2024年中考數(shù)學考前沖刺復習：點圓模型

專題04點圓模型

題型解讀

定義型到定點的距離等于定長的點的集合

直角型以動點為直角頂點，所對邊長為

圓的直徑的動點模型

動點軌跡為圓的幾種模型

、等弦對等角線段長度不變，線段所對角

的頂點為動點，點在移動過程中，角度始

終保持不變

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要和難點題型，綜合考查學生解析幾何知識和思維

能力.該題型一般在填空題或解答題的其中一問出現(xiàn)，具有一定的難度，致使該考點成為學

生在中考中失分的集中點.掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考

專題復習的一個重要途徑.本專題就動點軌跡為圓弧型進行梳理及對應試題分析，方便掌握.

模型01定義型

點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑

的圓.

模型02直徑所對的角為直角（直角模型）

一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓??；

如圖，若P為動點，為定值，ZAPB=90°,則動點尸是以AB為直徑的圓或圓弧.

B

模型03等弦對等角模型

一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點,為定值，NAP8為定值，則動點尸的軌跡為圓弧.

模型構(gòu)建

模型01定義型

考|向|預|測

點圓模型的定義型該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其

中一問，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關鍵是結(jié)合圓的定義

判定動點變化的特點，結(jié)合圓和其它幾何的相關知識點進行解題.

答|題|技|巧

第一步：根據(jù)題意判定動點的變化特性

第二步：找準定點和定長（圓心和半徑）

第三步：結(jié)合圓、三角形、四邊形的相關知識點進行解題，一般情況下會涉及最值問題

例1.（2022?廣西）

1.如圖，在△A3C中，ZACB^90°,AC=3,BC=4,點。在AC邊上，且AD=2,動

點尸在BC邊上，將小PDC沿直線尸。翻折，點。的對應點為E,貝必A防面積的最小值是

()

例2.(2022.北京)

2.如圖，在RtaABC中，NACB=90。，ZABC=30°,AC=6，點E是邊AC的中點,將

ASC繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AEC,點尸是邊上的一動點，則尸E長度的最大

值與最小值的差為.

模型02直角模型

考|向|預|測

點圓問題中的直角模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn),一般較為靠后，有一定難度，

該題型主要考查對圓性質(zhì)的的理解.實際題型中會結(jié)合直角三角形的相關知識點，對數(shù)形結(jié)

合的討論是解題的關鍵.許多實際問題的討論中需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相

等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求固定圖形問題.

答I題I技I巧

第一

觀察圖形特點，找準直角頂點和定長（圓的直徑）；

止.

少-

第二

利用圓與直角三角形的相關知識點進行解題；

止.

少?

第三涉及最值問題的圖形要考慮線段的轉(zhuǎn)化，熟練掌握共線問題、將軍飲馬問題、垂

止.

少-線段問題等相關知識點；

第四

數(shù)形結(jié)合進行分析、解答

止.

少?

例1.（2021?山東）

3.如圖，在正方形A3。中，AB=2,E為邊AB上一點，F(xiàn)為道BC上一點.連接DE和

AF交于點G,連接BG.若AE=3尸，則BG的最小值為.

例2.

4.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4,。）,點B是第一象限內(nèi)的一個動點并且使

ZOBA=90°，點C（0,3）,則8c的最小值為

模型03等弦對等角

考|向|預|測

點圓問題中的等圓對等角模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，近年在中考數(shù)學和各地的

模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn),

一般較為靠后，有一定難度.該題型主要考查動點的軌跡為定圓時，可利用：一定點與圓上

的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差

的性質(zhì)求解.解題時會考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造對應圖形解決問題，屬于中考中的壓軸題.

答|題|技|巧

第一步：觀察圖形特點，確定定弦和定角；

第二步：根據(jù)題意準確分析出動點的運動軌跡，并構(gòu)建適當圖形（三角形居多）；

第三步：利用四邊形、隱圓、直角三角形或相似的相關知識點解題；

例1.（2022?江蘇）

5.如圖，已知正方形A5CD的邊長為2,若動點E滿足ZBEC=45°,則線段CE長的最大

值為.

例2.（2023?重慶）

6.如圖，在邊長為6的等邊AABC中，點E,尸分別是邊AC,BC上的動點,^AE=CF,

連接3E,反交于點P,連接CP,則CP的最小值為.

