2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5定積分的概念1.5.1曲邊梯形的面積1.5.2汽車行駛的路程1.5.3定積分的概念練習(xí)新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1§1.5.1曲邊梯形的面積§1.5.2汽車行駛的路程§1.5.3定積分的概念[限時(shí)50分鐘，滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0圍成的曲邊梯形的面積S時(shí)，在區(qū)間[a，b]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，分別過這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是①n個(gè)小曲邊梯形的面積和等于S；②n個(gè)小曲邊梯形的面積和小于S；③n個(gè)小曲邊梯形的面積和大于S；④n個(gè)小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定．A．1 B．2C．3 D．4解析依據(jù)“化整為零”、“積零為整”的思想知①是正確的，故選A.答案A2．一物體的運(yùn)動(dòng)速度v＝2t＋1，則其在1秒到2秒的時(shí)間內(nèi)該物體通過的路程為A．4 B．3C．2 D．1解析即求eq\i\in(1,2,)(2t＋1)dt.可由其幾何意義求解．s＝eq\f(（3＋5）×1,2)＝4.答案A3．已知eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝0，則A.eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0 B.eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0C．2eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0 D．2eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＝0解析由定積分的性質(zhì)知eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0.答案B4．已知S1＝eq\i\in(0,1,)xdx，S2＝eq\i\in(0,1,)x2dx，則S1與S2的大小關(guān)系是A．S1＝S2 B．Seq\o\al(2,1)＝Seq\o\al(2,2)C．S1>S2 D．S1<S2解析由定積分的幾何意義知S1＝S△OAB，S2為圖中的陰影部分，故S1>S2.答案C5.eq\i\in(0,a,)eq\r(a2－x2)dx的值為A.eq\f(π,4)a2 B.eq\f(π,2)a2C．πa2 D．－eq\f(π,4)a2解析由定積分的幾何意義易知eq\i\in(0,a,)eq\r(a2－x2)dx為圓x2＋y2＝a2的面積的eq\f(1,4)，故選A.答案A6．直線x＝1，x＝－1，y＝0及曲線y＝x3＋sinx圍成的平面圖形的面積可表示為A．2eq\i\in(－1,1,)(x3＋sinx)dx B．2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dxC.eq\i\in(－1,0,)(x3＋sinx)dx D.eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx解析因函數(shù)y＝x3＋sinx是奇函數(shù)，則由定積分的幾何意義可知，S＝2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx.故選B.答案B二、填空題(每小題5分，共15分)7．若eq\i\in(0,a,)xdx＝1，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析由定積分的幾何意義知：eq\i\in(0,a,)xdx＝eq\f(1,2)×a×a＝1(a＞0)，則有a＝eq\r(2).答案eq\r(2)8．曲線y＝eq\f(1,x)與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形面積用定積分可表示為________．解析如圖所示，陰影部分的面積可表示為eq\i\in(1,2,)xdx－eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx.答案eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx9．若＝1，則由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x軸圍成的圖形的面積為________．解析由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的圖象與x軸圍成的圖形的面積等于g(x)＝cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的圖象與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積的2倍，所以S＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2.答案2三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)利用定積分的定義計(jì)算eq\i\in(1,2,)(－x2＋2x)dx的值，并從幾何意義上說明這個(gè)值表示什么．解析令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在區(qū)間[1，2]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[1，2]等分為n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1，2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和取ξi＝1＋eq\f(i,n)(i＝1，2，…，n)，則Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))·Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))\s\up12(2)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))))·eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n3)[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋eq\f(2,n2)[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]＝－eq\f(1,n3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n（2n＋1）（4n＋1）,6)－\f(n（n＋1）（2n＋1）,6)))＋eq\f(2,n2)·eq\f(n（n＋1＋2n）,2)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋eq\f(1,n).(3)取極限eq\i\in(1,2,)(－x2＋2x)dx＝Sn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋\f(1,6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋\f(1,n)))＝eq\f(2,3)，eq\i\in(1,2,)(－x2＋2x)dx＝eq\f(2,3)的幾何意義為由直線x＝1，x＝2，y＝0與曲線f(x)＝－x2＋2x所圍成的曲邊梯形的面積．11．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[－2，2），,2x，[2，π），,cosx，[π，2π]，))求eq\i\in(－2,2π,)f(x)dx的值．解析由定積分的幾何意義知eq\i\in(－2,2,)x3dx＝0，eq\i\in(2,π,)2xdx＝eq\f(（2π＋4）（π－2）,2)＝π2－4，eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝0.由定積分的性質(zhì)得eq\i\in(－2,2π,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,2,)x3dx＋eq\i\in(2,π,)2xdx＋eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝π2－4.12．(13分)利用定積分的幾何意義計(jì)算下列定積分．(1)eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx；(2)eq\i\in(0,3,)eq\r(（2－x）2)dx.解析(1)如圖所示，陰影部分的面積為eq\f(（2＋5）×1,2)＝eq\f(7,2)，從而eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx＝eq\f(7,2).(2)原式＝eq\i\in(0,3,)|2－x|