2024年中考數學一輪復習提高講義：絕對值方程

絕對值方程

知識梳理

1.概念

絕對值是初中數學最活躍的概念之一，能與數學中許多知識關聯而生成新的問題，我們把絕對值符號中含有

未知數的方程叫作含絕對值符號的方程，簡稱絕對值方程.

2.解絕對值方程的基本方法

一是設法去掉絕對值符號，將絕對值方程轉化為常見的方程求解.

二是數形結合，借助于圖形的直觀性求解.

前者是通法，后者是技巧.

3.基本類型

(1)最簡絕對值方程：形如|ax+b|=c(cNO)是最簡單的絕對值方程，可化為兩'一元一次方程:ax+b=c與ac+b=-c.

⑵含多重或多個絕對值符號的復雜絕對值方程：這類方程常通過分類討論法、絕對值幾何意義轉化為最簡絕

對值方程和一般方程而求解.

典型例題

例1

方程|x+l|+|x-3|=4的整數解有().

A.2個B.3個C.5個D.無窮多個

分析分別討論①隹3,②③爛-1,根據x的范圍去掉絕對值，解出x,綜合三種情況可得出x的最終范圍.

解從三種情況考慮：

第一種:當x>3時，原方程就可化簡為:x+l+x-3=4,解得:x=3;

第二種:當-l<x<3時，原方程就可化簡為:x+l-x+3=4,恒成立；

第三種:當x<-l時，原方程就可化簡為:-x-l+3-x=4.解得:x=-l;

所以x的取值范圍是:-1WXW3,故方程的整數解為共5個.

故選C.

例2

設I等一|y-11>0,||x+2y|>0,求x+y.

分析從絕對值的意義知|等-|y-1120,@+2y|20,兩個非負實數和為零時，這兩個實數必須都為零.

業(yè)—"=0,

解由題設有232……①

-3%+2y=0.

4

-

由式②知X=3

4

代入式①，得竿—|y—'=0.

解之得y=3所以x=4.故有x+y=4-3=l.

例3

解下列方程|5x-2|=3.

分析結合絕對值的意義，分類討論.

解當5x-2>0時，即x>芻得5x-2=3,5x=5,x=l.

因為x=l符合X>|,所以此時方程的解是X=l.

當5x-2=0時，即%=|彳導到矛盾等式0=3,所以此時方程無解.

當5x-2<0時，即x<|得5%—2=—3,%

因為X=Y符合X<|,所以此時方程的解是x=-|.

綜上，方程的解為x=l或x=T

例4

已知a為有理數，關于x的方程||x|-a|=柒三個不相等的解，求a的值.

分析根據絕對值的定義得出國=a±*再根據已知條件列出方程組，即可得出答案.

解因為||%|-a|=/所以|x|=a±點因為原方程有三個不相等的解，

a+-=0a—-=0

2

所以①1>

ad—>0

②I2

解方程①得無解，解方程②得：a=*綜上：當a=［時，原方程有三個不相等的解.

雙基訓練

L方程|3x|=15的解的情況是（）.

A.有一個解，是5B.無解C.有無數個解D.有兩個解，是±5

2.方程萬2x|=3的解是().

A.x=-lB.x=-2C.x=±2D.x=-l,x=2

3.方程\x-k\=:的一個解是x=0,則k=().

A.-B.--C.+-D.0

4414

4.若關于X的方程|岳2|-1|=2有三個整數解,則2的值是().

A.OB.1C.2D.3

5.如果方程|3x卜ax-1=0的根是負數，那么a的取值范圍是().

A.a>3B.a>3C.a<3D.a<3

6.使|a+4|=|a|+4成立的條件是().

A.a為任意數B.a/)C.a<0D.a>0

7.已知方程|3x-2|=5廁x的值是.

8.若|3x-10|與|4x+5|的值相等，則x=.

