中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)題專(zhuān)題十-經(jīng)典模型

第第頁(yè)專(zhuān)題十經(jīng)典模型模型53“胡不歸”模型模型故事從前,有個(gè)小伙子外出務(wù)工,某天不幸得知老父親病危的消息,便立即啟程趕路.由于思鄉(xiāng)心切,他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理,所以選擇了路徑AB,但他忽略了走砂礫地帶速度變慢的因素.當(dāng)他趕到家時(shí),老人剛剛咽氣.鄰居告訴說(shuō),老頭彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不?.…”而如果先沿著驛道AC走一段,再走砂礫地,會(huì)不會(huì)更早些到家?在這個(gè)問(wèn)題中,由于這個(gè)小伙子在驛道和砂礫地帶上前行的速度不同,那么這個(gè)小伙子有沒(méi)有可能先在驛道上行走一段路程后,再走砂礫地帶?雖然走的路多了,但總用時(shí)變少了,如果真有這種情況,那么在驛道和砂礫地帶之間的拐點(diǎn)就尤為重要了,請(qǐng)問(wèn)如何確定這個(gè)點(diǎn)呢?模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型已知:點(diǎn)A為直線l上一定點(diǎn),點(diǎn)B為直線外一定點(diǎn),點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)問(wèn)題:如何確定點(diǎn)P,使得kAP+BP(0<k<1)的值最小怎么用?1．找模型直線上一定點(diǎn)A,一動(dòng)點(diǎn)P，B為直線外一點(diǎn),求kAP+BP的最小值2.用模型構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)將含系數(shù)的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換,再根據(jù)垂線段最短化折為直,從而得到線段和最小值,最后運(yùn)用銳角三角函數(shù)求解即可模型分析如圖,求這類(lèi)帶有系數(shù)的折線最值問(wèn)題,通常我們都是將折線轉(zhuǎn)化成為線段,再利用兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短求解，該模型就是利用了垂線段最短的性質(zhì),具體解題步驟如下:一找:找?guī)в邢禂?shù)k的線段kAP;二構(gòu):在點(diǎn)B異側(cè),構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形;①以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠CAP,使得sin∠PAC=h;②過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作垂線構(gòu)造Rt△PAC;三轉(zhuǎn)化:化折為直,將kAP轉(zhuǎn)化為PC;四求解:使得hAP+BP=PC+BP,利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BD的長(zhǎng)度.拓展延伸熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值，kAP+BP中系數(shù)k發(fā)生變化時(shí),所構(gòu)造的直角三角形也會(huì)發(fā)生變化,同學(xué)們需要牢記特殊角度的正弦值：，，，，例1如圖，在△ABC中，AC=6，∠A=30°，點(diǎn)D是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)撥：兩定點(diǎn)A、C，動(dòng)點(diǎn)D，含特殊角30°）則的最小值為_(kāi)________（點(diǎn)撥：線段數(shù)量關(guān)系的最小值,考慮“胡不歸”）考什么?直角三角形的性質(zhì),30°,60°角的銳角三角函數(shù)值,垂線段最短.思路點(diǎn)撥哪條線段帶有系數(shù),就以它為斜邊構(gòu)造直角三角形,使得其中一銳角的正弦值恰好與系數(shù)相等.例2如圖,在平行四邊形ABCD中,∠DAB=45°，（點(diǎn)撥：特殊角）AB=6，BC=2，P為CD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則（點(diǎn)撥：線段數(shù)量關(guān)系出現(xiàn)，且0＜k＜1，模型出現(xiàn)）的最小值為_(kāi)____________考什么?平行四邊形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),45°角的銳角三角函數(shù)值,垂線段最短。實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1、如圖,在OABC中,AB=AC=8,tan4=/3,BELAC于點(diǎn)E,點(diǎn)D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A.4B.C.D.8如圖,在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M是AD上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________3、如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1，0，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)，D為拋物線的頂點(diǎn).(1)拋物線的解析式為_(kāi)____________，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______________;(2)點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AM,求的最小值。

