2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破訓(xùn)練：實數(shù)及其運算（原卷版+解析）

壓軸熱點考點01實數(shù)及其運算

一、單選題

1.若尤二百，則式子，彳了）的值在（）

（x-2）x-4x+4

A,-0.2和0.4之間B.0.4和1之間C.1和1.6之間D.1.6和2.2之間

2.已知二次函數(shù)%=/-4x+3和%=（尤一1）2—4（尤一1）+3,令x4=k,則下列說法正確的是（）

A.若人＞；,則B.若人＞：,則

C.若左4；,則D.若則一1W%一%4I

3.“引江濟(jì)淮工程”是一項以城鄉(xiāng)供水和發(fā)展江淮航運為主，結(jié)合灌溉補水和改善巢湖及淮河水生態(tài)環(huán)境為

主要任務(wù)的大型跨流域調(diào)水工程.涵蓋安徽省12市和河南省2市，涉及面積約7.06萬平方千米，工程估

算總投資912.71億元.其中912.71億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.912.71xlO8B.9.1271xlO10C.91.271xlO11D.0.91271xlO12

Ix|—x+y=-2

4.若天、y是兩個實數(shù)，且?,則爐V等于（）

[|y|-x-y=l

916c8-9

AA.——B.-----C.——D.-

82798

5.對于整式：％、3%+3、5x-l＞7x+6,在每個式子前添加“+"或"一"號，先求和再求和的絕對值，稱

這種操作為“全絕對”操作，并將絕對值化簡的結(jié)果記為M.例如：卜+3+3）-（5萬-1）-（7尤+6）卜|-&?2|,

當(dāng)xV-工時，Af=-8x-2；當(dāng)xN-工時，M=8x+2,所以M=—8x—2或8x+2.

44

下列相關(guān)說法正確的個數(shù)是：（）

①至少存在一種“全絕對”操作使得操作后化簡的結(jié)果為常數(shù)；

②若一種“全絕對”操作的化簡結(jié)果為M=-2x+H左為常數(shù)），貝LV2；

③所有可能的“全絕對”操作后的式子化簡后有16種不同的結(jié)果，

A.0B.1C.2D.3

6.如圖，A,B是數(shù)軸上的兩點，點E與點A關(guān)于原點。對稱，以為邊作正方形ABCD若點A表示的

數(shù)為1,正方形A3CD面積為7,則3,E兩點之間的距離是（）

DC

>

EOAB

A.77+2B.77-2C.V7+1D.V7-1

1Ap

7.如圖，2。，4瓦以7=彳42,試求不的小數(shù)部分（）.

2AB?

A.0.118B.5/5-03C.Jl.5-0.56D.0.618

8.生活中，我們常用到長方形樣、不同型號的打印紙.基于滿足影?。ǚ糯蠡蚩s小后，需保持形狀不變）

及制作各型號紙張時，既方便又省料等方面的需要，對于紙張規(guī)格，存有一些通用的國際標(biāo)準(zhǔn).其中，把

4紙定義為面積為1平方米，長與寬的比為后：i的紙張；沿4紙兩條長邊中點的連線裁切，就得到兩張

4紙；再沿A紙兩條長邊中點的連線裁切得&紙…依此類推，得A，A4,4等等的紙張（如圖所示）.若

設(shè)A4紙張的寬為九米，則尤應(yīng)為（）

D.正的算術(shù)平方根

交的算術(shù)平方根c.立

16163232

9.若三條長度分別為a,b,C的線段能構(gòu)成三角形，我們就把（。，瓦C）稱為三角數(shù)組，己知（p,%r）是三角

數(shù)組，則下列說法正確的是（）

①（、/?，&，五）一定是三角數(shù)組；②（、/?，&，6）不一定是三角數(shù)組；

③（/，4戶）一定是三角數(shù)組；④不一定是三角數(shù)組；

A.①③B.①④C.②③D.②④

10.若。20,b20,則有（血一痣）220,即已知函數(shù)必=尤+1。＞一1）與函數(shù)

2

y2=（x+l）+4（x>-l）,由上述結(jié)論判斷&的值正確的是（）

%

A.有最小值4B.有最小值20C.有最小值應(yīng)D.有最小值1

二、填空題

11.某數(shù)學(xué)老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：黑板上寫了1到10這10個數(shù)，每次任意擦去兩個數(shù)，

再寫上一個新數(shù)（這兩個數(shù)的和減去一），若干次后，黑板上只剩下一個數(shù)，這個數(shù)是.

