2024年中考數(shù)學(xué)暑假?gòu)?fù)習(xí)講義：十字模型

十字模型

知識(shí)聚焦

1.正方形中的十字模型

⑴如圖1.在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在CD,AD上,AE與BF交于點(diǎn)G.

結(jié)論1：若AE_LBF,貝！jAE=BF.

結(jié)論2:若AE=BF,則AEXBF.

思路:證明△ABF絲ADAE,可得結(jié)論1,2.

(2)如圖2.在正方形ABCD中.點(diǎn)E,F,G分別在CD,AD,BC上.

結(jié)論3:若AE_LGF,貝!]AE=GF.

圖1圖2

思路:如圖3,考慮過(guò)點(diǎn)F作FH±BC于點(diǎn)H,證明△ADEgAFHG,可得結(jié)論3.

(3攻口圖4,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別在AB,CD,BC,AD上.

結(jié)論4:若EF_LGH,則EF=GH.

思路:如圖5,考慮過(guò)點(diǎn)E作EMXCD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GNXBC于點(diǎn)N,證明△EMF0/\GNH,可得結(jié)論4.

2.矩形中的十字模型

⑴如圖6,在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的點(diǎn).

結(jié)論5:若CELBD,則*=*.

思路:證明△DCE^AADB,可得結(jié)論5.

⑵如圖7,在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在AD,BC上,G,H分別在AB,CD上.

結(jié)論6:若EFLGH,則啜=當(dāng)

思路：如圖8,過(guò)點(diǎn)F,H分別作對(duì)邊的垂線，構(gòu)造EF,GH所在的兩個(gè)三角形相似，可得結(jié)論6.

BFCB

圖7困8

典例精講

例1如圖，在正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，且DF=3AF,連結(jié)EF,點(diǎn)。是EF上一

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作HGLEF,交CD于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,求HG的長(zhǎng).

分析過(guò)點(diǎn)F作FM1BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GN_LAB于點(diǎn)N,證明△MFE會(huì)△NGH,可得HG=EF,在RtAMFE

中，用勾股定理求得EF的長(zhǎng)，即可解答本題.

解答如圖，過(guò)點(diǎn)F作FMXBC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GNXAB于點(diǎn)N,

VHG±EF,FM±GN,

ZMFE=ZNGH.

:四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,即FM=GN.

在4MFE和4NGH中，

2FME=/.GNH,

MF=NG,

.4MFE=NGH,

：.AMFE^ANGH(ASA),

/.HG=EF.

：DF=3AF,

11

/.AF=-AD=-AB=1.

44

YE是BC的中點(diǎn)，

ii

BE=-BC=-AB=2,

22

EM=BE-BM=BE-AF=1.

又：FM=AB=4,

.?.在RtAMFE中，

EF=y/FM2+EM2=V42+l2=V17,

HG=EF=V17.

例2如圖,在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，連結(jié)BF.

已知AD=5,AB=3,求折痕CE的長(zhǎng).

分析證明△ABFs^BCE根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得CE的長(zhǎng).

解答：四邊形ABCD是矩形，

；.BC=AD=5,CD=AB=3.

由折疊的性質(zhì)，可得CF=BC=5,

.?.在RSCDF中,DF=y/CF2-CD2=V52-32=4,

.\AF=AD-DF=5-4=1,

BF=y/AF2+AB2=Vl3+32=V10.

由折疊的性質(zhì)可得BFJ_CE,

ZABF+ZFBC=ZFBC+ZBCE=90°,

ZABF=ZBCE,

/.AABF^ABCE,

._BFnp.3_V10

"BC~CE*5-CE'

)5V10

.?.CE=-----.

3

例3如圖,將正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD上的E點(diǎn),折痕為MN.若CE=3折痕MN的長(zhǎng)為舊,求

正方形ABCD的面積.

分析過(guò)點(diǎn)N作NFXAD于點(diǎn)F,連結(jié)AE,交MN于點(diǎn)H,證明△NFMgZsADE,可得AE=MN,在RtAADE中，用

勾股定理列方程求解即可.

解答如圖，過(guò)點(diǎn)N作NFXAD于點(diǎn)F,連結(jié)AE,交MN于點(diǎn)H,

四邊形ABNF是矩形，且AB=NF=AD.