模型54“阿氏圓”模型模型故事阿氏圓(阿波羅尼斯圓)阿波羅尼斯(Apollonius，約公元前262-190年)，古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名。他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地。如圖，已知平面上兩定點(diǎn)A、B，則所有滿(mǎn)足（k>0且k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)“阿氏圓”。模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型：已知：點(diǎn)P是半徑為r的⊙0上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A，B為⊙0外兩定點(diǎn)問(wèn)題：當(dāng)r，k滿(mǎn)足r=k·0A（0<k<1）時(shí),求形如“kAP+BP”線段長(zhǎng)度的最值怎么用?1.找模型平面上兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在圓上，求“kAP+BP"的最小值或“AP-kBP"的最大值，即考慮“阿氏圓”模型2.用模型截取線段構(gòu)造一組相似三角形，利用線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化線段，再根據(jù)線段最短問(wèn)題求最值。模型分析：如圖，點(diǎn)P是半徑為r的⊙0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B為圓外的定點(diǎn)，且r=k·0A（0<k<1），如何確定點(diǎn)P的位置，使得kAP+BP的值最小。一找：找?guī)в邢禂?shù)的線段AP;二構(gòu)：在線段OA上取一點(diǎn)C,構(gòu)造ΔPCO~ΔAPO;①在線段OA上截取OC,使得OC=k·r;②連接PC,OP,證明ΔPCO~ΔAPO;三轉(zhuǎn)化：通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，將kAP轉(zhuǎn)化為PC;四求解：使得kAP+BP=PC+BP,連接BC,利用“兩點(diǎn)之間線段最短”轉(zhuǎn)化為求BC的長(zhǎng).【滿(mǎn)分技法】阿氏圓模型，初中階段不要求證明，但需要掌握的是，學(xué)會(huì)運(yùn)用構(gòu)造相似三角形的方法，確定P點(diǎn)的位置，求形如“kAP+BP”線段長(zhǎng)度的最值，不僅在選填中考查，而且在幾何、面數(shù)綜合題中也考查，因此提煉模型特點(diǎn)，掌握應(yīng)對(duì)方法很重要.模型拓展思考“胡不歸”“阿氏圓”之間的關(guān)系：平面上有一動(dòng)點(diǎn)P,兩定點(diǎn)A,B,如何確定點(diǎn)P的位置，求解形如kAP+BP的最值當(dāng)0<k<1時(shí)點(diǎn)P的軌跡為一條直線考慮“胡不歸”模型點(diǎn)P的軌跡為圓或?yàn)閳A的一部分時(shí)考慮“阿氏圓”模型【滿(mǎn)分技法】若遇到形如k,PB+k,PA的問(wèn)法，只需將其中一個(gè)系數(shù)化為1.就化為標(biāo)準(zhǔn)模型了，對(duì)于“阿氏圓”例外，“阿氏圓”模型是利用構(gòu)造“子母”相似三角形來(lái)解題，只要符合相似比即可.典例小試?yán)?如圖，已知∠AOB=90°,OB=4,OA=6.⊙O的半徑為2，（圓外兩點(diǎn)）P為圓上一動(dòng)點(diǎn).（圓上一點(diǎn)）(1)的最小值為(2)的最小值為.考什么？相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理思路點(diǎn)撥該題兩問(wèn)均為AP與BP數(shù)量關(guān)系的最值，但解題的關(guān)鍵要看系數(shù)k所在的線段，再依據(jù)模型方法解題.例2如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足CD=2，（點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑的圓上）那么的最小值.考什么？定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造隱形圖，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理求線段長(zhǎng)，兩點(diǎn)之間線段最短.思路點(diǎn)撥有時(shí)候題干中不會(huì)直接出觀圓，而需要根據(jù)題目中所給的條件判斷并畫(huà)出隱形國(guó)，再解題，因此最重要的還是提煉模型特點(diǎn)！（隱形圖問(wèn)題見(jiàn)模型42-46)實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1.如圖，在矩形ABCD中，BC=7,AB=9,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，分別連接AP,BP,CP,且PB=3,延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)F,若BF＝1.則的值為.2.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,⊙B的半徑為6,點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值為,的最大值為.3.如圖，已知拋物線(a≠0)過(guò)A,B兩點(diǎn)，OA=1,OB=5,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，拋物線的頂點(diǎn)為D.（1)拋物線的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2)如圖，已知⊙A的半徑為2,點(diǎn)M是圓A上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM,MB,則是否存在最小值？若存在，說(shuō)明在何處取得最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

模型55費(fèi)馬點(diǎn)模型模型故事費(fèi)馬點(diǎn)皮耶?德?費(fèi)馬,17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家,有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù),之所以叫業(yè)余并非段位不夠,而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?兼職搞數(shù)學(xué).費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn),除此之外,費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”“費(fèi)馬大定理”等.今天的問(wèn)題不是費(fèi)馬提出來(lái)的,而是他解決的,故而叫費(fèi)馬點(diǎn)模型展現(xiàn)模型圖模型介紹已知:在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,則當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)P到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和最小結(jié)論1:當(dāng)△ABC的最大內(nèi)角小于120°時(shí)P點(diǎn)滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠APC=120°;結(jié)論2:當(dāng)△ABC有一-內(nèi)角不小于120°時(shí)點(diǎn)P與最大角頂點(diǎn)重合怎么用?1.