12.今年國內(nèi)旅游市場復(fù)蘇按下“加速鍵”，據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測算，預(yù)計2023年，我國國內(nèi)旅游人

數(shù)將達(dá)45.5億人次，同比增長約80%.數(shù)據(jù)45.5億用科學(xué)記數(shù)法表示為.

13.若一個四位自然數(shù)M的千位數(shù)字的平方恰好等于百位數(shù)字、十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，則稱這個四位

數(shù)M為“君和數(shù)”.若“君和數(shù)"M=^W5.（l<a<9,l<^<5,l<c<6,0<J<9）,將“君和數(shù)”M的千位與百

位數(shù)字對調(diào)，十位與個位數(shù)字對調(diào)得到新數(shù)N,規(guī)定G（M）=（"+l）22（a；"c）dT,

若G（M）,P（M）均為整數(shù)，則6+c的值為,M的值為.

14.一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為。的四位正整數(shù)，若干位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字

與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)為“倍和數(shù)”，對于“倍和數(shù)任意去掉一個數(shù)位上的數(shù)字，

得到四個三位數(shù)，這四個三位數(shù)的和記為/（根）.（1）/（6312）=；（2）若“倍和數(shù)”加千位上的數(shù)字

與個位上的數(shù)字之和為8,且外加）+35能被7整除,則所有滿足條件的“倍和數(shù)，，用的最大值與最小值的差

11

為.

15.閱讀下列材料：“為什么正不是有理數(shù)”，完成問題.

證明：假設(shè)”是有理數(shù)，

那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)〃，機，使得次=上，則.

m

“3是2的倍數(shù)，

可設(shè)〃=2/a為正整數(shù)），則1=8戶，

,即4/=4，

?,,

??"〃，〃都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾.

因此假設(shè)不成立，即過不是有理數(shù).

將下列選項依次填入材料中的畫線處，正確的順序是.（填上序號）

①8/=2〃*②〃3=2〃/；③機是2的倍數(shù)；④"是2的倍數(shù).

16.對于實數(shù)。，6,如果滿足。+6=/，那么稱。"互為和等積數(shù)，點（a,6）為和等積點.如：由4+g=4xg,

可知4的和等積數(shù)為g，點為和等積點.已知直線y=叔-3與雙曲線y=4有一個交點是和等積點，

3Ix

則上的值為.

三、解答題

17.

（1）已知。，b是實數(shù),證明：［誓

⑵在RtZVIBC中，ZC=90°,a,b為直角邊，斜邊c=10,則a+b的最大值是

18.(1)計算：V18-

OCO

（2）下面是王亮同學(xué)解方程一二+—=一^的過程，請閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x-2x+2x-4

解：方程兩邊同乘以尤2-4,得

3（x+2）+5（x-2）=8第一步

3x+6+5x-2=8.第二步

2x=8-6+2第三步

x=6第四步

經(jīng)檢驗：x=6是原方程的解.第五步

原方程的解是x=6第六步

任務(wù)一：

①以上求解過程中，第一步的依據(jù)是；

②王亮同學(xué)的求解過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，整個解答過程.

從前一步到后一步的變形共出現(xiàn)處錯誤：

③分式方程檢驗的目的是.

任務(wù)二：請你直接寫出這個方程的正確解.

19.已知：M=A+BxC

⑴若A=(一;1,B=(-3)°,C=J(-3『,求M的值.

