2024年中考數(shù)學(xué)隱形圓輔助線復(fù)習(xí)講義：四點(diǎn)共圓

微專題1四點(diǎn)共圓

【知識(shí)儲(chǔ)備】

1.圓內(nèi)接四邊形的三條性質(zhì)(性質(zhì)2和性質(zhì)3可互相推導(dǎo))

性質(zhì)1：同弧所對(duì)的圓周角相等；如圖1.

性質(zhì)2:圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；如圖2.

性質(zhì)3：圓內(nèi)接四邊形的每一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角；如圖3.

注：圓內(nèi)接四邊形有很多性質(zhì)，此處只選取最常用的三條性質(zhì).

2.四點(diǎn)共圓的三個(gè)判定

判定1：如果共底邊的兩個(gè)三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，那么這四個(gè)頂點(diǎn)共圓；如圖4.

判定2:如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；如圖5.

判定3:如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；如圖6.

注：四點(diǎn)共圓還有其他判定方法，此處只選取最常用的三種方法.

【例題精講】

【例1】如圖,。0的直徑AB長(zhǎng)為12,長(zhǎng)度為4的弦DF在半圓上滑動(dòng),DELAB于點(diǎn)E,OC±DF于點(diǎn)C,連接

CE,貝!|sin/AEC=.

【分析】如圖1,得C,D,E,O四點(diǎn)共圓，ZAEC=ZODC,易得sinzXFC=sinzODC=歿.

【總結(jié)】由已知可得兩個(gè)直角，即對(duì)角互補(bǔ)，可得四點(diǎn)共圓，然后轉(zhuǎn)化角度計(jì)算即可.

【例2】如圖，直線I］與反比例函數(shù)y=|(?0)的圖象相交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A縱坐標(biāo)與點(diǎn)B橫坐標(biāo)

均為3,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CDLx軸于點(diǎn)D,直線12經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)C.若直線正上存在點(diǎn)P,使得/APB

=NADB,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【分析】法一：如圖1,易得等腰直角△BCD,且I2垂直平分AB,由乙4PB=^ADB?得A,P,D,B四點(diǎn)共圓,

故/APD=90。；設(shè)P（m,m）,由A（l,3）及D（2,0）,得kpA=^,kPD=R，由kPA-kPD=-1,求得m=呼，故

廣TYl—1771.—ZZ

B（竽,*,P2（等等）；

法二：同法一求得NAPD=90。，過(guò)點(diǎn)P作EFLx軸于F,作AELEF于E,得到K型相似；設(shè)P（m,m）,則PF=m,

FD=2-m,PE=3-m,AE=l-m,由"=竺彳導(dǎo)=上三下同法一；

法三：如圖3,易得等腰直角△BCD,12垂直平分AB,且tan“DB=,=2;如圖4,BC=1,AC=2,由圖易知

DD

%=*,即BC=CD心同理在圖3中，。。=45高=卷,PH=5f=等，則令=2-與=萼，求

得A（等，等）由對(duì)稱性可得22（呼，竽）

法四：如圖1,設(shè)0C與AD相交于點(diǎn)M,由C是AB中點(diǎn)且OC〃DB,得M為AD中點(diǎn)，由法一的四點(diǎn)共圓，

可得MP=MD=lAD=手，由必y=居得P］（萼，萼｝「2（警，警）

【總結(jié)】法一法二根據(jù)四點(diǎn)共圓證直角，區(qū)別在于法一利用斜率公式列方程，法二利用K型相似列方程（法一

法二也可以利用“雙蝴蝶相似”替代四點(diǎn)共圓）3去三通過(guò)構(gòu)圖推導(dǎo)了半角的正切值，也可以利用內(nèi)角平分線定理推導(dǎo)；

法四利用了點(diǎn)M是四點(diǎn)共圓的圓心進(jìn)行計(jì)算.

【例3］如圖1,正方形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作/EAF=90。,兩邊分別交直線BC于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)F,G為AE

中點(diǎn)，連接BG.