找模型.費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)(也叫托里拆利點(diǎn))2.用模型.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)法,以三角形任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,得出費(fèi)馬點(diǎn)位置)結(jié)論分析結(jié)論1:當(dāng)△ABC的最大內(nèi)角小于120°時(shí),P點(diǎn)滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠APC=120°證明:如圖①,將△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CFE,連接PE,BF,∴△CBP≌△CFE,PB=EF,CP=CE,CB=CF.又∵∠PCE=∠BCF=60°,∴△BCF,△CEP均為等邊三角形,∴PC=CE=PE,PA+PB+PC=PA+EF+PE≥AF,∴當(dāng)A,P,E,F四點(diǎn)共線時(shí),PA+PB+PC的值最小，最小值為AF的長(zhǎng).此時(shí)∠APC=180°-∠CPE=180°-60°=120°，∠BPC=∠FEC=180°-∠CEP=180°-60°=120°,∠APB=360°-(∠APC+∠BPC)=120°,∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°.結(jié)論2:當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角不小于120°時(shí),點(diǎn)P與最大角頂點(diǎn)重合證明:在△ABC中，令∠ACB≥120°,在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC,將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△FEC,使得F,C,A三點(diǎn)共線.∴△EFC≌△PBC,.∴∠ECF=∠BCP,∴∠ECP=180°-∠ECF-∠PCA=180°-∠BCP-∠PCA=180°-∠ACB≤60°，在三角形中,由于小角對(duì)小邊，∴EP≤PC,∴PB+PC+PA≥EF+EP+PA≥FA.∴當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),PB+PC+PA的值最小，即C點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).滿(mǎn)分技法證明過(guò)程是把三角形內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和轉(zhuǎn)化為一條折線,且折線的最遠(yuǎn)端兩個(gè)端點(diǎn)是固定的,因此只有折線成為直線段時(shí)距離之和最小.巧學(xué)巧記口訣記憶:向外作等邊三角形,連線即可.如圖,以△ABC的三邊為邊向外構(gòu)造等邊△BCD，△ACE,△ABF,連接AD,BE,CF,則:①AD,BE,CF交于點(diǎn)P,即為費(fèi)馬點(diǎn);②PA+PB+PC=AD=BE=CF.典例小試?yán)?如圖,在△ABC中，∠ACB=30°（注：含30°特殊角,可考慮繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形）,BC=6,AC=5,P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為_(kāi)_____本題考什么?旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的判定與性質(zhì).思路點(diǎn)撥在證明費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論時(shí),繞任意頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)均可求證,但在解題時(shí),要結(jié)合具體題干特點(diǎn),選擇“有用”的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造.例2.如圖，△ABC為等邊三角形,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=3,PB=4,PC=5(注：常見(jiàn)直角三角形的三邊長(zhǎng)3.4,5,考慮將其通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中),則∠APB的度數(shù)為_(kāi)__________.本題考什么?旋轉(zhuǎn)與等邊三角形的性質(zhì),勾股定理逆定理思路點(diǎn)撥通過(guò)旋轉(zhuǎn),將所求角度轉(zhuǎn)化為其他角度,把PA,PB,PC放在一個(gè)三角形中,根據(jù)三角形的特殊性解題.(當(dāng)題中存在常見(jiàn)的直角三角形三邊關(guān)系或其倍數(shù)關(guān)系時(shí),考慮旋轉(zhuǎn)、平移或構(gòu)造等線段轉(zhuǎn)化)實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1.如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=9,BC=9,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA+PB+PC的最小值為_(kāi)__________.2.在銳角△ABC中,AC=7,∠ACB=75°,P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),當(dāng)PA+PB+PC的最小值為17時(shí),BC的長(zhǎng)為_(kāi)___________.3.如圖,有一個(gè)正方形的花圃ABCD,園林設(shè)計(jì)的工人要在花圃?xún)?nèi)部找一出水口P,并向AD邊和B、C兩點(diǎn)裝水管,使得點(diǎn)P到AD的距離和點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離之和最小，已知花圃的邊長(zhǎng)米,水管的單價(jià)為元/米,求購(gòu)買(mǎi)水管最少需要多少錢(qián)?(結(jié)果保留整數(shù),)4．如圖,為等邊三角形,為內(nèi)部一點(diǎn),(1)求與的度數(shù);(2)求的面積.