（2）若A=（3x-1）,B=-2,C=5x-6,若M的值不小于一10,求尤的取值范圍.

20.(1)溝+2°

1—x3x—6

（2）小婷同學(xué)解分式方程一+三三=2的過程如下，請你認(rèn)真閱讀，并完成任務(wù).

x-55-x

解：方程兩邊同乘（x-5）得

l-x-（3x-6）=2（x-5）.第一步I-3x-6=2x-10.第二步

-6x=-5第三步x=-.第四步檢驗：當(dāng)x=°時，x-5^0.第五步

66

所以X是原方程的解.第六步

任務(wù)：①小婷的解答過程是從第_____步開始出錯的，錯誤的原因是.

②請直接寫出該分式方程的正確解.

壓軸熱點考點01實數(shù)及其運算

一、單選題

1.若x二書,貝U式子（1+2：2x：3）的值在（）

[x-2Jx-4x+4

A.-0.2和0.4之間B.0.4和1之間C.1和1.6之間D.1.6和2.2之間

【答案】A

【分析】先通分、因式分解，然后進(jìn)行除法運算可得化簡結(jié)果，然后對無理數(shù)進(jìn)行估算，然后代入求解即

可.

（l+2x八x+3

［詳解］解：3一1一.T

（尤-2）x-4x+4

=彳+3：:（尤2）2

x-2x+3

—x—2,

：<石<而，BP1.8<75<2.4,

/.-0.2=1.8-2<V5-2<2.4-2=0.4,

故選：A.

【點睛】本題考查分式的化簡求值，無理數(shù)的估算.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

2.已知二次函數(shù)％=X2-4X+3和%=（X—1）2—4（X—1）+3,令*=k,則下列說法正確的是（）

A.若左>；,則%>%B.若左>；,則％<必

C.若左W：，則D.若kw；,則TW%-%41

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出兩個函數(shù)圖象，然后結(jié)合函數(shù)圖象及絕對值的意義依次判斷即可.

【詳解】解：.??丹=--4X+3,

.,.對稱軸為x=2,

2

y2=（x-l）-4（%-l）+3

...相當(dāng)于將為向右平移1個單位長度，對稱軸為x=3,如圖所示：

當(dāng)人>；時，x-|>|,即當(dāng)點橫坐標(biāo)到x=|的距離大于;時，由圖得即x>3或x<2時，

當(dāng)％<2時，當(dāng)x>3時，故A、3選項錯誤，不符合題意;

當(dāng)上弓時,即當(dāng)點橫坐標(biāo)到的距離小于等于;時，由圖得即2GW3時,

由圖得：當(dāng)x=2時，為負(fù)數(shù)，且二者之間距離最大,

,%=°，

%-%=-1，

當(dāng)x=3時，為正數(shù)，且二者之間距離最大,

X=°,%=—1，

二%一%=1，

:時，-1<-y2<1,

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，絕對值的意義，理解題意，采用數(shù)形結(jié)合思想求解是解題關(guān)

鍵.

3.“引江濟(jì)淮工程”是一項以城鄉(xiāng)供水和發(fā)展江淮航運為主，結(jié)合灌溉補水和改善巢湖及淮河水生態(tài)環(huán)境為

主要任務(wù)的大型跨流域調(diào)水工程.涵蓋安徽省12市和河南省2市，涉及面積約7.06萬平方千米，工程估

算總投資912.71億元.其中912.71億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.912.71xlO8B.9.1271xlO10C.91.271xlO11D.0.91271xlO12

【答案】B

【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.把912.71

億還原原數(shù)，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示即可.

【詳解】解：912.71億=91271000000=92271x1010；

故選：B.

[x|-x+y=-2

4.若x、y是兩個實數(shù)，且<則尤、等于（）

[\y\-^-y=i'V

916-89

A.——B.-C.——D.-

82798

【答案】C

【分析】根據(jù)X、y的取值范圍，去絕對值符號并分別討論求得方程組的解，再代入代數(shù)式計算求解即可.

