
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文檔簡(jiǎn)介
第八章以幾何為背景的代幾綜合題復(fù)習(xí)講義
在幾何圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)、面運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致線(xiàn)段長(zhǎng)度、圖形面積發(fā)生變化,在圖形的變化過(guò)程中,求兩條線(xiàn)系或求面
積與線(xiàn)段之間的函數(shù)關(guān)系是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題.解決幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題的主要思想是"化動(dòng)為靜態(tài)問(wèn)題中圖形面積與函
數(shù)關(guān)系式問(wèn)題,通常需要兩條或兩條以上相關(guān)線(xiàn)段,如三角形或平行四邊形的底長(zhǎng)和寬等,首先根據(jù)題意,用題干
中的已知量設(shè)出自變量(時(shí)間或線(xiàn)段長(zhǎng)).
8.1和線(xiàn)段有關(guān)的函數(shù)關(guān)系題
解題策略
動(dòng)點(diǎn)在圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,產(chǎn)生兩條線(xiàn)段間的函數(shù)關(guān)系,常見(jiàn)的情況主要有以下幾種情況,①勾股定理關(guān)系;②
比例關(guān)系;③線(xiàn)段的和差關(guān)系,其中勾股定理關(guān)系和比例關(guān)系這兩類(lèi)題目比較常見(jiàn).
精選例題
例1.如圖,在等腰三角形ABC中,NBAC=12(T,AB=AC=2,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),在AC
上取一點(diǎn)E,使NADE=30°.
(1)求證:AABD-ADCE;
⑵設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)AADE是等腰三角形時(shí),求AE的長(zhǎng).
(1)由等腰三角形的性質(zhì)和NADE=30°,發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)一線(xiàn)三等角相似模型,不難證明:AABD-ADCE;
⑵如圖AE=AC-CE,即y=2-CE根據(jù)等腰三角形可求出BC的長(zhǎng)度,CD=BC-BD=BC-x,只要借助⑴中的相似
可以導(dǎo)出CE與x的關(guān)系式,代入y=2-CE即可;
(3)MDE是等腰三角形,但是沒(méi)有確定哪兩條邊相等,所以需要分類(lèi)討論.討論時(shí)可借助(2)中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行
解答.
解證明:(1)."ABC是等腰三角形,且NBAC=120°,
.?.zABD=zACB=30°.
.-.zABD=zADE=30°.
?.zADC=zADE+zEDC=zABD+zDAB,
.■.zEDC=zDAB.
.“ABDSADCE;
(2)如答圖L;AB=AC=2/BAC=120。,過(guò)A作AF^BC于點(diǎn)F.A
.-.zAFB=90o.
.AB=2,NABF=30°,
1
AF=-AB=1.
2答圖1
???BF=V3.
???BC=2BF=2V3.
貝!IDC=2V3-x,EC=2-y.
-.△ABD'-ADCE,
AB_DC2_2V3-X
''BD~CE"''x~2-y'
化簡(jiǎn)得:y=|x2-V3x+2(0<x<2V3);
(3)當(dāng)AD=DE時(shí),(一線(xiàn)三等角全等模型)
如答圖2,由⑴可知:此時(shí)3BD當(dāng)DCE,
則AB=CD,即2=2V3—x,
%=2V3-2,代入y=1%2-V3x+2,
解得:y=4-2遮,即AE=4-2V3;
當(dāng)AE=ED時(shí),如答圖3,NEAD=NEDA=30°ZAED=120:
..NDEC=60°/EDC=90°,
則ED=|EC,即y=|(2-y),
解得:y=I,即AE=|;
當(dāng)AD=AE時(shí),
zAED=zEDA=30°,zEAD=120°,
此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,不符合題意,此情況不存在,
,當(dāng)AADE是等腰三角形時(shí),AE=4-2舊或|.
精選練習(xí)
1.如圖所示梯形ABCD中,=9014。=15,48=16,BC=12,點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)F是射
線(xiàn)CD上一點(diǎn),射線(xiàn)ED和射線(xiàn)AF交于點(diǎn)G,且ZAGE=NDAB;
(1)求線(xiàn)段CD的長(zhǎng);
(2)如果3EG是以EG為腰的等腰三角形,求線(xiàn)段AE的長(zhǎng);
⑶如果點(diǎn)F在邊CD上(不與點(diǎn)C、D重合),設(shè).力E=居DF=%,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出x的取
值范圍;
2.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E、M分別是線(xiàn)段BD、AD上的動(dòng)點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng),交邊BC于點(diǎn)F,過(guò)
點(diǎn)M作MN12F,垂足為點(diǎn)H,交邊AB于點(diǎn)N.