模型56主從聯(lián)動(dòng)模型模型故事主從聯(lián)動(dòng)“主從聯(lián)動(dòng)模型”也叫“瓜豆模型”,出自成語(yǔ)“種瓜得瓜,種豆得豆”.這類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),我們把它們分別叫做從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn),從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”圓得圓,“種”線得線(而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí),從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是)．解決這一類(lèi)問(wèn)題通常用到旋轉(zhuǎn)和相似.模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型模型一直線軌跡已知定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)和，為定值,點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)已知：當(dāng)時(shí)結(jié)論1：點(diǎn)軌跡是一條直線已知：當(dāng)時(shí)，且為定值時(shí)結(jié)論2：點(diǎn)軌跡是一條直線，且有怎么用?1.找模型“雙動(dòng)點(diǎn)、一個(gè)隨著另一個(gè)動(dòng)”,即考慮“主從聯(lián)動(dòng)模型”2.用模型找主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并確定主動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn),根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)確定從動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)軌跡,再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所在的規(guī)則圖形進(jìn)行計(jì)算模型二圓軌跡已知定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)和，，為定值,點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)已知：當(dāng)時(shí)，且時(shí)結(jié)論3：點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，且，，始終在一條直線上已知：當(dāng)時(shí)，且時(shí)結(jié)論4：點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，且半徑為的一半滿(mǎn)分技法當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)等于主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng);當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不相等時(shí)，.巧學(xué)巧記當(dāng)時(shí),主動(dòng)點(diǎn)路徑和從動(dòng)點(diǎn)路徑的大小相等、形狀相同,即兩個(gè)全等的圖形.模型分析以圓軌跡的主從聯(lián)動(dòng)為例,求從動(dòng)點(diǎn)的方法如下:第一步:確定主動(dòng)點(diǎn),從動(dòng)點(diǎn);第二步:確定主動(dòng)點(diǎn)的軌跡();第三步:確定的大小及的值;第四步:確定點(diǎn)的位置及的長(zhǎng):令，，求出和；第五步:確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡()的圓心和半徑.滿(mǎn)分技法主從聯(lián)動(dòng)問(wèn)題變換前后的圖形形狀不變,但大小可能發(fā)生變化,其解題方法就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、位似圖形,本質(zhì)就是對(duì)圖形中的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化和位似變化.典例小試?yán)?.(2021宜賓)如圖,O0的直徑AB=4,P為O0上的動(dòng)點(diǎn),（點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn)）連接AP,Q為AP的中點(diǎn)(點(diǎn)Q為從動(dòng)點(diǎn)),若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)一周（主動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓）,則點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是.考什么？垂徑定理,圓的有關(guān)概念及性質(zhì),圓弧的計(jì)算,主從聯(lián)動(dòng)問(wèn)題(當(dāng)軌跡為圓時(shí))例2.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG（點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)）,連接CG,則CG的最小值（L根據(jù)F點(diǎn)判斷G點(diǎn)軌跡）為.考什么?正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),主從聯(lián)動(dòng)問(wèn)題(當(dāng)軌跡為直線時(shí))思路點(diǎn)撥確定主動(dòng)點(diǎn)的軌跡,作出輔助線,再結(jié)合點(diǎn)到直線垂線段最短即可解題.實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1．如圖,在△ABC中,BC=6,點(diǎn)P在線段BC上移動(dòng),點(diǎn)Q為AP上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為.2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(9,0),B(0,5),點(diǎn)C是線段0A上任意一點(diǎn)(不與0點(diǎn)重合),連接BC,作等腰Rt△BCD且∠BCD=90°,連接AD,則AD的最小值為.3.如圖,點(diǎn)D在半圓O上,AD=OA=5,點(diǎn)C在BD上移動(dòng),連接AC,過(guò)點(diǎn)D作DHAC,垂足為H,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),連接EH,當(dāng)點(diǎn)C由D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),EH掃過(guò)的面積為.4.如圖,在正方形ABCD中,AB=5,以BC為直徑向外作半圓,點(diǎn)E為半圓上的動(dòng)點(diǎn),連接DE,取DE的中點(diǎn)F,連接CF,則CF的最小值為.5.如圖,直線.2與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),BC=2,點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),連接OD,當(dāng)OD的長(zhǎng)度最小時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