【詳解】解：當(dāng)xNO,>20時，原方程組為：,，，方程組無解；

Ly-x-y=l

?JQ—%+v=-2

當(dāng)尤20,”0時，原方程組為：",,解得x=3,y=-2；

[-y—x-y=1

[~x—x+y=-2

當(dāng)x〈0,yNO時，原方程組為：-,方程組無解；

[y-x-y^1l

[-x—y=-2

當(dāng)尤40,yw。時，原方程組為：.，，方程組無解；

[-y-X—y=1

fx=3

綜上得，原方程組的解為：。,

[y=-2

,二8

???xy/=3-2x（-2）3=-1,

故答案選C.

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，涉及到絕對值計算，根據(jù)未知數(shù)的范圍判斷去絕對值后的符號是

解此題的關(guān)鍵.

5.對于整式：X、3尤+3、5x-l、7x+6,在每個式子前添加“+"或"一"號，先求和再求和的絕對值，稱

這種操作為“全絕對”操作，并將絕對值化簡的結(jié)果記為M.例如：|x+（3x+3）-（5萬-1）-（7尤+6）卜|-8犬-2|,

當(dāng)xV-L時，Af=-8x-2；當(dāng)xN-工時，M=8x+2,所以M=—8%—2或8x+2.

44

下列相關(guān)說法正確的個數(shù)是：（）

①至少存在一種“全絕對”操作使得操作后化簡的結(jié)果為常數(shù)；

②若一種“全絕對”操作的化簡結(jié)果為M=-2元+后（左為常數(shù)），貝i]xV2；

③所有可能的“全絕對”操作后的式子化簡后有16種不同的結(jié)果，

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，找出一種“全絕對”操作使操作后化簡結(jié)果為常數(shù)，即為正確，可判定①.M=-2x+k,

湊“全絕對”操作后得到I2x-4|或|-2x+4],去掉絕對值變成-2x+左的形式求得x的取值范圍，可判定②.利

用排列組合的方法，每一個整式添“+”或“一”所以每一個整式有兩種變化情況，共4個整式，就有

2x2x2x2=16,但是有重復(fù)結(jié)果，可判定③.

【詳解】解：使操作后化簡的結(jié)果為常數(shù)，即使尤的系數(shù)為0,

.?.有|x-(3x+3)-(5x-l)+(7x+6)|=|-3+1+6|=4,

???①正確.

A/=-2x+k,

/.|x+(3x+3)+(5x-1)-(7x+6)|=|2x-4|=

\-x-(3尤+3)-(5x-1)+(7x+6)=|-2x+4\=M2.

■當(dāng)2x-4W0,xV2時必=-2x+4.

M2?當(dāng)一2x+4N0,》42時加2=-2苫+4.符合題意.

.??②正確.

2x2x2x2=16(種)，

而當(dāng)x=0時,|x+(3x+3)+(5尤一1)—(7尤+6)卜|2x—4|=4,

卜x—(3x+3)-(5尤-1)+(7尤+6)=卜2尤+4|=4,結(jié)果相同，

.?.③錯誤.

故選：C.

【點睛】本題以新定義閱讀題為背景考查了絕對值化簡和相反數(shù)定義，考核了學(xué)生對絕對值和相反數(shù)定義

的理解及靈活運用，弄清定義，讀懂題目按照規(guī)律列舉出所有可能結(jié)果解題事半功倍.

6.如圖，A,B是數(shù)軸上的兩點，點E與點A關(guān)于原點。對稱，以為邊作正方形ABCD若點A表示的

數(shù)為1,正方形面積為7,則B,E兩點之間的距離是()

DC

EOAB

A.77+2B.77-2C.幣+1D.V7-1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求出點E表示的數(shù)，求出邊的長，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，

AB=不，

石與點A關(guān)于原點。對稱，點A表示的數(shù)為1,

.?.5點表示的數(shù)為-1,

AE=2,

3E之間的距離為BE=AE+AB=2+y/l.

