，∴，∵CE＝10，∴HC＝10﹣EH，∴，∴EH＝2，∵BC＝4DE，DE：AE＝2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE＝∠GBC，∠GEA＝∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE＝10，∴GC＝10+GE，∴，∴GE＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形，熟練掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．23．（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，點(diǎn)D為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且BD＜AD，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，射線AE與射線CD