,/ZD=ZAHM=90°,ZDAE=ZHAM,

/.ZAMN=ZAED.

又AD=NF,ZNFM=ZD=90°,

ANFM△ADE(AAS),

AE=MN=V17.

???AD2+DE2=AE2,§PAD2+{AD-3)2=(V17),

解得AD=4或AD=—1(舍去)，

正方形ABCD的面積為4x4=16.

例4如圖，在Rt△ABC中,/ABC=9(F,BA=BC=3,D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD,過(guò)點(diǎn)B作BEXAD于點(diǎn)E,延

長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F,求BF的長(zhǎng).

分析過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，兩線相交于點(diǎn)M,延長(zhǎng)BF交MC于點(diǎn)G,則四邊形A

BCM為正方形，可證△GBC烏Z^DAB彳導(dǎo)CG=BD=|,在RtABCG中，用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，由△ABF^ACG

F,可求得BF的長(zhǎng)

解答如圖，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，兩線相交于點(diǎn)M,延長(zhǎng)BF交MC于點(diǎn)G.

四邊形ABCM為正方形，

ZABC=ZBCG=90°,

ZABE+ZGBC=90°.

VBE±AD,

???ZABE+ZBAD=90°,

AZGBC=ZDAB.

又TAB二BC,

???AGBC^ADAB(ASA),

ACG=BD.

點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn),BC=3,

13

.?.CG=BD=-BC=

22

BG=VBC2+CG2=—.

2

VAB/7CG,

BFAB3c

—=——=—=2,

FGCG-

ABF=2FG,

BF=-BG=V5.

3

例5如圖，在四邊形ABCD中,NABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,點(diǎn)M,N分別D

在邊BC.AB上，且AMLDN,求黑的值./VxC

分析過(guò)點(diǎn)D作DR〃AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)A作AS〃BC交RD的延長(zhǎng)線/

于點(diǎn)S得到矩形ABRS,過(guò)點(diǎn)D作DE±AB于點(diǎn)E,連結(jié)ACJIEAACD^^ACB得/AD—口，

ANB

C=NABC=90。,設(shè)RC=乂,由4SADsaRDC,可得SD=2x,DR=10-2x,在RtADRC中，用

勾股定理求出x,再根據(jù)△DENsAABM,可得篝的值.

解答如圖，過(guò)點(diǎn)D作DR〃AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)A作AS〃BC交RD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,則四邊形

ABRS是平行四邊形.

ZABC=90°,

???四邊形ABRS是矩形，

AZR=ZS=90°,RS=AB=10,AS=BR.

過(guò)點(diǎn)D作DE±AB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,

VAMXDN,

JZBAM+ZAND=90°.

ZEDN+ZEND=90°,

???ZBAM=ZEDN,

ADEN^AABM,

.DN_DE_BR

''AM-AB-AB"

,:AB=AD,CB=CD,AC=AC,

.,.△ACD^AACB(SSS),

???ZADC=ZABC=90°,

JZRDC+ZSDA=90°.

???ZSAD+ZSDA=90°,

???NSAD=NRDC,

AASAD^ARDC,

AD_SD

"DC-RC

設(shè)RC=x,

.10_SD

,?5一%，

???SD=2x,DR=10-2x.

在RtACRD中,(CD2=DR2+RC2,

2

即5=(10-即尸+必,解得X1=3,必=5(舍去),

???BR=5+x=8,

.DN_BR_8_4

''AM~AB~10~5

回辦綜合提升

1.如圖,BD是矩形ABCD的一條對(duì)角線,EFd_BD交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.若AB=3,BC=4,則EF的長(zhǎng)是（）

A13

A.——B三CD.4

3-T

（第1題圖）（第2題圖）

2.如圖.正方形ABCD點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,AE=BF,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

A.BE=CF

B.ZAEB+ZBFC=180°

C.ZDAE=ZBFC

D.AE±BF

3.如圖矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn)，將矩形沿DE折疊.若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在對(duì)角線AC上，則空的值為

（第3題圖）（第4題圖）

4.如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD上的E點(diǎn),折痕為FG者BG=2cm