故選：A.

【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出點E和線段48的長，題目比較簡單.

的小數(shù)部分（）.

A.0.118B.75-0.5C.11.5-0.56D.0.618

【答案】D

【分析】設(shè)AB=2x,然后利用已知條件分別用x表示出4尸、AB,最后代入計算即可解答.

【詳解】解：設(shè)AB=2x,則■BCngABux,

BC1AB

二AC=yjAB2+BC2=顯,

根據(jù)作圖痕跡可得：CD=BC=x,AP=AO=AC_DC=(逐一1)元,

AP(75-1)X75-1

-0.618?

罰--2x-2

故選D.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、無理數(shù)等知識點，分別用x表示出AP、是解答本題的關(guān)鍵.

8.生活中，我們常用到長方形樣、不同型號的打印紙.基于滿足影?。ǚ糯蠡蚩s小后，需保持形狀不變）

及制作各型號紙張時，既方便又省料等方面的需要，對于紙張規(guī)格，存有一些通用的國際標(biāo)準(zhǔn).其中，把

4紙定義為面積為1平方米，長與寬的比為0：i的紙張；沿4紙兩條長邊中點的連線裁切，就得到兩張

4紙；再沿A紙兩條長邊中點的連線裁切得4紙…依此類推，得A，A4,4等等的紙張（如圖所示）.若

設(shè)A,紙張的寬為x米，則x應(yīng)為（）

B.日的算術(shù)平方根C.D.正的算術(shù)平方根

【答案】D

【分析】由4紙張的寬為x米，表示出4紙的寬和長，根據(jù)4紙面積為1平方米求出x的值即可.

【詳解】解：由圖得，當(dāng)4紙張的寬為x米時，4紙的寬為4x米，

?..紙張長與寬的比為0：1，

.??4紙的長為40尤米，

???4紙面積為1平方米，

?*?4A/2X-X=1，

叵

??.X的值為*的算術(shù)平方根.

故選：D.

【點睛】本題考查了平方根的計算，根據(jù)圖形表示出A0的長寬是解題關(guān)鍵.

9.若三條長度分別為a,b,c的線段能構(gòu)成三角形，我們就把m》，c）稱為三角數(shù)組，已知（°,是三角

數(shù)組，則下列說法正確的是（）

③（/，/，/）一定是三角數(shù)組；④（/，/，/）不一定是三角數(shù)組；

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】O<0444r,且J先證明（6+&）2>廠，即可證明/+6>〃，由此即可判斷①②;

根據(jù)（2,3,4）是一個三角數(shù)組，（22,32,42）不是一個三角數(shù)組即可判斷③④.

【詳解】解：：（。,%r）是三角數(shù)組，

???可設(shè),且〃+q>j

0<y[p<y[q<Jrf

,?*(VF+V?)=p+q+2^fpq>p+q>r,

??^p+^q>4r，

.?.(、),而,五)一定是三角數(shù)組，故①正確，②不正確；

?.?(2,3,4)是一個三角數(shù)組，2?+3,<42,

02,32,42)不是一個三角數(shù)組，

.?.當(dāng)(p,q/)是三角數(shù)組時，(P?,/,/)不一定是三角數(shù)組，故③錯誤，④正確；

故選B.