強化訓練

（2023?廣東）

7.如圖，四邊形A5CD為矩形，AB=3,3C=4.點尸是線段8c上一動點，點M為線段AP

上一點.ZADM=ZBAP,則BM的最小值為（）

（2023?湖南）

8.如圖，菱形ABC。邊長為4,44=60。"是AD邊的中點聲是43邊上一動點，將△AMN

沿MN所在的直線翻折得到△A'MN,連接A'C,則A'C的最小值是（）

A.2月B,V3+1C.2a-2D.3

（2023?山西）

9.如圖，"BC中，/C=90°,NBAC=3?！?=2,點P從C點出發(fā),沿CB運動到點B

停止，過點8作射線"的垂線，垂足為。，點。運動的路徑長為（）

A?乎B.6C.華

（2023?廣州）

10.如圖，等邊三角形A3C和等邊三角形ADE，點N,點M分別為3C,DE的中點，

AB=6,AD=4,VADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，的最大值為

E

D

BC

（2023?云南）

11.如圖，在RtAABC中，ZACB=90,ABAC=30,BC=2,線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)至I」BD,

連AD,E為A。的中點，連接CE,則CE的最大值是—.

（2023?貴州）

12.如圖，正方形A8C。的邊長為4,點E為邊上一個動點,點尸在邊CD上,且線段

EF=4,點G為線段EF的中點，連接BG、CG,則BG+|CG的最小值為一.

（2022?天津）

13.如圖，在矩形A8C。中，AB=6,BC=5，點E在8c上,且CE=4BE，點/為矩形

內(nèi)一動點，使得NCME=45。，連接AM,則線段AM的最小值為.

（2023?貴陽）

14.如圖，矩形ABC。中，AB=20,AD=30，點E,尸分別是AB,3C邊上的兩個動點，

且印=10，點G為所的中點，點H為AD邊上一動點,連接CH、GH,則G//+CH的最

（2023?安徽）

15.等腰直角ABC中，BAC=90°,AB=5,點。是平面內(nèi)一點，AD=2,連接應）,將

繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到DE,連接AE,當<填度數(shù)>度時,AE

（2023?廣西）

16.如圖①，在ABC中，ZACB=90。，點DE分別是AB,3c邊上的點，且AC=8=3,

連接,ZG4E+ZA￡B=180°.

圖①圖②

（1）當/3=22.5。時，求證：8平分/ACB;

⑵當CD=如時，求黑Ap的值；

⑶如圖②，若點尸是線段AC上一點，且AF=1,連接叱，EF,EF交CD于點G，求DEF

面積的最大值.

通關試練

17.如圖，在矩形ABC。中，已知42=3,BC=4,點尸是邊上一動點（點產(chǎn)不與2,

C重合），連接AP,作點B關于直線AP的對稱點M,則線段MC的最小值為（）

C.3D.710

18.如圖，正方形ABC。的邊長是4，點E是邊上一動點，連接BE,過點A作AP,BE

于點尸，點P是AD邊上另一動點，則PC+PF的最小值為（）

A.5B.2岳-2C.6D.2君+2

19.如圖，在放ASC和R/VADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AC=AZ)=3,AB=AE=5.連

接BD,CE,將4ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當ND&4最大時，△ACE的面積

為（）.

A.6B.60C.9D.972

20.如圖，在RtaABC中，ZACB=90。,BC=3,AB=5,點。是邊8C上一動點，連接

AD,在AD上取一點E,使NZMC=NOCE,連接班,則BE的最小值為（)

C.如-2D.|

21.如圖，點P是正六邊形ABCD所內(nèi)一點，A5=4,當ZAP8=90。時,連接P。,則線

段PD的最小值是（）

C.6D.4>/3

22.如圖，矩形ABC。的邊A5=8,AD^6,M為3c的中點,尸是矩形內(nèi)部一動點，且滿

足NADP=NR4B,N為邊8上的一個動點，連接PN,MN,則PN+MN的最小值

為

23如圖在等邊ABC中，AB=6點DE分別在邊BC,AC±^,BD=CE，連接AD,BE

交于點月,連接CP,則NAfB=,CF的最小值是.

A

24.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2，點E是AC的中點，點尸是斜邊

A3上任意一點，連接斯，將△皿沿斯對折得到DEF,連接08,則V3Db周長的最

小值是.

25.如圖，在邊長為3的菱形A3CO中，ZA=60°,M是AD邊上的一點，S.AM=^AD,

N是A8邊上的一動點，將4WZV沿MN所在直線翻折得到A'MN,連接&C.則4c長度

的最小值是_________.