模型57“12345”模型模型故事為什么叫“12345”模型何為“1,2,3”?如圖,“tan=,tan=”.何為“4,5”?如圖,當(dāng)滿(mǎn)足tan=,tan=時(shí),“”.對(duì)于這里的數(shù)據(jù),為了便于記憶,通常稱(chēng)為“12345”模型.模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型在如圖所示的大小相同的小正方形方格內(nèi)結(jié)論1:如圖①,若tan∠DAF=,tan∠BAE=,則∠DAF∠BAE=45°；（“”“”=45°）結(jié)論2:如圖②,若tan∠DFA=3,tan∠AEB=2,則∠DFA∠AEB=135°；（“3”“2”=135°）結(jié)論3:如圖③,若tan∠AEB=2,tan∠FEC=,∠AEB∠FEC=90°；（“2”“”=90°）怎么用?1．找模型在網(wǎng)格、四邊形、坐標(biāo)系等中涉及幾何問(wèn)題時(shí),隱含特殊的正切值“1”“2”“3”“”“”“”“”2.用模型運(yùn)用特殊的正切值及“12345”模型及延伸模型的特殊結(jié)論,將45°,90°,135°這幾個(gè)特殊角度聯(lián)系起來(lái)，簡(jiǎn)化此類(lèi)選擇題及填空題的運(yùn)算,中考此類(lèi)題目多以選擇題及填空題的形式考查結(jié)論4：如圖④，若tan∠AEB=3,tan∠FEC=，則∠AEB+∠FEC=90°(“3”+=90°)結(jié)論5:如圖⑤，若tan∠AFG=,tan∠AEB=2,則∠AEB-∠AFG=45°;(“2”-“”=45°)結(jié)論6:如圖⑥,若tan∠DFA=3,tan∠BAE=,則∠DFA-∠BAE=45°;(“3”-“”=45°)結(jié)論7:如圖⑦,若tan∠BDA=,tan∠DBA=，則tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC=;(“”+“”=)結(jié)論8:如圖⑧,若tan∠BDA=。tan∠DBA=，則tan(∠BDA+DBA)=tan∠BAC=(“”+“”=)拓展延伸諸多結(jié)論,不用死記硬背，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究這類(lèi)問(wèn)題的方法,且往后看!結(jié)論分析結(jié)論3:如圖①,若tan∠AEB=2,tan∠FEC=,則∠AEB+∠FEC=90°證明:根據(jù)網(wǎng)格線計(jì)算可得,AE=,EF=,AF=,△AEF為等腰直角三角形,∠AEF=90°，∠AEB+∠FEC=90°.(結(jié)論1,2,4證明方法同結(jié)論3)拓展延伸關(guān)于45°角的幾何問(wèn)題在前面的半角模型、“一線三垂直”中也有提到,其中著重介紹了構(gòu)造全等的解題方法,本模型中只是簡(jiǎn)單介紹一些角度的正切值與45°及其倍角的關(guān)系。結(jié)論5:如圖②,若tan∠AFG=,tan∠AEB=2,則∠AEB-∠AFG=45°證明:根據(jù)網(wǎng)格線計(jì)算可得,AE=,EF=,AF=，,OAEF為等腰直角三角形，∠EAF=45°∠AEB-∠AFG=∠DAE-∠DAF=∠EAF=45°.(結(jié)論6證明同結(jié)論5)滿(mǎn)分技法這里的“1""2”“3”“”“”“”“”符號(hào),表示的是正切值為“1”“2”“3”“”“”“”“”的角的度數(shù).結(jié)論7:如圖③,若tan∠BDA=,tan∠DBA=，則tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC=證明:根據(jù)網(wǎng)格線計(jì)算可得AB=5=AD,∠DBA=∠ADB,∠BDA+∠DBA=∠BAC,tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC,又tan∠BDA=tan∠DBA=，tan∠BAC=,tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC=.(結(jié)論8證明同結(jié)論7)滿(mǎn)分技法這些結(jié)論適用于選擇題,填空題的快速運(yùn)算,常常與方格，坐標(biāo)系,正方形,以及矩形結(jié)合,理解“12345”所表示的含義,快速進(jìn)行解題,但千萬(wàn)不可死記硬背,要結(jié)合知識(shí)本質(zhì),理解記憶.典例小試?yán)?如圖所示的大小相同的小正方形方格內(nèi),每一-個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為a,則∠ACB=.考什么?正方形的性質(zhì),正切值的表示例2如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),連接DE,點(diǎn)F,G分別為BC,AD上一點(diǎn),連接FG交DE于點(diǎn)P,且∠EPF=45°,則GF的長(zhǎng)為.考什么?正方形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),快速通過(guò)特殊正切值找到未知角度與45°,90°,135°的關(guān)系思路點(diǎn)撥根據(jù)正方形性質(zhì)及三等分點(diǎn)可找出“”,結(jié)合45°特殊角找另一特殊角的正切值,通過(guò)線段轉(zhuǎn)化,快速求解.實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1.如圖為三個(gè)并列的邊長(zhǎng)相同的正方形,則∠DCE+∠DBE+∠DAE=()A.90°B.120°C.135°D.150°2.如圖,在RtABC中,AC=6,AB=8,以BC為直徑畫(huà)圓,D是的中點(diǎn),連接CD與AB交于點(diǎn)E,則=()A.B.C.D.3.如圖,在矩形ABCD中,BC=3,CD=4,將△CDE沿DE翻折,使得點(diǎn)C恰好落在DB邊上點(diǎn)F處,則BE的長(zhǎng)度為_(kāi)_______.4.如圖,在2×5的正方形網(wǎng)格中,A,B,C,D,E均為網(wǎng)格交點(diǎn),則∠BCA－∠DCE=__________.5.如圖,一次函數(shù)y=x－1的圖象與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,旋轉(zhuǎn)后的直線交x軸于點(diǎn)C,求直線BC的解析式.