【點睛】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，實數(shù)比較大小，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

10.若b>0,則有(々-GV2。，即已知函數(shù)必=》+l(x>T)與函數(shù)

2

y2=(x+l)+4(x>-l),由上述結(jié)論判斷年的值正確的是()

A.有最小值4B.有最小值2&C.有最小值6D.有最小值1

【答案】A

【分析】化簡年，結(jié)合b>0,則有(而一痣)220,即a+b22疝求解即可得至IJ答案;

【詳解】解：由題意可得，

A=(XW±4=(%+1)+^)

%x+1x+1

Vx>-1,

4

x+1>0,>0,

x+1

4I4~

：.(x+l)+——>2j(x+1)------=4,

x+1vx+1

X

故選：A；

【點睛】本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意中的新定義，化簡

%

二、填空題

11.某數(shù)學(xué)老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：黑板上寫了I到10這10個數(shù)，每次任意擦去兩個數(shù)，

再寫上一個新數(shù)(這兩個數(shù)的和減去一)，若干次后，黑板上只剩下一個數(shù)，這個數(shù)是.

【答案】46

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，操作一次，黑板上的數(shù)減少1個，數(shù)字總和減少1.經(jīng)過10-1=9次

操作，乘U下的一個數(shù)是(1+2+…+10)-9,據(jù)此解答即可.

【詳解】10-1=9(次)

(1+2+...+10)-9

=55—9

=46

答：這個數(shù)是46,

故答案為：46.

12.今年國內(nèi)旅游市場復(fù)蘇按下“加速鍵”，據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測算，預(yù)計2023年，我國國內(nèi)旅游人

數(shù)將達(dá)45.5億人次，同比增長約80%.數(shù)據(jù)45.5億用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】4.55xlO9

【分析】把一個大于10的數(shù)記成axlO”的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)

法叫做科學(xué)記數(shù)法，由此即可得到答案.

【詳解】解：45.5億=4550000000=4.55x109

故答案為：4.55xlO9

【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)，關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的方法.

13.若一個四位自然數(shù)M的千位數(shù)字的平方恰好等于百位數(shù)字、十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，則稱這個四位

數(shù)M為“君和數(shù)”.若“君和數(shù)"M=^Wl.(l<a<9,l</7<5,l<c<6,0<J<9),將“君和數(shù)”M的千位與百

位數(shù)字對調(diào)，十位與個位數(shù)字對調(diào)得到新數(shù)M規(guī)定G(M)=("+'2(a；6+c)―dT,尸(〃)=絲丁，

若G(M),歹(M)均為整數(shù)，則6+c的值為,M的值為.

【答案】73162

【分析】根據(jù)給出的新定義來化簡G(M),即可求出6+c；表示出M、N,從而表示出外M),根據(jù)爪M)

為整數(shù)即可求解.

【詳解】解：由題意可得：a2=b+c+d,

?C((a+1)-2(a+Z?+c)-d-1_q2+2a+l-2a-2b-2c-d-1_-(b+c)

,?()-7-7-7'

Vl<fe<5,l<c<6,G(M)為整數(shù)，

b+c=7；

設(shè)M=1000a+100〃+10c+d,N=1000Z?+100a+10d+c,

???Af+N=1100〃+110b+nc+lld=ll(100〃+100b+c+d),

*.*a2=b+c+d，

+Nll(l°°〃+l0°6+c+d)ld+100a+9%).尸(㈣為整數(shù)，

IJ171717

a=3,b=l,c=6,d=2

???M=1000〃+100b+10c+d=3162；

故答案為：7；3162.

【點睛】本題主要考查整式的計算，通過新定義來推導(dǎo)對應(yīng)的關(guān)系，用。、6、。、1來表示，通過討論求

出最終的解.

14.一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為。的四位正整數(shù)，若千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字

與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)為“倍和數(shù)”，對于“倍和數(shù)”比,任意去掉一個數(shù)位上的數(shù)字，

得到四個三位數(shù)，這四個三位數(shù)的和記為廠(根).(1)/(6312)=；(2)若“倍和數(shù)3"千位上的數(shù)字

與個位上的數(shù)字之和為8,且WM+35能被7整除,則所有滿足條件的“倍和數(shù)，，用的最大值與最小值的差

11

為.

【答案】21874176

【分析】(1)根據(jù)定義，計算即可.

(2)根據(jù)定義，結(jié)合分類思想計算即可.