(1)如圖L若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合,求證:.4F=MN;
(2)如圖2,若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)以1CM/S的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以asi/s的
速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
①設(shè)BF=ycni,,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)BN=24N時(shí),連接FN,求FN的長(zhǎng).
圖1圖2
8.2與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系題
解題策略
一、計(jì)算策略
1.規(guī)則圖形的面積常用公式;
2.不規(guī)則圖形的面積通過(guò)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算;
3.同高(或同底)的三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊(或高)的邊;
4.相似三角形的面積比等于相似比的平方;
5才艮據(jù)所求的面積函數(shù)關(guān)系式結(jié)合已知條件和函數(shù)圖象性質(zhì)求出面積最大值及自變量的值.
二、三角形面積思維策略
對(duì)于點(diǎn)動(dòng)和線(xiàn)動(dòng)中的三角形面積問(wèn)題,主要是適當(dāng)選取三角形的底邊及對(duì)應(yīng)的高:
1.若三角形的底邊在固定的或平行于題中固定的線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng),直接用三角形面積公式得到自變量(時(shí)間或線(xiàn)段長(zhǎng))
關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式(注意自變量的取值范圍),若運(yùn)動(dòng)方向沒(méi)有明確給出,則需要考慮分類(lèi)討論;
2.若所給三角形三邊均沒(méi)有在固定的或平行于題中固定的線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)(常常問(wèn)題中已經(jīng)給出),將三角形分成兩
個(gè)小三角形,再進(jìn)行計(jì)算;若所求三角形正好可以填補(bǔ)成一個(gè)特殊四邊形,可運(yùn)用這個(gè)四邊形的面積減去其他各部
分的面積來(lái)計(jì)算;
三、重合面積思維策略
對(duì)于兩個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)(平移或旋轉(zhuǎn))中重合部分的面積計(jì)算,需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況分段討論,并根據(jù)運(yùn)動(dòng)的情況選擇
是直接用面積(三角形或四邊形)公式求解還是利用面積的和差來(lái)求解;
精選例題
例1在矩形ABCD中,連結(jié)AC,點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著B(niǎo)-A-C的路徑運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間
為t(秒).過(guò)點(diǎn)E作EF1.BC于點(diǎn)F,在矩形ABCD的內(nèi)部作正方形EF-GH.
(1)如圖,當(dāng)AB=BC=8時(shí),
①若點(diǎn)H在"ABC的內(nèi)部,連結(jié)AH、CH,求證:AH=CH-,
②當(dāng)0<G8時(shí),設(shè)正方形EFGH與△ABC的重疊部分面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
⑵當(dāng)AB=6,BC=8時(shí),若直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分,求t的值
Q)①如圖1中,證明△AEH=△CGH(S4S))即可解決問(wèn)題;
②分兩種情形分別求解:如答圖1中,當(dāng)(0<tW4時(shí),重疊部分是正方形EFGH.如答圖2中,當(dāng)4<tW8
時(shí),重疊部分是五邊形EFGMN;
⑵分三種情形分別求解:①如答圖3中,延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)M,當(dāng)BM=CM=4時(shí),直線(xiàn)AH將矩形A
BCD的面積分成1:3兩部分.②如答圖4中,延長(zhǎng)AH交CD于點(diǎn)M交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)1<,當(dāng)(CM=DM=3時(shí),
直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分.③如答圖5中,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí),延長(zhǎng)AH交CD于M,
交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于1\1.當(dāng)(CM=DM時(shí)直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分.
解(1)①如答圖1中,
..四邊形EFGH是正方形,AB=BC,
..BE=BG,AE=CG/BEH=NBGH=90°.
.-.zAEH=zCGH=90o.
?.EH=HG,
."AE也ACGH(SAS).
.-.AH=CH;
②如答圖1中,當(dāng)0<t<4時(shí),重疊部分是正方形EFGH,S=t2.
如答圖2中,當(dāng)4<t<8時(shí),重疊部分是五邊形EFGMN,
S=SABC~SAEN—Sa”=|x8x8—2x|(8—t)2=—t2+16t—32.
t2(0<t<4),
綜上所述S=
-t2+16t-32(4<t<8);
(2)如答圖3中,延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)M,當(dāng)BM=CM=4時(shí)直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面
積分成1:3兩部分.