模型58“海盜埋寶”模型模型故事海盜頭弗林特帶著一群海盜匆匆忙忙來(lái)到一個(gè)孤島上，打算將剛搶來(lái)的財(cái)寶藏在這個(gè)孤島上.島上有三棵樹(shù),構(gòu)成一個(gè)三角形,其中山毛櫸樹(shù)離海邊最近,兩顆橡樹(shù)在山毛櫸樹(shù)的兩側(cè).他們從山毛櫸樹(shù)到1號(hào)橡樹(shù)拉一根繩子,然后從1號(hào)橡樹(shù)出發(fā),沿著垂直于繩子的方向,往島里走一段等于這段繩子的長(zhǎng)度,把這一地點(diǎn)記為1號(hào)地點(diǎn)；并從山毛櫸樹(shù)到2號(hào)橡樹(shù)拉一根繩子，然后從2號(hào)橡樹(shù)出發(fā)，沿著垂直于繩子的方向,往島里走一段等于這段繩子的長(zhǎng)度,把這一地點(diǎn)記為2號(hào)地點(diǎn),最后他們把財(cái)寶埋藏在1號(hào)地點(diǎn)與2號(hào)地點(diǎn)的正中間,由于匆忙,離開(kāi)的時(shí)候他們忘記了繪制藏寶圖.半年后有個(gè)小海盜瞞著海盜頭偷偷潛回該島,企圖盜走財(cái)寶,他知道找財(cái)寶的訣竅，但令他失望的是,作為標(biāo)記的山毛櫸樹(shù)被臺(tái)風(fēng)刮走了,沒(méi)有留下一點(diǎn)痕跡,只有兩棵橡樹(shù)還在。但他并不放棄,在沒(méi)有山毛櫸樹(shù)做標(biāo)記的情況下，還是憑著智慧找到了財(cái)寶,你知道這個(gè)小海盜是怎樣找到的嗎?模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型如圖①，△ADC和△BEC是等腰直角三角形,A,B為直角頂點(diǎn),且C點(diǎn)為公共點(diǎn)如圖②，連接DE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn),連接FA,FB,AB結(jié)論1:△FAB是等腰直角三角形怎么用?1.找模型兩等腰直角三角形一組底角共頂點(diǎn),另一組底角連線取中點(diǎn),即可考慮“海盜埋寶”模型.2用模型運(yùn)用倍長(zhǎng)中線或軸對(duì)稱(chēng)構(gòu)造全等三角形,用等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì),得到復(fù)雜圖形中邊角相等的關(guān)系萬(wàn)唯中考幾何模型如圖③:延長(zhǎng)AF至點(diǎn)P,使得FP=AP連接PE,PB,延長(zhǎng)PE交AC于點(diǎn)Q結(jié)論2:△DAF'≌△EPF(SAS);結(jié)論3:△ACB≌△PEB(SAS);結(jié)論4:△ABP是等腰直角三角形結(jié)論分析證法1:(倍長(zhǎng)中線法)如圖①,延長(zhǎng)AF至點(diǎn)P使得FP=AF,連接PE,PB,延長(zhǎng)PE交AC于點(diǎn)Q.∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=EF.在△DAF和△EPF中，∴△DAF≌△EPF(SAS),(結(jié)論2)∴DA=EP,∠DAF=∠EPF.∴DA//EP.∴∠EQC=∠DAQ=90°.在四邊形EQCB中，∠EQC＋∠EBC=90°＋90°=180°,∴∠QEB＋∠QCB=180°.又∵∠QEB＋∠PEB=180°,∴∠QCB=∠PEB.∵△ACD和△BEC為等腰直角三角形，∴AD=AC,BE=BC,∴AC=EP.在△ACB和△PEB中，，∴△ACB≌△PEB(SAS).(結(jié)論3)拓展延伸熟悉并會(huì)利用等腰直角三角形的性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)，是“海盜埋寶”模型的基礎(chǔ),其次是構(gòu)造“SAS"全等三角形是“海盜埋寶”模型解題的重要方法.滿(mǎn)分技法為什么用“倍長(zhǎng)中線”和“構(gòu)造手拉手模型”呢?①點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),倍長(zhǎng)中線必有全等;②該模型的兩個(gè)直角三角形有“共頂點(diǎn)、雙等腰、頂角相等”的特點(diǎn),符合“手拉手模型”的特點(diǎn).(見(jiàn)模型19)∴AB=PB,∠ABC=∠PBE,∴∠ABC+∠ABE=∠PBE+∠ABE,即∠ABP=∠CBE=90°∴△ABP是等腰直角三角形.(結(jié)論4)又∵F是AP中點(diǎn)∴GF⊥AP,BF=AF∴△FAB是等腰直角三角形,F是直角頂點(diǎn)。（結(jié)論1）證法2：軸對(duì)稱(chēng)造手拉手模型如圖=2\*GB3②，將△DAC沿AC對(duì)稱(chēng)，得到△PAC,將△EBC沿BC對(duì)稱(chēng)，得到△QBC，連結(jié)EP,DQ.（拓展延伸：利用中位線和直角三角形斜邊中線等性質(zhì)，也是可以證明的?。┮鬃C△PCE≌△DCQ(手拉手模型)∴PE=CQ，PE⊥DQ(手拉手模型的結(jié)論)∵AF是△DPE的中位線，BF是△DQE的中位線.∴AF=PE，AF∥PE,BF=DQ，BF∥BQ.∴AF=BF,AF⊥BF∴△FAB是等腰直角三角形,F是直角頂點(diǎn)。