26.如圖，線段AB為。的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4,BC=2，點尸是。上

一動點，連接CP,以“為斜邊在PC的上方作Rt_PCD,且使4>CP=60°,連接0D,

則長的最大值為_.

O

27.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2,若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足/抬8=ZACP,

則點尸運動的路徑長為

28.如圖，RtABC中，ABJ.BC,AB=12,BC=8,尸是ABC內(nèi)部的一個動點,且滿

足/PAB=/PBC,連接PC,則線段CP長的最小值為.

29.(1)【學習心得】

小剛同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知

識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB^AC,N8AC=90。,D是AABC外一點，且AD^AC,求NBOC

的度數(shù)，若以點A為圓心，為半徑作輔助圓。A,則點C3必在。A上,N8AC是。A的

圓心角，而NBDC是圓周角，從而可容易得到/BDC=°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形A8C。中,ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求/BAC的度數(shù).

小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：AAB。的外接

圓就是以加的中點為圓心臺瓦)長為半徑的圓的外接圓也是以此的中點為圓心，

g瓦)長為半徑的圓.這樣ABCD四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質(zhì)求出

/8AC的度數(shù)，請運用小剛的思路解決這個問題.

(3)【問題拓展】

如圖3,在后⑶中，ZBAC=45°,是BC邊上的高，且BD=4,CD=2,求的長.

參考答案

1.A

【分析】連接8。，作點C關于的對稱點N,以點。為圓心，以QC為半徑作CN,過

點。作DMLAB于M,交CN于。.根據(jù)勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出DM

的長度，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出的長度，根據(jù)點E的運動軌跡確定當點E與點。重合

時，點E到A8的距離最短為QM,再根據(jù)三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：如下圖所示,連接BD，作點C關于BD的對稱點N,以點。為圓心,以DC

為半徑作CN,過點D作DM1AB于M,交CN于。.

VZACB=90°,AC=3,BC=4,DM±AB^M,

???ZAMD=ZACB,AB=7AC2+BC2=5.

?/ZMAD=ZCAB,AD=2,

...AAMDsAACB,DC=AC-AD=l.

.DM_AD_2

,DQ=DC=1.

2Q

DM=-BC=-.

55

3

QM=DM-DQ=-.

??,動點尸在BC邊上，△尸。。沿直線尸。翻折，點。的對應點為E,

：.DE=DC=DN.

???點E在CN上移動.

???當點￡與點。重合時，點E到AB的距離最短為QM.

]3

???AAEB面積的最小值為-ABQM=~.

故選：A.

【點撥】本題考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形面積公

式，綜合應用這些知識點是解題關鍵.

2.3A/3+6##6+3A/3

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得BC=6V3,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC=6,可得CE=2,

即點E在以C為圓心，CE為半徑的圓上，則當點C,點E,點尸共線，且「時，PE

長度最小，當點P與點夕重合，且點E在PC的延長線上時，尸E長度最大，然后求得最大

值與最小值的差即可求解.

【詳解】解：,ZC=90°,ZABC=30°,AC=6,

BC=6亞,

將ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到ABC，點E是邊AC的中點，

.\AC=AC=6,B'C'=BC=66CE=AE=3,

.??點E在以C為圓心，CE為半徑的圓上，

如圖，當點C,點二，點P共線，且PCLAE時，〃￡；‘長度最小，

PCLAB,ZABC=30°

:.P'C'=-B'C'=343,

2

.?.PE最小值為36-3.

當點尸與點9重合，目點￡在PC的延長線上時，PE長度最大,

則最大值為66+3

PE長度的最大值與最小值的差為6A/3+3-3#>+3=3^/3+6

故答案為：3^+6.

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、圓的基本認識，確定點E的軌跡是本

題的關鍵.

3.75-1.

【分析】根據(jù)SAS證明△DEA^AAFB,得/4?！?/氏4尸,再證明/。34=90。，進一步可

得點G在以AO為直徑的半圓上，且。，G,2三點共線時BG取得最小值.

【詳解】解：：四邊形ABC。是正方形，

ZABC-ZDAE,AD=AB,

,:AE=BF

：.^DEA^^AFB,

ZADE=ZBAF,

：.ZDAF+ZBAF=ZDAB=90°,

ZADE+ZDAF=90°

：.ZDGA=9Q°

；?點G在以為直徑的圓上移動，連接OB,OG,如圖：

22

在RtLAOB中,ZOAB=90°

:?OB==y/oA'+AB2=>/12+22=6

BG>OB-OG=OB-OA=45-\

.?.當且公當。，G,8三點共線時8G取得最小值.