【詳解】(1)V6312中，

6+2=8=20+3),

二6312是“倍和數(shù)”，

...任意去掉一個數(shù)位上的數(shù)字，得到四個三位數(shù)分別為312,612,632,631,

F(6312)=312+612+632+631=2187；

故答案為：2187.

(2)設(shè)四位數(shù)日為abed，

.”是“倍和數(shù)”,

*.a+d=8=2（Z?+c）,

*.b+c=4,

*.c=4—b,d=8—a,

,?任意去掉一個數(shù)位上的數(shù)字，得到四個三位數(shù)分別為,

?./（機）=100Z7+l（k+d+100Q+10c+d+100a+10h+c+l（X）a+10Z?+d,

,*c—4—b,d=8—a,

.F（m）+35_297a+99/7+143__―“

?-------------------------------------27ci+9b+13,

1111

??各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)，

當(dāng)。=1/=1時，27a+%+13=49,能被7整除，此時a6cd=1137;

當(dāng)a=l,6=2時，27a+9b+13=58,不能被7整除，舍去；

當(dāng)a=1,b=3時，27a+9b+13=67,不能被7整除，舍去；

當(dāng)々=2,〃=1時，27a+9b+13=76,不能被7整除，舍去；

當(dāng)。=2,6=2時，27a+96+13=85,不能被7整除，舍去；

當(dāng)。=2/=3時，27a+9b+13=94,不能被7整除，舍去；

當(dāng)〃=3,8=1時，27a+96+13=103,不能被7整除，舍去；

當(dāng)。=3,Z?=2時，27。+96+13=112,能被7整除，止匕時a6cd=3225;

當(dāng)。=3,6=3時，27a+9Z?+13=121,不能被7整除，舍去；

當(dāng)。=4力=1時，27a+9b+13=130,不能被7整除，舍去；

當(dāng)。=4,6=2時，27a+9b+13=139,不能被7整除,舍去;

當(dāng)。=4力=3時，27a+9b+13=148,不能被7整除，舍去；

當(dāng)a=5,b=1時，27a+9b+13=157,不能被7整除，舍去；

當(dāng)。=5,Z?=2時，27a+9b+13=166,不能被7整除，舍去；

當(dāng)〃=5,b=3時,27。+“+13=175,能被7整除，必（力=5133;

當(dāng)a=6*=1時，27a+9b+13=184,不能被7整除，舍去；

當(dāng)a=6,。=2時,27a+9b+13=193,不能被7整除，舍去；

當(dāng)a=6,b=3時，27a+9b+13=202,不能被7整除,舍去;

當(dāng)a=7,Z?=1時，27a+%+13=211,不能被7整除,舍去；

當(dāng)。=7力=2時，27a+9b+13=220,不能被7整除，舍去；

當(dāng)。=7,6=3時，27a+9&+13=229,不能被7整除，舍去；

故所有滿足條件的“倍和數(shù)”用的最大值與最小值的差為5133-1137=4176,

故答案為：4176.

【點睛】本題考查了實數(shù)的新定義問題，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵.

15.閱讀下列材料：“為什么次不是有理數(shù)”，完成問題.

證明：假設(shè)過是有理數(shù)，

那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)“，加，使得次=2,則.

m

“3是2的倍數(shù)，

可設(shè)”=2r司為正整數(shù)）,則〃3=8戶,

_____________，即機3,

?,,

m,”都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾.

因此假設(shè)不成立，即形不是有理數(shù).

將下列選項依次填入材料中的畫線處，正確的順序是.（填上序號）

①8/=2〃落②"3=2/；③機是2的倍數(shù)；④〃是2的倍數(shù).

【答案】②④①③

【分析】根據(jù)反證法的證明步驟以及立方根的定義補全證明過程即可求解.