（1）求證：ZAFD+ZCBG=180°;

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)G作BG的垂線交對(duì)角線AC于點(diǎn)H,求證：GH=GB;

⑶如圖3,連接HF,若（CH=3AH,AD=2“U,求線段HF的長(zhǎng)

【分析】⑴如圖1,可得全等三角形，由G是中點(diǎn)得斜邊中線，故NAFD=/E=NGBE;

(2)法一：如圖2,設(shè)/BAG=a度，貝!]NGAH=45+a,ZEGB=2a,ZAGH=90-2a,在△AGH中彳導(dǎo)NAHG=180-(4

5+a)-(90-2a)=45+a,故GA=GH,又GA=GE=GB,得GH=GB;

法二：如圖3,作BOLAC于0(取AC中點(diǎn)或連接BD交AC于。均可)，得G,B,O,H四點(diǎn)共圓，由GO是中

位線，彳導(dǎo)NHOG=/ACB=45。，故NGBH=45。，彳導(dǎo)GH=GB;

法三：如圖4,過(guò)點(diǎn)G作GQXBE交DB的延長(zhǎng)線于Q,得等腰RtAGOQ,證得△GHO^AGBQ即可；

(3攻口圖5,在圖3的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)H作HM_LCD于M,HNXAB于N.由CH=3AH，得H為OA中點(diǎn),/HBO=/A

BG=ZBAE,得tan4HOB=tan^EAB="=工，故BE=-AB,DF=-DC,MF=—,MH=-AD=三同，故HF=

OB222242

5.

【總結(jié)】⑵問(wèn)中法一學(xué)生可能不太習(xí)慣導(dǎo)角，法二證45度是基于學(xué)生對(duì)4GBH形狀的判斷；(3)問(wèn)中HF的長(zhǎng)

度取決于F的位置,F的位置取決于E的位置或者△ABE的三邊之比，再將之與△BOH關(guān)聯(lián)即可.或者正向思考,

H的位置決定G的位置和E的位置，E的位置決定F的位置，則HF可求

【素養(yǎng)提升】

1.如圖,在等腰RtAABC中2B=90。，AB=BC點(diǎn)D在邊AC上，且CB=CD,在AC上方作DE_LAC且DA=DE,

點(diǎn)F在邊AB上.作NFCG=45。，邊CG交DE于G,點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.當(dāng)AH的最小值為1

時(shí).△ABC的面積為.

【分析】如圖1,得小BFC^ADGC,則△CFG是頂角為45度的等腰三角形，連接CH,得CHLFG,且NFCH

=22.5°;由NFBC=/FHC=90。，得H,F,B,C四點(diǎn)共圓，則/ABH=ZHCF=22.5°,即點(diǎn)H在定直線上運(yùn)動(dòng)；如

圖2所示，當(dāng)AH±HB時(shí)，AH最??；如圖3,可得在圖2中AH:BH=1:(72+1),故BH=y[2+1,AB2=F+

22

(V2+l)=4+2vx故SABC=|/IS=2+V2.

【總結(jié)】由全等得等腰△CFG,三線合一得22.5度和垂直；四點(diǎn)共圓得定角，確定點(diǎn)H軌跡.

2.如圖，AB是。0的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且

ZPFB=3ZCAB.

(1)求證：PC是。0的切線；

(2)延長(zhǎng)AC,DF相交于點(diǎn)G,連接PG,請(qǐng)?zhí)骄縉CPG和/CAB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)若tanzCXB=1,CF=5,求。0的半徑.

【分析】(1)法一：如圖1,連接OC,BC,由/PFB=3/CAB=3/CDB,又/PFB=/CDB+/DCF,故/DCF=2

ZCDB,由垂徑定理，彳導(dǎo)/DCB=NBDC,貝!!/BCF=/BCE=/BDC=/BAC=NACO,由/ACB=90。，彳導(dǎo)/OCP=9

0°,故PC是圓O的切線；

法二：如圖1,連接OC,AD,BC,易得/CBF=/CAD=2/CAB,又由/PFB=3/CAB,可以證得/BCF=/C

AB=ZACO,由/ACB=90。，得/OCP=90。，故PC是圓O的切線；

(2)法一：如圖1,由(1)得/DCB=NBCP=/CAB,且NACB=NGCB=90。，故/ACD=NPCG,/ACP=/DC

G,又/CAB=/CDG,可得△ACP-ADCG,由手拉手模型(瓜豆原理)可得二次相似△ACD-APCG,故/C

PG=ZCAD=2ZCAB;