.,.8G的最小值為：百-1.

【點撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形三邊關系，圓周

角定理等相關知識，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

4.713-2##-2+A/13

【分析】由/。班=90?？芍cB是以0A為直徑的圓上的動點，當BC過圓心時長度最小，

畫圖計算即可解題.

【詳解】解：如圖，以Q4為直徑作。，連接8,交。于點B,此時3c長最小，

???A（4,0）,C（0,3）,

OC=3,OA=4,

?*.0D=DB=2,

CD=^OC2+OD2=732+22=713

?*.BC=CD-DB=W-2.

故答案為：V13-2.

【點撥】本題考查90。的圓周角所對的弦是直徑，勾股定理，找到線段長最小位置是解題的

關鍵.

5.20

【分析】根據(jù)題意得出E是以AC為直徑的圓上的一個動點，利用勾股定理可得答案.

【詳解】解：NBEC=45。,

；?點E在以AC為直徑的圓上，如圖所示,

?.?正方形的邊長為2,

AC=7AB2+BC2=V22+22=2y[2,

???CE的最大值為2a,

當點E在BC的下方時，EC的最大值也是2夜,

故答案為：20.

【點撥】本題主要考查了圓周角定理、圓的基本性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，根據(jù)最大的弦是直徑

求得AC為CE的最大值是解題的關鍵.

6.273.

【分析】首先證明ZAP3=120。，推出點P的運動軌跡是以。為圓心，為半徑的弧.連

接C。交0。于P,當點P運動到P時,CP取到最小值.

【詳解】如圖所示，：邊長為6的等邊AABC,

AAC=AB=6,ZACB=ZCAB=60°

又：AE=CF

ACF^BAE(SAS)

：.ZCAP^ZPBA

：.NEPA=NPBA+ZPAB=ZCAP+NPAB=Z.CAB=60°

/APB=120。

二點尸的運動軌跡是以。為圓心，為半徑的弧

此時ZAO3=120。

連接C。交。。于P,當點P運動到P'時，CP取到最小值

VCA=CB,CO=CO,OA=OB

：.ACO=^BCO(SSS)

ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=ZBOC=60°

：.ZCAO=ZCBO=90°

又「AC=6

AB

J3rOC==-^=4>/3

/.6>P'=OA=ABtan30°=6x^-=2V3,cos30°石

3T

CP'=OC-OP'=4A/3-2V3=2A/3

即％0=26

故答案為：26

【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等

相關知識.關鍵是學會添加輔助線，該題綜合性較強.

7.D

【分析】證明/AMD=90。，得出點M在。點為圓心，以A。為半徑的圓上，從而計算出答

案.

【詳解】設的中點為0，以。點為圓心，A。為半徑畫圓

:四邊形ABCD為矩形

/.ZBAP+ZMAD=90°

ZADM=ZBAP

/.ZMAD+ZADM=90°

ZAMD=9Q)

二點〃在。點為圓心，以A。為半徑的圓上

連接。2交圓。與點N

???點2為圓。外一點

當直線過圓心。時，最短

VBO2=AB2+AO2,AO=^AD=2

/?BO1=9+4=13

/.B0=y/13

*/BN=BO-AO=^V3-2

故選：D.

【點撥】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關知

識.

8.C

【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中A，在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，

當AC取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A；C三點共線，得出A，的位置，過

點M作MHXDC于點H,再利用含30。的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長，

進而求出A，C的長即可.

【詳解】解：如圖所示，：MA，是定值，AC長度取最小值時,即A，在MC上.

過點M作MHJ_DC于點H,

:在邊長為4的菱形ABCD中，/MAN=60°,M為AD的中點，

；.2MD=AD=CD=4,ZHDM=ZMAN=60°,

，MD=2,ZHMD=30°,

.\HD=|MD=I,

:.HM=dDM?—DH。=6,CH=CD+DH=5,

?*-MC=yJCH2+MH2=277,

；.A，C=MC-MA，=2b-2;

【點撥】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題的關

鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，突破點是正確尋找點A，的位置.

9.D

【分析】由AQ±BQ,得點。在以AB為直徑的0。上運動，運動路徑為8c,連接0C,代

入弧長公式即可.

【詳解】

...點。在以AB為直徑的O。上運動，運動路徑為8C，連接0C，

???CO=OA=1,

：.ZCOB=2ZCAB=60°,

?AA位60x?xl7i

??尤的長為一^=可’

故選：D.