【詳解】證明：假設(shè)也是有理數(shù)，

那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)”，加，使得次=',則"=2〃/.

m

是2的倍數(shù)，

，"是2的倍數(shù)，

可設(shè)〃=2ra為正整數(shù)）,則"3=8戶,

33

8?=2m>即4戶=機3,

優(yōu)是2的倍數(shù),

，機，”都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾.

因此假設(shè)不成立，即痣不是有理數(shù).

故答案為：.②④①③

【點睛】本題考查了立方根的定義，反證法，熟練掌握反證法證明方法是解題的關(guān)鍵.

16.對于實數(shù)。"，如果滿足6，那么稱。工互為和等積數(shù)，點（。,6）為和等積點.如：由4+3=4、；

可知4的和等積數(shù)為：，點!4,父為和等積點.已知直線y=4X-3與雙曲線y=4有一個交點是和等積點，

3V3；x

則上的值為.

【答案】:9或1

【分析】設(shè)y=4x-3與雙曲線y=￡的交點（5兀）是和等積點，利用定義得到±+代入一次函

數(shù)得到％=4%-3,進(jìn)而得到4x：-8X1+3=。，求出玉=］3或玉=］1，由兩個函數(shù)圖象的相交得到

4x；-3再=4，代入即可求出及的值.

【詳解】解：設(shè)＞=4x-3與雙曲線y=：的交點（孫yj是和等積點，

?*.玉+X=玉乂，

X=4%-3,

/.%+44-3=%（4%-3）,

4無：_8X［+3=0,即（2毛一3）（2E-1）=0,

解得占=］3或%=］1，

k

?.,4再一3=一,貝1」422_32=左，

x\

,,9.1

..上二二?或一大,

22

91

故答案為：萬或一萬.

【點睛】此題考查了求反比例函數(shù)的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判別式，正確理解題

意得到石+%=工a是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.

（1）已知。，6是實數(shù)，證明：（等，44手.

（2）在Rt^ABC中，ZC=90°,a,8為直角邊，斜邊c=10,則a+b的最大值是.

【答案】（1）見詳解

（2）10夜

【分析】（1）可證-土iywo,即可得證；

(2)可求片+廿=100,由⑴即可求解.

【詳解】(1)證明：(審)一令”

=—a2+—ab+—b2-—a2-—b2,

42422

=--a2+-ab-—b2,

424

=T"b)2,

a+bj一*0,

2

(2)解：由題意得

/+〃2=100,

(a+6j<a2+b2

:.a+b<10^2，

，a+b的最大值為100，

故答案：10后.

【點睛】本題考查了用作差法證明不等式，勾股定理，掌握方法是解題的關(guān)鍵.

18.(1)計算：V18-

OCO

(2)下面是王亮同學(xué)解方程3+-^；="一的過程，請閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x-2x+2x—4

解:方程兩邊同乘以尤2一4,得

3(%+2)+5(無一2)=8第一步

3x+6+5x-2=8.第二步

2x=8-6+2第三步

x=6第四步

經(jīng)檢驗：x=6是原方程的解.第五步

；?原方程的解是x=6第六步

任務(wù)一：

①以上求解過程中，第一步的依據(jù)是；

②王亮同學(xué)的求解過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，整個解答過程.

從前一步到后一步的變形共出現(xiàn)處錯誤：

③分式方程檢驗的目的是.

任務(wù)二：請你直接寫出這個方程的正確解.

【答案】（1）-10

（2）任務(wù)一：①等式的性質(zhì)；②二，3；③判定解是否是增根

3

任務(wù)二：x=-

【分析】（1）先計算乘方與開方，并去絕對符號，再計算加減即可；

（2）先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程求解，然后檢驗即可.

［詳解］解：（1）腿—11（1_亞）°

=3>/2-9-3>/2-1

=—10；

（2）任務(wù)一：①方程兩邊同乘以/-4,得3（x+2）+5（x-2）=8,依據(jù)是等式的性質(zhì);

②第二步，3（尤+2）+5（%—2）=8,漏乘了項，應(yīng)為3x+6+5x-10=8