法二：如圖2,同法一得/ACD=NPCG,又/ACD=NABD=NGBP,故NPCG=/GBP,得C,B,P,G四點(diǎn)共

圓，故NCPG=NCBG=NCAD=2NCAB;

（3）如圖3,作FQ_LCD于Q,由tanzCXB=1,設(shè)CE=a,OE=x,貝！1AE=3a,OA=OC=3a-x,在RtACOE中，由

勾股定理可求得久=久用以COE三邊之比為3：4：5（此比值也可以由二倍角公式或“12345”模型得到），得到△CF

Q三邊之比為3:4:5,又可得△DFQ三邊之比亦為1:3:VTU故，CQ=|CF,FQ=|CF,QDCF,則CD=￡CF=

13,得“=松貝t|。。==孑x-=字

【總結(jié)】（1）問(wèn)法一側(cè)重于圓周角定理和垂徑定理，法二側(cè)重于圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角；（2）問(wèn)法一

著眼點(diǎn)在于手拉手二次相似，法二著眼點(diǎn)在于四點(diǎn)共圓，其中NACD=NPCG是這兩種方法的前置條件；（3）問(wèn)多關(guān)

注三角比向三邊比的轉(zhuǎn)化（“12345”模型是其特殊情況），關(guān)于CF長(zhǎng)度的用法，此處構(gòu)造了“背靠背”的兩個(gè)直角三

角形，根據(jù)其三邊之比計(jì)算即可.

3.如圖，四邊形ABCD是正方形，以DC為邊向外作等邊ADCE,連接AE交BD于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G,點(diǎn)

P是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A,E重合），連接DP,BP.

⑴求/AFB的度數(shù);

⑵在點(diǎn)P從A到E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若DP平分/CDE,求證：AGDP=DGBD;

（3）已知AD=6,在點(diǎn)P從A到E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若ADBP是直角三角形，求DP的長(zhǎng).

AD

【分析】⑴由已知得/ADE=150。，ZDAF=15°,ZADF=45°,故/AFB=60。;

⑵法一:如答圖1,/BDP=NBAP=75。,得A,D,P,B四點(diǎn)共圓,/DAP=/DBP,ZkADGs/^BPD;法二：如答圖2,Z

CAG=ZGDP=30°,得GACGDP,^=AC=BD,得證；

（3）分兩種情況：若/DPB=90。，如答圖3,可得A,B.C,D,P五點(diǎn)共圓，△PCE為等腰直角三角形，故DP=3

V3-3;若/BDP=90。，如答圖4,可得DF=3^2-瓜DP=WDF=3n-3夜,若學(xué)生知曉含15度角直角三角

形三邊之比為1：（2+V3）:（V2+逐），可直接求得答圖3中PD==3V3-3,答圖4中作PQLDE于Q,得

DP3粕一3魚(yú).（過(guò)D作DQ_LEF亦可）

22+y3

【總結(jié)】多觀察正方形，等邊和等腰直角三角形，15度角直角三角形；正方形中等角關(guān)系和垂直關(guān)系多，多觀

察四點(diǎn)共圓；計(jì)算時(shí)多利用三角形三邊之比.

4.如圖1,在4ABC中，AB^AC=20,tanB=|,點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合).以D為頂點(diǎn)

作/ADE=NB,射線DE交AC邊于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AFLAD交射線DE于點(diǎn)F,連接CF.

(1)求證：AABD^>ADCE;

⑵如圖2,當(dāng)DE//AB時(shí)，求AE的長(zhǎng);

(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得DF=CF?若存在，求出此時(shí)BD的長(zhǎng)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

答圖4

【分析】⑴如答圖1,根據(jù)一線三等角，可得/BAD=NCDE,又/B=NECD,得^ABD^ADCE;(2)法一:

如答圖2,由DE〃AB及(1),得NADF=NBAD=NB=NACD,故△BADs/\BCA,可得

BA2=BD-BC,由AB=AC=20且tanB=|,得BC=16x2=32(可以作