【點撥】本題主要考查了圓周角定理，弧長公式，確定點。在以AB為直徑的。。上運動是

解題的關鍵.

10.5A/3

【分析】由題可知：點M在以點A為圓心，A”為半徑的圓上，連接AM,4V,則：

AM+AN>MN,當A,N,M三點共線時，的值最大，進行求解即可.

【詳解】解：連接AM,4V,

:等邊三角形A5c和等邊三角形ADE點N點M分別為8CQE的中點，A3=6,AD=4,

AM±DE,AN±BC,DM=2,BN=3,

AN=>JAB2-BN2=3A/3,AM=-DM2=243,

：VADE繞點A旋轉(zhuǎn)，

；?點M在以點A為圓心，AM為半徑的圓上，

AM+AN>MN,

.?.當AN,M三點共線時，MN的值最大，

D

B

即：MN=AM+AN=5yfi；

故答案為：5省.

【點撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，以及借助圓，求線段的最值.解

題的關鍵是確定點”在以點A為圓心,AM為半徑的圓上.

11.3

【分析】通過已知求得。在以8為圓心，8。長為半徑的圓上運動，為的中點，

???E在以54中點為圓心，|劭長為半徑的圓上運動，再運用圓外一定點到圓上動點距離的

最大值=定點與圓心的距離+圓的半徑，求得CE的最大值.

【詳解】解："C=2,線段BC繞點8旋轉(zhuǎn)到8。，

：.BD=2,

：.-BD=l.

2

由題意可知，。在以B為圓心，3。長為半徑的圓上運動，

YE為AO的中點，

在以中點為圓心，J劭長為半徑的圓上運動，

CE的最大值即C到BA中點的距離加上:劭長.

VZACB=90,ZBAC=30,BC=2,

???C到BA中點的距離即1AB=2,

又???加=1,

???CE的最大值即;AB+；BD=2+1=3.

故答案為3.

【點撥】本題考查了與圓相關的動點問題，正確識別E點運動軌跡是解題的關鍵.

12.5

【分析】因為。G=gEE=2,所以G在以。為圓心，2為半徑圓上運動，取。/=1,可證

△GDSACDG,從而得出GI.CG,然后根據(jù)三角形三邊關系，得出卻是其最小值

【詳解】解：如圖,

在RtADEF中,G是￡尸的中點，

：.DG=-EF=2,

2，

???點G在以。為圓心，2為半徑的圓上運動，

在。上截取。/=1,連接G/,

.DIDG

''~DG~~CD'

：.ZGDI=ZCDG,

:AGDIsACDG,

.IGD1=1

"-2'

：.IG=-CG,

2，

Z.BG+-CG=BG+IG>B1,

2一

???當B.G、/共線時，BG+gCG最小=BI,

在RSBC7中,C7=3,BC=4,

故答案是：5.

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點G的運動軌跡是解題的關

鍵.

13.5-2&##-2&+5

【分析】作的外接圓。得到點〃的軌跡是矩形內(nèi)以。為圓心,0E為半徑的。，

連接OA.OE.OC,04交。于川，分析得到當M與心重合時，AM取得最小值.分別過

點。作OH±EC于點"過點。作OGLAB于點G根據(jù)圓的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】???5C=5,CE=4BE

：.CE=4,

如圖，作的外接圓O，點〃的軌跡是矩形內(nèi)以。為圓心,?！隇榘霃降?。，連接

當M與V重合時，AM取得最小值.

過點。作3,EC于點

,/ZCME=45°

ZEOC=90°,

：.OM'=OE=OC=2?，OH=EH=CH=2,

過點。作。GLAS于點G,

:.BG=OH=2,OG=BH=BE+EH=3,AG=6-2=4,

；?OA^>]AG2+OG2=5,

貝！|AAT=OA-Om=5-20.

故答案為：5-272.

【點撥】本題考查動點問題.涉及圓的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理.解題的關鍵是找到點

加的軌跡.

14.45

【分析】因為防=1。，點G為斯的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出BG=5,

所以G是以8為圓心，以5為半徑的圓弧上的點，作C關于AD的對稱點C,連接C5,

交AD于H,交以8為圓心，以5為半徑的圓于G,止匕時C'G=G"+C"的值最??；根據(jù)勾

股定理求得BC問題可求.