???EHBM,,
ABBM
.6-t_t
,,——■
64
,12
答圖3
如答圖4中,延長(zhǎng)AH交CD于點(diǎn)M交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)1<,當(dāng)(CM=DM=3時(shí),直
線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分,易證AD=CK=8,
.EHllBK,
tAE_EH
"AB-BK
6—tt
,,—■
616
48
?"=五;
如答圖5中,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí),延長(zhǎng)AH交CD于點(diǎn)M,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于聾火當(dāng)(CM=DM時(shí),直
線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分,易證AD=CN=8.
在RbABC中,.AC=V62+82=10,
?/EFllAB,
CE_EF
??CA-AB'
16-tEF
■■■-=T
■2
??.EF=|(16-t).
vEHllCNf
.EH_AE
??CN-AC
凱匯=解得t=
8107
綜上所述,滿(mǎn)足條件的t的值為3s或親或梟.
例2.在平面直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)B在y軸的正半軸上,
NABO=30°,矩形CODE的頂點(diǎn)D,E,C分別在OA,AB,OB±,0D=2.
(1)如圖①,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)將矩形CODE沿x軸向左平移,得到矩形CODE:,點(diǎn)C,O,D,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C',O',D',E'.設(shè)00'=t,矩形
CODE'與AABO重疊部分的面積為S.
①如圖②,當(dāng)矩形晨。力'/與人人80重疊部分為五邊形時(shí),CF;D,E分別與AB相交于點(diǎn)M,F,試用含有
t的式子表示S,并直接寫(xiě)出t的范圍;
⑴由點(diǎn)A(6,0),OD=2/ABO=30°,DE為RfADE的直角邊,結(jié)合銳角三角形函數(shù),即可求出DE的長(zhǎng),從而得
到點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)①當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)(五邊形(。心午^0.5=$”,““”-&*,矩形CODE的面積固定,故只需求出△
ME'F的面積即可,所以關(guān)鍵是用t表示出ME:E,F的邊長(zhǎng);
②由于重疊部分可能是五邊形、四邊形或三角形,要確定何時(shí)滿(mǎn)足S的取值范圍,需要在不同重疊圖形內(nèi)分
別驗(yàn)證S=b或S=5百是否滿(mǎn)足條件,進(jìn)而確定t的范圍.
解(D由點(diǎn)A(6,0),的0A=6,又OD=2,..AD=OA-OD=4.
在矢巨形CODE中,有DEllCO彳導(dǎo)NAED=NABO=30°,
二在RbAED中,AE=2AD=8.
,由勾股定理得:ED=AE-AD=4百,有C0=4V3.
二點(diǎn)E的坐標(biāo)為((2,4v司;
(II)①由平移可知,O'D'=2,E'D'=4V3,ME'=OO'=t.
由E'DEB。,得NE'FM=NABO=30°,
在RtAMFE'中,MF=2ME'=2t,
,由勾股定理得FE'=JMF2-ME'=V3t.
S,=-ME-FE=-t-V3t=立華則Si-ciyD,?E'D'=&J3.
MFE222
S=—彳/+8v5,其中t的取值范圍是:0<t<2;
②當(dāng)04t42時(shí),S=-爭(zhēng)2+8次,
:t=0時(shí),Smax=8倔£=2時(shí),Smin=6七.
.'6V3<S<8不在范圍內(nèi).
當(dāng)2<t<4時(shí),S=-2V3t+10V3,
???2V3<S<6V3.
當(dāng)S=5百時(shí),t=I,所以l<t<4,符合條件.
當(dāng)4<t<6時(shí),S=yt2-6V3t+18V3,
0<S<2V3
.,.當(dāng)S=百時(shí),ti=6+V2,t2=6-V2,???4<t<6-V2.
綜上所述:|<t<6-V2.
精選練習(xí)
1.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,點(diǎn)K在AD上,連接BK,過(guò)點(diǎn)A,C作BK的垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn)M,N,點(diǎn)0
是正方形ABCD的中心,連接OMQN.
(1)求證:.AM=BN.
(2)請(qǐng)判定△OMN的形狀,并說(shuō)明理由.
