2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)及其表示理

PAGEPAGE2函數(shù)及其表示1．函數(shù)函數(shù)兩個集合A，B設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集對應(yīng)關(guān)系f：A→B假如依據(jù)某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的隨意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)函數(shù)記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A2.函數(shù)的三要素(1)定義域在函數(shù)y＝f

(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域．(2)值域與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f

(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(3)對應(yīng)關(guān)系f：A→B.3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．概念方法微思索1．分段函數(shù)f

(x)的對應(yīng)關(guān)系用兩個式子表示，那么f

(x)是兩個函數(shù)嗎？提示分段函數(shù)是一個函數(shù)．2．請你概括一下求函數(shù)定義域的類型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)指數(shù)式型、對數(shù)式型；(4)三角函數(shù)型．3．請思索以下常見函數(shù)的值域：(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：當(dāng)a>0時，值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；當(dāng)a<0時，值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.1．（2024·北京卷）函數(shù)的定義域是____________．【答案】【解析】由題意得，2．（2024·江蘇卷）函數(shù)的定義域是.【答案】[-1,7]【解析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.由已知得,即，解得，故函數(shù)的定義域為[-1,7].3．（2024·江蘇卷）函數(shù)的定義域為________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函數(shù)有意義，則需，解得，即函數(shù)的定義域為.4．（2024·山東卷）設(shè)函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為,則A．（1,2） B．C．（-2,1） D．[-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故.選D.1．（2024·山東高三其他）已知則（）A．4 B． C．6 D．）【答案】D【解析】【分析】利用分段函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)運算，求得的值.【詳解】因為，所以，而，故，故．故選D【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024·黑龍江綏化?高二期末（理）函數(shù)的定義域為A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]C．[－2，2] D．(－1，2]）【答案】B【解析】x滿意，即.解得－1<x<0或0<x≤，選B3．（2024·黑龍江綏化?高二期末（理）已知函數(shù)，且，則（）A． B． C． D．）【答案】A【解析】試題分析：或4．（2024·四川三臺中學(xué)試驗學(xué)校高二月考（文）若函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．）【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式，分類探討，依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解不等式的解集，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可知，當(dāng)時，令，解得；當(dāng)時，令，即，解得，所以不等式的解集.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，其中解答中依據(jù)函數(shù)的解析式，分類探討和利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類探討思想的應(yīng)用，以及推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.5．（2024·銀川?寧夏高校附屬中學(xué)高二期末（文）設(shè)函數(shù)，則的值為()A． B． C． D．）【答案】A【解析】【分析】【詳解】因為時，所以；又時，，所以故選A.本題考查分段函數(shù)的意義,函數(shù)值的運算.6．（2024·全國高一）函數(shù)的值域為（）.A． B． C． D．）【答案】A【解析】【分析】由，解得．可得函數(shù)的定義域為：．．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可得出值域．【詳解】解：因為由，解得．可得函數(shù)的定義域為：．又．令，則，即在上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為微小值點，又，，．函數(shù)的值域為．故選A．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性極值最值，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024·上海長寧?高三三模）下列函數(shù)中，值域是的函數(shù)是（）A． B． C． D．）【答案】D【解析】【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)的值域以及復(fù)合函數(shù)值域的求法確定選項中函數(shù)的值域，從而得出結(jié)論.【詳解】選項A中，函數(shù)的值域為，故函數(shù)的值域為；選項B中，函數(shù)的值域為，故函數(shù)的值域為；選項C中，函數(shù)的值域為，故函數(shù)的值域為；選項D中，函數(shù)的值域為，故函數(shù)的值域為.故選D.【點睛】本題主要考查利用基本初等函數(shù)的值域求復(fù)合函數(shù)的值域，難度不大.8．（2024·湖南高三三模（文）函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．）【答案】A【解析】【分析】利用換元法，設(shè)，則，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域，可求出，從而可求本題函數(shù)的值域.【詳解】解:設(shè)，則，因為為減函數(shù)，所以，即值域為.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)值域的求解.本題的難點是利用換元法，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求值域.一般地，求函數(shù)的值域時，常結(jié)合函數(shù)的圖像、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式進(jìn)行求解.9．（2024·北京東城?高三一模）下列函數(shù)中，與函數(shù)的定義域和值域都相同的是（）A．， B．C． D．）【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得到定義域和值域，依次推斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知：的定義域為，值域為.對于，定義域為，與不同，錯誤；對于，值域為，與不同，錯誤；對于，定義域為，值域為，與相同，正確；對于，定義域為，與不同，錯誤.