【詳解】解：連接3G,

:矢巨形ABC。，

：.AB=CD=20,AD=BC=30,ZABC=Z.BCD=90°,

;點G為E尸的中點,

/.BG=>EF=5,

2

???點G在以8圓心，5為半徑的圓在與長方形重合的弧上運動，

作C關于A。的對稱點C,連接C5，交AD于H,交以3為圓心，以5為半徑的圓于G,

由兩點之間線段最短，此時C5的值最小，

最小值為Vsc2+CC'2=A/302+402=50,

即：GA+Ctf的最小值為50—5=45,

故答案為：45.

【點撥】本題考查了最短路徑問題，考查了點與圓的位置關系，軸對稱圖形的性質(zhì)以及勾股

定理.關鍵在于將所求折線和轉(zhuǎn)化兩定點之間的連線長問題.

15.1355+20

【分析】連接CE、BE.先證明ADBsCEB，則CE=2后，ZDAB=135°,點E在以點

C為圓心，CE長為半徑的圓周上運動，當A、C、E在同一直線上上AE最長，據(jù)此解答

即可.

【詳解】解：如圖一，連接CE、BE.

ABC是等腰直角三角形，

:.AC=BC,ZCBA=ZBCA=45°,

將BD繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DE,

:.ED=BD,ZCED=45°,

:.ZABD=NCBE,

AB_1_DB

:.AADB^Z\CEB,

CE=42AD=y/2x2=242.

ZDAB=ZECB=180°-ZACB=135°,

如圖二，

E

/一r~~、

//IA\'、、'、

?I//ky0\\?I

■■點E在以點C為圓心，CE長為半徑的圓周上運動，

當A、C、E在同一直線上AE最長，

AE=AC+CE=5+2^2,

故答案為：135;5+2正

【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，點

到圓上距離的最值問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

16.⑴見解析

⑵6+1

（3）1^11-3

2

【分析】(1)證明/C4E=NCE4彳導出AC=CE,從而彳導出AC=CD=CE,再證明

ZACD=/BCD即可得證；

(2)以點C為圓心，C4長為半徑作圓，過點E作即，AB于尸，證明ACD是等邊三角形，

得出NC4D=60。，CD=AD=3D=3,.刀收是等腰直角三角形，得出DP=EP,設

DP=EP=x，貝UBP=3-x，結(jié)合tanB=*=空=白,求出》的值，然后證明

3BP3-x

AC￡SADP后即可得出答案；

(3)由勾股定理得出所二萬，當時，CG取得最小值，此時，點。到石尸的距

離取得最大值，即。即的面積取得最大值，求出。G最大=3-誓,即可得解.

【詳解】(1)證明：ZCAE+ZAEB=180°,ZCEA+ZAEB=180°,

???ZCAE=ZCEA,

AAC=CE,

AC=CD,

AC=CD=CE,

VZB=22.5°,ZACB=90°,

??

?ACAD=ZCDA=90°-22.5°=67.5°z

???NACD=180?！?x67.50=45。,

J/BCD=90?！?5。=45。，

JZACD=ZBCD,

???CD平分/ACS;

(2)解：由(1)得：AC=CD=CE,

如圖①,以點。為圓心，C4長為半徑作圓，過點E作￡尸，移于尸，

c

圖①

■:CD=BD,

：.ZDCB=ZB,

VZACD+ZBCD=90°,ZCAD+ZB=90°,

：.ZACD=ZCAD,

：.CD=AD,

AC=CD,

：.AC=CD=AD,

ACD是等邊三角形，

AZCAD=6Q°,CD=AD=BD=3,

AZB=30°,

ZACB=90°,

：.ZADE=180°--ZACB=180°--x90°=135°

22'f

AZ￡Z)P=180o-135°=45°,

???一。PE是等腰直角三角形，

???DP=EP,

設DP=EP=x,則防=3-%,

在RtBEP中八陋8=昱=里=上

3BP3-x

解得：x=①2,

2

VZACE=90°,AC=CE,

???NC4E=45。，

???ZCAE=ZPDE,

ZACE=ZDPE=90°,

：.ACEs,DPE,

空=江=43+1

DEDP3V3-3；

2

(3)解：由(1)得：AC=CD=CE,

如圖②，以點C為圓心，C4長為半徑作圓，

VCE=CD=3,CF=AC-AF=3-1=2,ZACB=90°,

；?EF=VCF2+CE2=V22+32=V13,為定值，

：8為定值，

???當CD，EF時，CG取得最小值，

此時，點。到斯的距離取得最大值，即一DEF的面積取得最大值，

,；S,cEF=gcFCE=gEFCG最小,即:x2x3=gx小xCG.,

解得：CG最小=,

,AG最大=CO-CG最小=3一誓,

跖最大最大一誓］=浮一3.