⑶若點(diǎn)K在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)(不包括端點(diǎn)),設(shè)4K=x,AOMN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(寫(xiě)出x
的范圍);若點(diǎn)K在射線(xiàn)AD上運(yùn)動(dòng),目—MN的面積為△OMN,請(qǐng)直接寫(xiě)出AKfe
2.如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,菱形OABC的邊OA在x軸正半軸上,點(diǎn)B,C在第一象限,zC=120°,邊長(zhǎng)OA
=8.點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正半軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N從A出發(fā)沿邊AB-BC-CO以
每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)MP垂直于x軸并交折線(xiàn)OCB于點(diǎn)P,交對(duì)角線(xiàn)OB于點(diǎn)Q,
點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)出發(fā),分別沿各自路線(xiàn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)。時(shí),M和N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
⑴當(dāng)t=2時(shí),求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng);
⑵求t為何值時(shí),點(diǎn)P與N重合;
⑶設(shè)&APN的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.
3.如圖「ABC是等邊三角形,AB=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P
作PQ_LAB,交折線(xiàn)AC-CB于點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形PQD,使點(diǎn)A,D在PQ異側(cè).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)
(0<X<2),APQD與AABC重疊部分圖形的面積為
(DAP的長(zhǎng)為cm(用含x的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí),求x的值
(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.
A
備用圖
4.如圖,在RtAABC中,=9Q°,AC=BC=4m,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以lcm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng),同
時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以acm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)
動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上?
(2)是否存在某一時(shí)刻t,使△4PQ是以PQ為腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)以PC為邊彳主CB方向作正方形CPMN,設(shè)四邊形QNCP的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的邊AB在x軸上,AB、BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程%2-7%+12
=0的兩個(gè)根((BCMB),04=2。B,,邊CD交y軸于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,從點(diǎn)E出發(fā)沿折線(xiàn)
段ED-向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0<t<6)秒,設(shè)△80P與矩形AOED重疊部分的面積為S.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)P,使△BEP為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存
6已知:如圖,在四邊形ABCD和Rt△EBF中,AB\\CD,CD>4B,點(diǎn)C在EB上,NABC=NEBF=90°,AB=
BE-8cm,BC=BF=6czn,延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;同
時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā),沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為lcm/s.過(guò)點(diǎn)P作1于點(diǎn)H,交CD于點(diǎn)G.設(shè)
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<5).
解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)M在線(xiàn)段CQ的垂直平分線(xiàn)上?
(2)連接PQ作QN1AF于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí),求t的值;
(3)連接QGQH,設(shè)四邊形QCGH的面積為5卜6)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)P在.Z4FE的平分線(xiàn)上?若存在,求出t的值;若不存在,
請(qǐng)說(shuō)明理由.
精選練習(xí)
1.解:(1)過(guò)點(diǎn)D作DHLAB,垂足為點(diǎn)H;
在RtADAH中,NAHD=90°,AD=15,DH=12,
???AH=y/AD2-DH2=9.
又;AB=16,
;.CD=BH=AB-AH=7;
(2)VZAEG=ZDEA,
又/AGE=/DAE,,△AEGsADEA.
由4AEG是以EG為腰的等腰三角形,可得△DEA是以AE為腰的等腰三角形.
①若AE=AD,VAD=15,;.AE=15.
②若AE=DE,過(guò)點(diǎn)E作EQ,AD,垂足為點(diǎn)Q,
"""AQ=—AD=—.
"22
在RtADAH中,NAHD=90。,
cos^HAD=-=
AD5
在RtAAEQ中,NAQE=90。,
CALAQ34L25
cosZ-QAE=—=-,???AE=—.
yAE52
綜上所述:當(dāng)4AEG是以EG為腰的等腰三角形時(shí),線(xiàn)段AE的長(zhǎng)為15或?qū)W
⑶在RtADHE中,/DHE=90。,
DE=y/DH2+EH2=7122+(x-9)2;
VAAEG^ADEA,
AEEGx2
???一=—.???EG=
DEAEV122+(X-9):
x2
???DG=J122+(%—9)2-「F
V''V122+(X-9)2
.??D”4瓦喘=瑞,”與*
??.y=堊普,3的取值范圍為9<%<多
2.解:(1)???四邊形ABCD是正方形,
???AD=AB,NBAD=90°.
VMN±AF,
ZAHM=90°.
???ZBAF+ZMAH=ZMAH+ZAMH=90°.
ZBAF=ZAMH.
在^AMN與^ABF中,
ZAMN=乙BAF,
AM=AB,
ZMZN=乙ABF,
AAAMN^AABF.
AAF=MN;
(2)①:AB=AD=6,
BD=6V2.
由題意得,DM=t,BE=<2tf
AM=6-t,DE=6五一V2t.
VAD//BC,
,,.△ADE^AFBE.
—=—.即-=
BF-BE'y-y[2t
②;BN=2AN,
;.AN=2,BN=4.
由(1)證得ZBAF=ZAMN,
ZABF=ZMAN=90°,
/.AABF^AAMN.
t=2.
???BF=3.
FN=7BF2+BN2—5cm.
8.2與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系題
精選練習(xí)
1.解:⑴證明:,?.四邊形ABCD是正方形,
???AB=BC,NABC=90。,
???ZABM+ZCBM=90°.
?.?AM_LBM,CN_LBN,/.ZAMB=ZBNC=90°.
ZMAB+ZMBA=90°,/.NMAB=NCBM.
JAABM^ABCN(AAS),AM=BN;
(2)AOMN是等腰直角三角形.
理由如下:如圖,連接OB,
???點(diǎn)O是正方形ABCD的中心,
.*.OA=OB,ZOBA=ZOAB=45°=ZOBC,AO±BO,
ZMAB=ZCBM,
???ZMAB-ZOAB=ZCBM-ZOBC.
???ZMAO=ZNBO.
又AM=BN,OA=OB,-------------力
/.△AOM^ABON(SAS).0/\
:.MO=NO,ZAOM=ZBON./
ZAON+ZBON=90°,
:.ZAON+ZAOM=90°.
ZMON=90°.
AMON是等腰直角三角形;
(3)在RtAABK中,
BK=y/AK2+AB2=Vx2+1.
???SABK=3xAKxAB=|xBKxAM,
Ac”BM_AB
???cos乙ABK=—
AB~BK1
ABAB1
???BM=
BK-Vx2+1'
.:MN=BM-BN=^.
(1)2
SOMN=:MN2
44/+4'
xz-2x+l
???y=(0<%<1);
4X2+4
1X2-2X+1
當(dāng)點(diǎn)K在線(xiàn)段AD上時(shí)則
104X2+4J
解得:X1=3(不合題意舍去),%2=:.
當(dāng)點(diǎn)K在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí),同理可求y=\舒(久〉1),
.1_X2-2X+1
??10-4X2+4'
解得:=3,X2=:(不合題意舍去).
綜上所述:AK的值為3或|時(shí),△OMN的面積為2
2.解:⑴當(dāng)t=2時(shí),OM=2.
在RtAOPM中,NPOM=60。,
PM=OM-tan60°=2V3.
在RtAOMQ中,/QOM=30。,
QM=OM-tan30°=竽.
:.PQ=PM-QM=2陋-卓=當(dāng);
⑵由題意:8+(t-4)+2t=24,解得t=y;
⑶①當(dāng)0<t<4時(shí),
S=|-2t-4V3=4V3t;
②當(dāng)4<t<g時(shí),
S=|x[8-(t-4)-(2t-8)]X4V3
=40V3-6V3t.
③當(dāng)y<t<8時(shí),
S=|x[(t-4)+(2t-8)-8]x4V3=6V3t-40V3.
④當(dāng)8<t<12時(shí),
S=Ss-SWN-SABP=32V3-1-(24-2t)4V3-1-[8-(t-4)]-4V3=6V3t-40V3.
3.解:⑴??,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),
?e?AP的長(zhǎng)為2xcm.故答案為2x;
⑵當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí),如答圖1,
BP二AB-AP=4-2x.
VPQ±AB,.\ZQPA=90°,
VAPQD等邊三角形,△ABC是等邊三角形,
JZA=ZB=ZDPQ=60°.
ZBPD=30°.
JZPDB=90°.
???PD_LBC,
JAAPQ^ABDP(AAS).答圖1
ABD=AP=2x.
.?.BP=2BD,"2x=4x,解得久=|;
(3)①如答圖2,當(dāng)0<xW器寸.
?.?在RtAAPQ中,AP=2x,NA=60。,
PQ=AP-tan60°=2百久.
???△PQD等邊三角形,
SRQD=|x2百比-3x=3V3x2cm2,
y=3-\/3x2;
②如答圖3,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí),此時(shí)CPXAB,
???AP=即2x-2.
解得x=l.
QD與BC分別相交于點(diǎn)G、H,
VAP=2x,BP=4-2x,AQ=2AP=4x.
1
.?.BG=-BP=2-X.
2
???PG=V3^G=V3(2-x).