故選.【點睛】本題考查函數(shù)定義域和值域的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.10．（2024·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)高考模擬（理）已知函數(shù)（，且）在區(qū)間上的值域為，則（）A． B． C．或 D．或4）【答案】C【解析】【分析】對a進(jìn)行分類探討，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知，.探討：當(dāng)時，，所以，，所以；當(dāng)時，，所以，，所以.綜上，或，故選C.【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題，指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).11．（2024·四川仁壽一中高三其他（文）函數(shù)，則______．）【答案】1【解析】【分析】依據(jù)自變量范圍代入對應(yīng)解析式，即得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，，則；故答案為1．【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.12．（2024·全國高三其他（理）函數(shù)f（x）＝，則f（f（）＝_____．）【答案】﹣1【解析】【分析】先計算出，再計算得值，由此得出結(jié)果.【詳解】依題意得.故答案為：【點睛】本題主要考查分段函數(shù)求值，考查對數(shù)運算，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.13．（2024·四川省遂寧市其次中學(xué)校高三其他（理）已知函數(shù)且，則的值為______．）【答案】3【解析】【分析】將代回原函數(shù)得，再求出即可【詳解】因為，所以，所以．故答案為：3【點睛】本題考查分段函數(shù)求值問題，屬于簡潔題14．（2024·江蘇昆山?高三其他）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值是________.）【答案】4【解析】【分析】探討的取值范圍，分別代入即可求解.【詳解】因為函數(shù)，當(dāng)時，，故無解；故須有：.故答案為：4.【點睛】本題主要考查了已知函數(shù)的值求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.15．（2024·浙江高三其他）已知奇函數(shù)則不等式的解集為________.）【答案】【解析】【分析】依據(jù)是奇函數(shù)確定a的值,利用的解析式,建立關(guān)于x的不等式組,從而解決問題.【詳解】因為是奇函數(shù)且,所以,所以,所以不等式等價于或,所以,所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題主要考查分段函數(shù)及奇函數(shù)的性質(zhì),考查考生的運算求解實力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算.解含函數(shù)的不等式的解法：一是利用的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；二是首先依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式,然后轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式（組）,此時要留意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).16．（2024·浙江柯城?衢州二中高三其他）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)t的取值范圍是__________．）【答案】【解析】【分析】先分類求值域A,再依據(jù)為A的子集求實數(shù)t的取值范圍.【詳解】令，當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，因此值域為為的子集，所以；當(dāng)時，，為的子集，所以；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為為的子集，所以；綜上，故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)值域、利用基本不等式求值域，考查分類探討思想方法以及基本求解實力，屬中檔題.17．（2024·上海高三專題練習(xí)）若函數(shù)（且）的值域是，則實數(shù)的取值范圍是__________．）【答案】【解析】試題分析：由于函數(shù)的值域是，故當(dāng)時，滿意，當(dāng)時，由，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍.考點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的值域.【方法點晴】本題以分段為背景主要考查了對數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)的值域問題，解答時要牢記對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的特別點的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了分類探討的思想方法的應(yīng)用，本題的解答中，當(dāng)時，由，得，即，即可求解實數(shù)的取值范圍.18．（2024·貴州高三其他（理）函數(shù)的值域為____________.）【答案】【解析】【分析】由依據(jù)的范圍先求分母的范圍，可得值域.【詳解】，，，，所以，則.故答案為：【點睛】本題考查求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.19．（2024·上海高三其他）對于函數(shù),其中,若的定義域與值域相同,則非零實數(shù)a的值為______________.）【答案】-4【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域與值域相同，可以求出參數(shù)表示的函數(shù)的定義域與值域，由兩者相同，比較二區(qū)間的端點得出參數(shù)滿意的方程，解方程求參數(shù)即可.【詳解】函數(shù)，其中若，由于，即，∴對于正數(shù)b，的定義域為:，但的值域，故，不合要求.若，對于正數(shù)b，的定義域為.由于此時，故函數(shù)的值域.由題意，有，由于，所以.故答案為：﹣4【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域和值域，意在考查學(xué)生的計算實力.20．（2024·咸陽市教化教學(xué)探討室高三一模（理）假如幾個函數(shù)的定義域相同、值域也相同，但解析式不同，稱這幾個函數(shù)為“同域函數(shù)”.試寫出的一個“同域函數(shù)”的解析式為____________.）【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】由解析式可求得函數(shù)定義域；依據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的值域；依據(jù)“同域函數(shù)”的定義寫出一個符合題意的函數(shù)即可.【詳解】由得：的定義域為又為定義域內(nèi)的增函數(shù)值域為的一個“同域函數(shù)”為，故答案為：，（答案不唯一【點睛】本題考查函數(shù)新定義的問題，關(guān)鍵是能夠明確新定義的含義實際是確定定義域和值域相同的函數(shù)，通過求解函數(shù)的定義域和值域得到所求函數(shù).21．（2024·浙江金華?高三三模）函數(shù)的定義城是____，值域是________．）【答案】【解析】【分析】因為函數(shù)，依據(jù)二次根式下表達(dá)式非負(fù)，即可求得函數(shù)定義域，由，即可求得值域.【詳解】函數(shù)，解得：，故函數(shù)的定義域為．，，故函數(shù)的值域為．故答案為：，【點睛】本題主要考查函數(shù)的定義域與值域，意在考查考生的運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算，解題關(guān)鍵是駕馭函數(shù)的定義域和值域的定義.22