北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

北京交大附中2025屆初三年級(jí)開學(xué)練習(xí)（數(shù)學(xué)）2024.09

班建_____________考號(hào)：__________

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.下列各式：?V3,②③西，④庇，⑤疹工I中，最簡二次根式有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.在△地。中，乙4,ZB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,下列條件中可以判斷//=90°的是（）

A.a=3,6=4,c=5B.a=6,b=5,c=4

C.a—2,b=V2,c=V2D.a=1,b=2,c=V3

3.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則直線歹=加+〃的圖象大致是（）

g9

A.-9B.C.-D.9

44

5.表格是某社團(tuán)20名成員的年齡分布統(tǒng)計(jì)表，記錄數(shù)據(jù)的紙張不小心被撕掉了一塊，仍能夠分析得出關(guān)

于這20名成員年齡的統(tǒng)計(jì)量是（）

年齡/歲11121314

人數(shù)56

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

6.如圖，在長為60m，寬為40機(jī)的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（其中有兩條縱向和一條橫向，

橫向與縱向道路互相垂直），把耕地分成六塊作為試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田總面積為2024加2,問道路應(yīng)為多

寬？若設(shè)道路寬為山”，則下列方程正確的是(

A.40X60-40X2A--60x=2024

B.40X60-(40-x)(60-2x)=2024

C.(40-x)(60-2x)=2024

D.40X60-40X2A--60x-2A2=2024

7.如圖1,在&48C中，ZA=9Q°,AB=3,AC=4,尸是邊8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作

于點(diǎn)。，PEL4c于點(diǎn)E,連接如圖2所示的圖象中，貓等:是該圖象的最低點(diǎn).下列四組變

量中，歹與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用圖2所示圖象表示的是（)

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A.點(diǎn)尸與8的距離為x,點(diǎn)P與C的距離為y

C.點(diǎn)尸與D的距離為x,點(diǎn)尸與￡的距離為yD.點(diǎn)尸與8的距離為x,點(diǎn)。與￡的距離為y

8.如圖，點(diǎn)/,B,C在同一條直線上，點(diǎn)3在點(diǎn)4。之間，點(diǎn)。，￡在直線/C同側(cè)，AB<BC,AA

=ZC=90°,AEAB出ABCD,連接DE.設(shè)48=a,BC=b,DE=c,給出下面三個(gè)結(jié)論:

@a+b<c；（2）a+ba2+b2；③&（a+6）>c.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題（共16分，每題2分）

9.式子k。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

10.將直線y=fcc+3向上平移3個(gè)單位長度后經(jīng)過點(diǎn)（1,4）,則后的值是.

11.在口/BCD中，若/4=/8+50°,則的度數(shù)為度.

12.已知x=2是一元二次方程X?-2加x+4=0的一個(gè)解，則根的值為.

13.將拋物線>=2x2向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度后，得到的拋物線的表達(dá)式

為.

14.在一次演講比賽中，甲的演講內(nèi)容90分、演講能力80分、演講效果90分，若按照演講內(nèi)容占50%,

演講能力占40%,演講效果占10%,計(jì)算選手的綜合成績，則該選手的綜合成績?yōu)?/p>

15.如圖，矩形48CD的對(duì)角線NC、8。相交于點(diǎn)。，ZAOB=60AB=2,那么8c的長

是.

16.已知拋物線y=ax2+6x+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）經(jīng)過點(diǎn)（-1,-1）和（0,1）,當(dāng)x=-2時(shí)，與

其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有下列結(jié)論：①融c>0；②關(guān)于x的方程ax2+6x+c+l=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;

③。>2；④若方程ax2+bx+c=0的兩根為xi，X2,則XI+X2<-2.其中正確的有.

三、解答題（共68分，第17、18題每題4分，第19-21題每題6分，第22題5分，第23

題6分，第24題5分，第25、26題每題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、

演算步驟或證明過程.

-1

17.計(jì)算:（2024-7T）0+（^）-1+|V3-2|-V27.

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18.解方程：x2-2x-3=0.

19.在數(shù)學(xué)課上，老師布置任務(wù)：利用尺規(guī)“作以線段為對(duì)角線的正方形”.

小麗的作法如下：

1

①分別以點(diǎn)/、8為圓心，以大于萬48為半徑作弧，兩弧交于￡、/兩點(diǎn)；

②連接昉，與A8交于點(diǎn)。；

③以點(diǎn)。為圓心，ON長為半徑作弧，與直線跖交于C、。兩點(diǎn)；

④分別連接線段NC,BC,BD,DA.所以四邊形。就是所求作的正方形.

根據(jù)小麗的作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；A----------------------B

（2）完成下面的證明.

證明：'：OA=OB,OC=OD,

...四邊形為平行四邊形.（①）（填推理的依據(jù)）

"：OA=OB=OC=OD,BPAB=CD,

...四邊形/D3C為矩形.（②）（填推理的依據(jù)）

?：CD⑶AB,

，四邊形4DBC為正方形.

20.已知關(guān)于x的一元二次方程X?-（m+3）x+2+m=Q.

（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)相，該方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若這個(gè)一元二次方程的一根大于2,求加的取值范圍.

21.

,m的值為

（2）點(diǎn)尸（-3,以）、Q（2,72）在函數(shù)圖象上，yi/（填＜、＞、=）；

（3）當(dāng)夕＜0時(shí)，x的取值范圍是；

（4）關(guān)于x的一元二次方程a/+6x+c=5的解為.

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22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=fcc+6"W0)與y=-日+3的圖象交于點(diǎn)(2,1).

(1)求人,b的值;

(2)當(dāng)x>2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=wx(mW0)的值既大于函數(shù)〉=履+6的值，也大于函數(shù)

y=-fcc+3的值，直接寫出m的取值范圍.

23.如圖，在△NBC中，/C4B=90°,點(diǎn)、D,￡分別是8C,/C的中點(diǎn).連接。E并延長至點(diǎn)尸，使得

EF=DE.連接4F,CF,AD.

(1)求證：四邊形/DC尸是菱形；

(2)連接8巴若N/C3=60°,AF=2,求8尸的長.

24.某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段.

(1)初賽由10名教師評(píng)委和45名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分(百分制).對(duì)評(píng)委給某位選手的打分進(jìn)行

整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

心教師評(píng)委打分：

86889091919191929298

b.學(xué)生評(píng)委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖(數(shù)據(jù)分6組：第1組82Wx<85,第2組85Wx<88,第3組

88WxV91,第4組91WxV94,第5組94Wx<97,第6組97WxW100）：

c.評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

教師評(píng)委9191m

學(xué)生評(píng)委90.8n93

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

?m的值為,n的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第組；

②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為焉貝氏91

(填"=”或“<”)；

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（2）決賽由5名專業(yè)評(píng)委給每位選手打分（百分制）.對(duì)每位選手，計(jì)算5名專業(yè)評(píng)委給其打分的平均

數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前.5名專業(yè)評(píng)委給進(jìn)

入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：

評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5

甲9390929392

乙9192929292

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是,表中后“為整數(shù)）

的值為.

25.電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂可以近似的看成拋物線的形狀.如圖，在一個(gè)斜坡上按

水平距離間隔60米架設(shè)兩個(gè)塔柱，每個(gè)塔柱固定電纜的位置離地面高度為27米（NB=Cr＞=27米），

以過點(diǎn)N的水平線為x軸，水平線與電纜的另一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)。建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.經(jīng)

測(cè)量，/。=40米，斜坡高度12米（即3、。兩點(diǎn)的鉛直高度差）.

結(jié)合上面信息，回答問題：

（1）若以1米為一個(gè)單位長度，則。點(diǎn)坐標(biāo)為,下垂電纜的拋物線表達(dá)式

為;

（2）若電纜下垂的安全高度是13.5米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值不小于13.5米時(shí)，符合安全

要求，否則存在安全隱患.（說明：直線軸分別交直線和拋物線于點(diǎn)X、G.點(diǎn)G距離坡面

的鉛直高度為G〃的長），請(qǐng)判斷上述這種電纜的架設(shè)是否符合安全要求？請(qǐng)說明理由.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Cxi,m）,（X2，n）在拋物線夕=仆2+8+。（a＞0）上，設(shè)拋物線的對(duì)

稱軸為直線》=/.

（1）若對(duì)于X1=1,X2=3,wm=n,求f的值；

（2）若對(duì)于2＜刈＜3,存在機(jī)＞〃，求才的取值范圍.

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27.已知：在正方形/BCD中，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，且連接。￡,過點(diǎn)。作DE的垂線

交直線N5于點(diǎn)尸，連接郎，取斯的中點(diǎn)G,連接CG.

(1)當(dāng)CEC8C時(shí),

①補(bǔ)全圖1;

②求證：AADF出4CDE；

③用等式表示線段CD,CE,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(2)如圖2,當(dāng)C￡〉5C時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段CQ,CE,CG之間的數(shù)量關(guān)系.

AD4D

BCEBCE

圖1圖2

28.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，M為平面內(nèi)一點(diǎn).對(duì)于點(diǎn)P和圖形少給出如下定義：若圖形少上存在點(diǎn)

Q,使得點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)河對(duì)稱，則稱點(diǎn)P為圖形少關(guān)于點(diǎn)M的“中心鏡像對(duì)稱點(diǎn)

(1)如圖1,A(-1,1),B(2,1).

1

①在點(diǎn)Pi(-2,-1),尸2(0,-2),尸3(5，-1),P4(2,-1)中，線段關(guān)于點(diǎn)M(0,0)的

“中心鏡像對(duì)稱點(diǎn)“是；

②若點(diǎn)尸(1,-3)是線段關(guān)于點(diǎn)M(機(jī)，〃)的“中心鏡像對(duì)稱點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)加

的取值范圍；

(2)如圖2,矩形COM中，C(2,-1),￡>(-2,-1),￡(-2,1),F(2,1).若直線y=x+m

上存在矩形關(guān)于點(diǎn)M(%，2)的“中心鏡像對(duì)稱點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出優(yōu)的取值范圍.

11

01

圖1圖2

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北京交大附中2025屆初三年級(jí)開學(xué)練習(xí)（數(shù)學(xué)）2024.09

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

題號(hào)12345678

答案BCDCBCDD

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.Q210.-211.6512.213.y=2(x-3)?+2

14.8615.2V316.①②③

三、解答題（共68分，第17、18題每題4分，第19-21題每題6分，第22題5分，第23

題6分，第24題5分，第25、26題每題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、

演算步驟或證明過程.

17.（2024-7T）°+（I）-1+|V3-2|-V27

=1+3+（2-73）-373

=l+3+2-V3-3V3

=6—4V

18.x2-2x-3=0,

（x-3）（x+1）=0,

'.x-3=0或x+l=0,

??X1=3,X2~~1;

19.（1）解：圖形如圖所示：

（）①對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2B

②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

（3）CDLAB

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20.(1)證明：：關(guān)于x的一元二次方程--(加+3)x+2+s=0,

A=(機(jī)+3)2-4X1X(2+m)=(m+1)2^0,

對(duì)于任意實(shí)數(shù)加，該方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為XI、X2,

.._m+3±(m+l)

?X=2，

??町=加+2,X2~1,

?.?這個(gè)一元二次方程的一根大于2,

m+2＞2,

解得：機(jī)＞0,

：.m的取值范圍加＞0.

21.(1)向上；(1,-4)；5；

(2)＞；

(3)-l＜x＜3；

(4)x=-2或4；

22.(1);直線＞=-履+3點(diǎn)(2,1),

-2左+3=1,

解得k=\,

將點(diǎn)(2,1)代入y=x+6得：2+6=1,

解得b=-1.

(2)"2》1.

23.(1)證明：?.?點(diǎn)E是NC的中點(diǎn)，

：.AE=EC.

'：EF=DE,

...四邊形ADCF是平行四邊形.

在△NBC中，ZCAB=9Q°，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

第2頁(共6頁)

:.AD=BD=DC.

，四邊形NOC尸是菱形；

(2)解：過點(diǎn)尸作尸G，3c交2C的延長線于點(diǎn)G.

?.,四邊形4DC尸是菱形，4cB=60°,AF=2,

：.CF=DC=AF=2,ZACF=ZACD=60°,

/.ZFCG=180°-/ACF-NACD=60°,

ZGFC=90°-ZFCG=30°,

在△。/G中，ZCGF=90°,ZGFC=30°,

1

ACG="F=1,

：.FG=yJCF2-CG2=V3,

'：BD=CD=2.

：.BG=BD+CD+CG=5.

在ABFG中，ZBGF=90°

：.BF=VBG2+GF2=2V7.

24.(1)①91；4；②＜；

(2)甲；92.

_12^2

25.(1)(20,-15),y=Toox+尹;

(2)這種電纜的架設(shè)符合安全要求，理由如下:

由(1)可知：y=^QX2+^x,8(-40,-27),D(20,-15),

設(shè)斜坡3。解析式為y=fcc+6,代入8(-40,-27),D(20,-15),

(-40k+b=-27

可得:l20k+6=-15

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解得：卜=弓

3=-19

1

斜坡BD解析式為y=^x-19,

則電纜與坡面的鉛直度拈，備：-（），（）

IWJG/7=0+―x-19=3^6+#+19=x+10&+18,

1

.二--->0,

100

?,?當(dāng)x=-10時(shí)，GH有最小值為18,G8最小=18>13.5,

???這種電纜的架設(shè)符合安全要求；

26.（1）:?點(diǎn)（打，m）,（X2，H）在拋物線^=辦2+反+。（6Z>0）上，且xi=l,X2=3,m—n,

???￡=^i^=2；

2

（2）???40,

???當(dāng)時(shí)，>隨x的增大而增大；當(dāng)xW時(shí)，歹隨x的增大而減小，

設(shè)拋物線上的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為/（1-1,加z）,B（6加B）,C（2,〃c），D（3,RD）,

??,點(diǎn)/關(guān)于對(duì)稱軸x=l的對(duì)稱點(diǎn)為/'（什1,

??,拋物線開口向上，點(diǎn)5是拋物線頂點(diǎn)，

①當(dāng)tWl時(shí),nc<nD，

???.什1W2.

；?mA<nc，

???不存在別>〃，不符合題意；

②當(dāng)KW2時(shí)，nc<nD,

???2〈汁1W3.

；.mA>nc，

???存在加>力符合題意；

③當(dāng)2VyW3時(shí)，n的最小值為mB,

?二存在加>〃，符合題意；

④當(dāng)3V/V4時(shí)，nD<nc，

：.2<t-1<3,

第4頁（共6頁）

.存在加＞〃