【點撥】本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與

性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓的性質(zhì)、銳

角三角函數(shù)的定義以及三角形面積等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關

鍵.

17.A

【分析】根據(jù)對稱性得到動點M的軌跡是在以A圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點圓模型，

在矩形中利用勾股定理求出線段長即可.

【詳解】解：連接AM,如圖所示：

?，點8和M關于4尸對稱，

在以A圓心，3為半徑的圓上,

.?.當A,M,C三點共線時，OW最短，

??.在矢巨形中,AC=打+4?=5,

AAf=AB=3,

ACM=5-3=2,

故選：A.

【點撥】本題考查動點最值問題，解題過程涉及到對稱性質(zhì)、圓的性質(zhì)、矩形性質(zhì)、勾股定

理等知識點，解決問題的關鍵是準確根據(jù)題意得出動點軌跡.

18.B

【分析】作CB關于DA的對稱點CB',以AB中的O為圓心作半圓。，連。。分別交DA

及半圓。于P、尸.將PC+PF轉(zhuǎn)化為CF找到最小值.

【詳解】解：如圖：取點C關于直線DA的對稱點C.以48中點0為圓心，。4為半徑畫

半圓.

連接0C交DA于點尸，交半圓。于點尸，連接AF.連接8尸并延長交DA于點E.

由以上作圖可知，AFLEB于尸.

PC+PF=PC，+EF=CF

由兩點之間線段最短可知，止匕時PC+PF最小.

：CE=4,。9=6

,,CO=A/42+62=2-J13i

；.”=2a-2,

???PC+PF的最小值為2舊-2,

故選：B.

【點撥】本題考查線段和的最小值問題，通常思想是將線段之和轉(zhuǎn)化為固定兩點之間的線段

和最短.

19.A

【分析】先分析出。的軌跡為以A為圓心的長為半徑的圓，當8。與該圓相切時,/DBA

最大，過C作CfUAE于F,由勾股定理及三角函數(shù)計算出8。。尸的長，代入面積公式求

解即可.

【詳解】解：由題意知，。點軌跡為以A為圓心A。的長為半徑的圓,

當8。與。點的軌跡圓相切時,/Q54取最大值，此時/8ZM=90。，如圖所示，

過C作CP_LAE于F，

,?ZDAE=90°,ZBAC=90°,

/CAF=/BAD,

在放△A3。中，由勾股定理得：BD=V52-32=4,

???由sinZCAF=sinZBAD：

CFBD

~AC~~AB，

CF_4

即Bn,

12

解得：CF=y,

I19

,此時三角開鄉(xiāng)ACE的面積=-Xyx5=6,

故選：A.

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點.此題綜合性較強，解

題關鍵是利用。的軌跡圓確定出/DBA取最大值時的位置.

20.C

【分析】根據(jù)/OCE+/ACE=90。，/DCE=ND4C，確定NZMC+/ACE=90。即/AEC=90。，

取AC的中點F,當AE/三點共線時，BE最小,根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：：ZACB=90°,

ZDCE+ZACE=9Q°,

,?/DCE=/DAC,

???/ZMC+NACE=90。即/AEC=90。，取AC的中點F,當B.E.F三點共線時，BE最小,

VZACB=90°,BC=3,AB=5,

；.AC=4,

：.AF=CF=EF=2,

；?BF=7CF2+BC2=A/22+32=713

：.BE=BF-EF=4l3-2,

故選C

【點撥】本題考查了勾股定理，直角三角形的判定，斜邊上的中線等于斜邊的一半，兩點之

間線段最短原理，取AC的中點F,準確構(gòu)造兩點之間線段最短原理是解題的關鍵.

21.B

【分析】取AB中點G,連接BD,過點C作CH±BD于"，則BG=2,先求出8。=46，

然后根據(jù)/AP8=90。，得到點尸在以G為圓心，為直徑的圓上運動,則當D.P、G三點

共線時，OP有最小值，由此求解即可.

【詳解】解：取中點G,連接BD,過點。作CHLBD于H,則BG=2,

V六邊形ABCDEF是正六邊形，

.,（6-2）x180°

:.NBCD=\---------------=120°,CD=BC=AB=4,

6

：.BH=DH,NDCH=NBCH=L/BCD=60。,

2

/.DH=CD-sinZDCH=2y/3,

：.BD=4^,

,：ZAPB=90°,

.,?點尸在以G為圓心，AB為直徑的圓上運動，

當D.P、G三點共線時,。尸有最小值，

在RdBOG中，DG=JBG1+BD2=2位,

：.PD=DG-PG=2y/13-?.,

故選B.

【點撥】本題主要考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓外一點到圓

上一點的最值問題，確定當D.P、G三點共線時，OP有最小值是解題的關鍵.

22.7

【分析】本題考查了軸對稱一最短路線問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，先找出點尸的運動路

線為以AD為直徑的圓，作以AD為直徑的。，作點M關于直線。C的對稱點，連接

OM'交。于點P',連接MN,OP,推出PN+的最小值為O"-3,再求出OM'的長

度即可，推出PN+MN的最小值為OW-3是解此題的關鍵.

【詳解】解：：四邊形ABC。是矩形，

?*.NBAD=90：

ZADP=ZPAB,

：.ZADP+ZPAD=ZPAB+ZPAD=ZBAD=90°,

???點尸的運動路線為以AD為直徑的圓，

作以AD為直徑的。，作點M關于直線DC的對稱點M',連接OM，交。于點P',連接

MN,0P,

貝[]OP=OP'=3,MN=MN,

：.PN+MN=PN+M'N=PN+M'N+OP-OP'>OM'-OP'=OM'-3,

：.PN+MN的最小值為OM'-3;

連接OM,

V四邊形ABC。是矩形，點。是AD的中點，點M為BC的中點，

/.OD=-AD=-BC=CM=3,OD//CM,NODC=90。,

22'''

???四邊形。MCD是矩形，

OM=DC=AB=8,

?，點M關于直線0c的對稱點,

M'M=2MC=6,

在RtjVTO似中，由勾股定理，得OM'=y/OM2+MM2==10,

PN+MN的最小值為W-3=10-3=7,

故答案為：7.

23.120°##120度2幣＞

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓的有關性質(zhì)

等知識，首先證明ZAF3=120。，推出點廠的運動軌跡是。為圓心，Q4為半徑的弧上運動

(408=120。，OA=243),連接0c交。于N,當點尸與N重合時，CT的值最小，解

題的關鍵是學會添加輔助圓解決問題.

【詳解】解：如圖，

ABC是等邊三角形，

BD

AB=BC=AC,ZABC=ABAC=NBCE=60°,

?/BD=CE,

.?…ABO/=3CE（SAS）,

/.ZBAD=ZCBE,

XVZAFE=ZBAD+ZABE,

ZAFE=ZCBE+ZABE=ZABC,

?*.ZAFE=60°,

：.ZAfB=120°,

二點下的運動軌跡是。為圓心，Q4為半徑的弧上運動，

在弧A5上任取一點G,連接AG、BG,則NG+ZA7中=180。，

:.ZG=60°f

.\ZAOB=2ZG=120°,

OA=OB,

180°-ZAOB

:.ZOAB=ZOBA==30°

2

/.ZOBC=ZOAC=300+60°=90°,

OA=OB,BC=AC,OC=OC,

oec(sss),

:.ZBOC=ZAOC=6Q0,

/.ZOCB=ZOCA=90°-60°=30°,

:.OC=2OB=2OA,

O^+AC2=OC2,

二.OT+62=(204)2,

:.OA=2^3,OC=4y/3,

連接。。交。于N,當點尸與N重合時，b的值最小,

最/」\值=OC—ON=4G—26=26.

故答案為：120。，2百,

24.4+V7-V3

【分析】以點石為圓心，AE為半徑作圓，連接班，交歸于點DC,此時08的長度最小，

=

即CBD,F+FB+BD'=AF+FB+BD'=AB+BD'z過七作￡211_LAB于點〃，

根據(jù)勾股定理求出即可求解.

【詳解】解：在RtZ\ABC中,ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,

/.AB=4,

AC=yjAB2-BC2=A/42-22=26,

如圖，以點E為圓心,AE為半徑作圓,連接BE,交￡于點屏，

此時。B的長度最小，

???將△皿沿所對折得到QEF,且點E是AC的中點,

AF=D'F,AE=DE=6,

*/CDL)r=D'F+FB+BD'^AF+FB+BD'=AB+BD'，

，此時VBLW的周長最小，

過后作出，45于點

/.EM=-AE