9.若0<x<5,則滿足條件|x-3|=a的整數a的值共有一個，它們的和是

10.已知關于x的方程mx+2=2(m-x)的解滿足|x-||-1=。，則m的值是

11.關于x的方程|a|x=|a+l|-x的解是0,則a的值是;關于x的方程|a|x=|a+止x的解是x=l,則有理數a的取值

范圍是,

12.已知:|x+3|+|x-2|=5,y=-5x+4廁y的最大值是.

13.解方程.

(1)|2x+3|-|x-l|=4x-3(2)|x-l|=-2x+l

14.已知關于x的方程|x|+|a/5=2x的解為x=4,求a的值.

15.已知|l-a|=l+|a|,求|3-a|.

16.已知(m2-l)x2-(m-l)x+8=0是關于x的一元一次方程，它的解為n,試求關于y的方程m|y|=n的

解.

17.已知:a、b互為相反數,c、d互為倒數,x的絕對值為2,求比+/一cd的值.

X

18.(1)已知|x-6|=2,求x的值；

(2)已知m=2,且|-6|+|y+4m|=0求X2—2xy+y?的值.

19.已知關于x的方程|5久一4|+a=。無解，|4x-3|+b=。有兩個解，|3x-2|+c=0只有一^^解，化簡|

a-c|+|c-b|-|a-b|.

20..閱讀理解：

在解形如3|久-2|=阿-2|+4這一類含有絕對值的方程時，我們可以根據絕對值的意義分x<2和x>2兩種情

況討論：

①當x<2時，原方程可化為-3(%-2)=-(%-2)+4,,解得x=0(符合x<2);

②當x>2時，原方程可化為3(%-2)=(%-2)+4,.解得x=4(符合x>2).

所以原方程的解為：x=0,x=4.

解題回顧：本題中2為x-2的零點，它把數軸上的點所對應的數分成了x<2和x>2兩部分，所以分x<2和x>2

兩種情況討論.

知識遷移：

(1)運用整體思想先求|x-3的值，再去絕對值符號的方法解方程：|x-3|+8=3|x-3|;

知識應用：

⑵運用分類討論先去絕對值符號的方法解類似的方程：|2-x|-3|x+l|=x-9.

提示：本題中有兩個零點，它們把數軸上的點所對應的數分成了幾部分呢？

能力提升

21.絕對值大于3而小于6的所有整數的和是（）.

A.3B.-3C.OD.1

22.已知方程|x|=ax+l有一個負根而沒有正根，則a的取值范圍是（）.

A.a>lB.a<lC.-l<a<lD.a>—1

23.絕對值方程||x-2卜-|x-6||二l的不同實數解共有（）個.

A.2B.4C.lD.0

24.已知x-y=4,|x|+|y|=7,那么x+y的值是（）.

311

A.+-B.+—C.+7D+1

-2-2

25.使方程x-lHx-2|+2|x-3|=c恰好有兩個解的所有實數c為.

26.3.14-K的絕對值是.

27.已知關于x的方程2|x/k=kx-3的解為負數.則k的取值范圍是.

28.若Xi,x2都滿足條件|2x—l|+|2x+3|=4且石<七廁打-冷的取值范圍是.

29.求方程x-|2x+l||=3的不同的解的個數.

30.當a取哪些值時方程|x+2|+|x-l|=a有解?

拓展資源

31.[||%-1|-1|-1|-1|=0是一個含有4重絕對值符號的方程，貝1|（）.

A.0,2,4全是根B.0,2,4全不是根

C.0,2,4不全是根D.0,2,4之外沒有根

32.當a滿足什么條件時，關于x的方程僅-2卜-僅-5|=2有一解？有無數個解?無解?

33.若a>0,b<0,則方程|x-a|+|x-b|=a-b的解是什么?

34.方程m|x|-x-m=0（m>0且n#l）有兩個解,求實數m的取值范圍.

35.有一臺單功能計算器，對任意兩個整數只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整

數xi,只顯示不運算，接著再輸入整數x2后，則顯示卬%2吊-的結果.比如依次輸入1,2,則輸出的

結果是|1-2|=1;此后每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行求差后再取絕對值的運算.

（1）若小明依次輸入3,4,5,則最后輸出的結果是___.

⑵若小明將1到2011這2011個整數隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m,則m

的最大值為—.

⑶若小明將1到>3）這n個正整數隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結果設為nL探究

m的最小值和最大值.

第九講

1.D2.D3.C4.B5.B6.D7.—1或-7/38.—15或,9.3,310.10或|

7

11.—l,a>012.1913.(l)x=-;(2)x=014.a=±9

15.由|l-a|=l+|a|得:aSO.故|3-a|=3-a.

16.由m=-l,x=4得n=-4,代入m|y|=n得y=±4.17.7或-9

18.(l)x=8或x=4,⑵由題意得x=6,y=-8,當x=6,y=-8時，原式=196.

19.由|5x-4|+a=0無解，可得a>0,S|4x-3|+b=0有兩個解，可得b<0,fi|3x-2|+c=0只有一個解，可得c=O,^|a-c|+|c-b|-|

a-b|=O.

2O.(l)x=-l或7;

(2)x=-14ngx=|.

21.C22.D23.A24.C25.c>3或l<c<3

26.7T-3.1427.k>3或k<-228.-2<xx-x2<0

29.x=2或久=-右有兩個解

30.只有當a>3時,原方程有解.

31.A提示:①當x>4時，原方程化為x-4=0,解得x=4;

②當3<x<4時.原方程化為4-x=0,解得x=4,舍去；

③當2<x<3時，原方程化為x-2=0,解得x=2;

④當l<x<2時，原方程化為2-x=0,解得x=2,舍去；

⑤當0<x<l時,原方程化為x=0;

⑥當-lWx<0時，原方程化為x=0,舍去；

⑦當-2Wx<-l時，原方程化為x+2=0,解得x=-2;

⑧當x<-2時，原方程化為-2-x=0,解得x=-2,舍去.

綜上，可知原方程的解為x=4,2Q-2.故選A.

32.①x>5時,x-2-(x-5)=x-2-x+5=3.當a=3時,有無數個解;當a?3時，無論a取何值均無解；

②x<2時,2-x-(5-x)=2-x-5+x=-3,當a=-3時,有無數個解;當a齊3時,無解;

?2<x<5時,x-2-(5-x)=x-2-5+x=2x-7,所以4s2x510,所以4-7<2x-7<10-7gp：-3<2x-7<3.

所以當-3<a<3時，有一解；

當a>3或a<-3時,無解；

當a=±3時，方程有無數個解；

33.①當x>a時，原方程可化為:x-a+x-b=a-b,解得x=a,不符合題意；

②當x<b時,原方程可化為:-x+a-x+b=a-b,解得x=b,不符合題意；

③當b<x<a時，原方程可化為:-x+a+x-b=a-b恒成立，

說明bWxWa是原方程的解.

34.由方程m|x|-x-m=0(m>0且n#l)有兩個解,可知有一正根與一負根當x>0時，解方程得:x=-^―(m)0

Tn—1

且m#l),則m>l;當x<0時，解方程得:x=<。，則m>-l,綜上所述,m>l.

35.(1)根據題意可以得出：|1-引-5|=|1-5|=4;故答案為：4.

(2)2010.

(3)對于任意兩個正整數Xi,X2,|xi-x2|一定不超過Xi和x2中較大的一個，對于任意三個正整數Xi,x2,x3

,1,1--詞定不超過XX,x2和X3中最大的一個,以此類推,設小明輸入的n個數的順序為Xi,x2，…就，則m

=IIl^i-x2\-x3\-----I-xn\,m一定不超過Xi,x2，…,x□中的最大數,所以OWn￡n易知m與l+2+...+n的奇偶

性相同；

1,2,3