（結(jié)論1）模型拓展當(dāng)∠ACE=0°，45°，135°時(shí)的特殊情況當(dāng)∠ACE=0°時(shí)，A,C,E三點(diǎn)共線，B,C,D三點(diǎn)共線當(dāng)∠ACE=45°時(shí),C,D,E,F四點(diǎn)共線，∠ACB=90°當(dāng)∠ACE=135°時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線，D,E,F三點(diǎn)共線,∠EBC=∠ECD=∠BAD=90°（滿(mǎn)分技法：SAS是海盜埋寶模型中證全等最核心的判定方法，利用軸對(duì)稱(chēng)或倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形，為證明全等三角形創(chuàng)造條件。）例1.已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線AC中線，（1）如圖=1\*GB3①，連結(jié)BO,分別取BC,BO的中點(diǎn)P,Q，連結(jié)PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是如圖=2\*GB3②，將△AOB（點(diǎn)撥：△AOB等腰直角三角形）繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△AO?E,連結(jié)CE，點(diǎn)F,Q分別為CE，BO?的中點(diǎn)，（點(diǎn)撥：△AO?E等腰直角三角形另一組底角頂點(diǎn)與直角頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)）連接FQ,FB，則FQFB的值為.例2如圖，在△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰Rt△ADB和等腰Rt△AEC，（點(diǎn)撥：底角相連的兩個(gè)等腰直角三角形）M是BC中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，（點(diǎn)撥：另一組底角相連取中點(diǎn)，模型已呈現(xiàn)）試判斷MD和ME的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.（考什么？等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)）（思路點(diǎn)撥以三角形的任意兩邊為斜邊向外作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與第三邊的中點(diǎn)相連，即為“海盜埋寶”模型.你可以嘗試用不同三角形去驗(yàn)證一下吧.）實(shí)戰(zhàn)演練1.如圖，在△ABD中，∠ACB=90°，BC=AC，在等腰直角△BDE中，∠BDE==90°,若F是AE的中點(diǎn)，則∠DFC=.2.如圖，△ABC，△CDE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠CDE=90°,A,D,C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接AF,FD.(1)求證：FD∥BC;(2)若AB=7，CD=4,求AF的長(zhǎng)3.在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,以CE為斜邊，作等腰Rt△CDE,連結(jié)BD,AE,F為AE的中點(diǎn)，連接BF,DF.(1)求證：BF=FD;(2)若AB=2,CD=32,求△BFD的面積.

模型59婆羅摩笈多模型模型故事婆羅摩笈多婆羅摩笈多是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家，以他命名的婆羅摩笈多定理又稱(chēng)“布拉美古塔定理”.婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn).今天講的就是由婆羅摩笈多定理演化而來(lái)的“婆羅摩笈多模型”.模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形且頂點(diǎn)O重合結(jié)論1：若FE⊥BC，則F為AD的中點(diǎn)；結(jié)論2：若F為AD的中點(diǎn)，則FE⊥BC；結(jié)論3：S△AOD=S△BOC；結(jié)論4：若F為AD的中點(diǎn)，則2OF=BC.怎么用？1.找模型兩等腰直角三角形共直角頂點(diǎn)，相鄰的兩個(gè)底角頂點(diǎn)相連2.用模型常用到“中點(diǎn)、垂直”互相轉(zhuǎn)化的結(jié)論，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行線段、面積的計(jì)算結(jié)論分析結(jié)論1：若FE⊥BC，則F為AD的中點(diǎn)證明：如圖①，分別過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)D作直線FE的垂線，分別交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)H.