??.SpBG=1xBG.PG=f(2—%)2.
?,AQ=2AP=4x,
???CQ=AC-AQ=4-4x.
QH=y[3CQ=V3(4-4x).
???SacH=:CQ-QH=孚(4—4支)2.
SABC=1x4x2V3=4A/^,
$四邊布儂(2=SABC-SPMG-SaH-SAPQ
2
=4V3-y(2-%)-y(4-4x)2_|X2xx2V3x
=-211/+18V3x—6A/3.
y=—^-x2+18A/3X—6V3;
③如答圖5,當(dāng)l<x<2時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到BC邊上.
設(shè)PD與BC相交于點(diǎn)G,
此時(shí)PG=BP-sin60°=(4-2x)xy
=V3(2—%).
VPB=4-2x,
???BQ=2BP=2(4-2x)=4(2-x).
-1
:.BG=:BP=2-x,:.QG=BQ-BG=3(2-x).
..?重疊部分的面積為:
SROO=|PG-QG=1XV3(2-%)-3(2-x)=子(2—久產(chǎn)
3A/3SN7
??-y=—(2-%)2.
綜上所述:y關(guān)于x的函數(shù)解析式為:
當(dāng)0<%W|時(shí),y=3V3x2;
當(dāng)|<xW1時(shí),y=_£^IX2+lgVSx—6V3;
當(dāng)l<x<2時(shí),y=手(2-x)2.
4.解:⑴如答圖1中.連接BP.
在RtAACB中.:AC=BC=4,NC=90。,
AB=4V2.
...點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上,
/.BP=BQ.
AQ=V2t,CP=t,
BQ=4立一V2t,PS2=42+t2.
2
(4V2-V2t)=16+t2.
解得t=8-4魂或8+4遍(舍棄).
t=8-475s時(shí),點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上;
(2)①如答圖2中,當(dāng)PQ=QA時(shí)易知△APQ是等腰直角三角形,/AQP=90。.
則有PA=理AQ,
■-4—t=V2,V21.
解得t=1.
②如答圖3中,當(dāng)AP=PQ時(shí),易知△APQ是等腰直角三角形,/APQ=90。.
則有AQ=42AP,
V2t=V2(4-t),解得t=2.
綜上所述t=乏或2s時(shí),△APQ是以PQ為腰的等腰三角形.
⑶如答圖4中,連接QC作QE±AC于點(diǎn)E作QF_LBC于點(diǎn)F.則QE=AE,QF=EC,可得QE+QF=AE+EC=A
C=4.
■■■S^Sawc+SKQ=1-CN-QF+l-PC.QE=1t{QE+QF)=2t(0<t<4).
5.解:((1)/―7%+12=0,
X]—31%2=4.
VBOAB,
.??BC=4,AB=3.
:OA=2OB,即
/.0A=2,0B=l.4
,/四邊形ABCD是矩形,AJI;
???點(diǎn)口的坐標(biāo)為(-2,4);答副
⑵設(shè)BP交y軸于點(diǎn)F,如答圖1,當(dāng)0WW2時(shí).PE=t.
VCD/7AB,
/.△OBF^AEPF.
...竺=”即與二1
EFEP4-0Ft
4
??.OF=—.
t+i
4八2t
s=-0F-PE=------t=----
22t+1t+1
如答圖2,當(dāng)2<t<6時(shí),AP=6-t,
VOE//AD,
AAOBF^AABP.
...OF="即竺=2
APAB6-t3
??.OF=—.
3
答圖2
S=--OF-071=-x—x2=--t+2.
2233
^(0<t<2),
綜上所述s=
——t+2(2<t<6);
⑶由題意知,當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí),顯然不能構(gòu)成等腰三角形;
當(dāng)點(diǎn)P在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)P(-2,m).
VB(l,0),E(0,4),
BP?=9+m2,BE2=1+16=17,
PE2—4+(jn—4)2=m2—8m+20.
①當(dāng)BP=BE時(shí),9+m2=17,解得m=+242.
則P{-2>2V2);
②當(dāng)BP=PE時(shí),9+m2=m2-8m+20,解得m=—.
8
則P(-2用;
③當(dāng)BE=PE時(shí),17=m2-8m+20,解得m=4±V13.
貝?。軵(-2-4-V13).
綜上,0(一2,2/)或(一2,昔)或(—2,4-舊).
6.解:⑴?."BCD,.
又TAB=BE=8cm,BC=BF=6cm,
.CM_
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