在直線EF上，∠AGO=∠AOB=∠BEO=90°，AO=BO，易證△GAO≌△EOB(一線三等角，K字模型)，同理可得，△DHO≌△OEC，∴AG=OE=DH，在△AGF與△DHF中，∴△AGF≌△DHF(AAS)，∴AF=DF，即F為AD的中點(diǎn).拓展延伸“一線三等角”全等模型見(jiàn)模型17.結(jié)論2：若F為AD的中點(diǎn)，則FE⊥BC證明:如圖②，延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使FG=FO，連接AG，∵F為AD的中點(diǎn)，∴△AGF≌△DOF（“倍長(zhǎng)中線”模型），∴AG=DO，∠GAF=∠ODF，∴AG=OC.又∵∠ODF+∠OAD+∠AOD=180°，∠BOC+∠AOD=180°，∴∠GAF+∠OAD+∠AOD=∠GAO+∠AOD=180°，∴∠GAO=∠BOC，∵AO=OB，∴△GAO≌△COB，∴∠AOG=∠OBC，∵∠AOG+∠BOE=90°，∴∠OBC+∠BOE=90°，∴∠BEO=90°，即OE⊥BC，∴FE⊥BC.結(jié)論3：S△AOD=S△BOC證明：由結(jié)論2可得，△AOG≌△0BC，△AGF≌△DOF，∴S△BOC=S△OAG=S△OAF+S△AFG=S△OAF+S△DOF=S△AOD*結(jié)論4：若F為AD的中點(diǎn)，則2OF=BC證明：由結(jié)論2可得，△AOG≌△OBC，∴OG=BC，又∵FG=FO，∴BC=2OF.拓展延伸倍長(zhǎng)中線模型見(jiàn)模型15.模型拓展婆羅摩笈多定理（又稱(chēng)“布拉美古塔定理”）.已知：一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直且相交，過(guò)交點(diǎn)M的直線分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)結(jié)論5：若FE⊥BC，則點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)；結(jié)論6：若點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，則FE⊥BC滿(mǎn)分技法：婆羅摩笈多定理應(yīng)用在對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形中，證明過(guò)程較婆羅摩笈多模型較簡(jiǎn)單，口訣簡(jiǎn)記為“垂直對(duì)面是中點(diǎn)，中點(diǎn)反向有垂直”.典例小試?yán)鐖D，點(diǎn)A是四邊形BCDE內(nèi)的一點(diǎn)，連接AB，AC，AD，AE，已知AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC（點(diǎn)撥：兩個(gè)等腰直角三角形），點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)（點(diǎn)撥：一邊中點(diǎn)），則.考什么？全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)實(shí)戰(zhàn)實(shí)演如圖，在銳角△ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE，BG和EG，EG和HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論:①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC，其中正確的是.2.如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,∠ABC=30°,∠ACB=45°,AC=,點(diǎn)D在⊙O上,∠BOD=120°,連接AD交BC于點(diǎn)P,作ON⊥CD于點(diǎn)N,連接NP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,則PM的長(zhǎng)為_(kāi)_______.3.如圖,△ABC和△ADE為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)H是CD的中點(diǎn),連接AH交BE于點(diǎn)G,AH=3,則BE的長(zhǎng)為_(kāi)__________.4.已知△AOB和△COD均為等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.如圖①,連接AD,BC,點(diǎn)H為BC的中點(diǎn),連接OH.(1)證明:OH=AD且OH⊥AD;(2)將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③所示位置時(shí),線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系?選擇一個(gè)圖形并證明你的結(jié)論.模型60阿基米德折弦定理基礎(chǔ)模型折弦:圓周上任意一點(diǎn)出發(fā)的弦所組成的折線,我們稱(chēng)之為該圖的一條折弦.如圖中折線ABC定理:點(diǎn)M為的中點(diǎn),點(diǎn)B為上任意一點(diǎn),且MD⊥BC.則有AB+BD=DC逆定理:已知AB+BD=DC.①若M為的中點(diǎn),則MD⊥BC;②若MD⊥BC,則點(diǎn)M為的中點(diǎn)怎么用?1，找模型見(jiàn)弧上任意一點(diǎn)與弧的端點(diǎn)相連(折弦),且已知弧的中點(diǎn),過(guò)中點(diǎn)作弦的垂線.2.用模型阿基米德折弦定理一般出現(xiàn),主要是應(yīng)用折弦定理的.證明方法(見(jiàn)“結(jié)論分析”)或結(jié)論(選填可直接用)求得圓中線段的和差,或是平方關(guān)系結(jié)論分析結(jié)論:AB+BD=DC證法一:補(bǔ)短法證明1:如圖①,延長(zhǎng)DB至點(diǎn)F,使BF=BA,連接MF,MB,MC,MA,AC.∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴AM=CM.∴∠MAC=∠MCA,又∵∠MBC=∠MAC,∠MBC+∠MBF=180°,∠MBA+∠MCA=180°.∴∠MBF=∠MBA.在△MBF與△MBA中,∴△MBF≌△MBA(SAS),∴MF=MA=MC,∴MD⊥CF,∴DF=DC.∴FB+BD=DC,∴AB+BD=DC.證明2:如圖②,連接MB,MA,MC,AC,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB