高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第22講 11.1.511.1.6祖暅原理與幾何體的體積

.1.6祖暅原理與幾何體的體積TOC\o"1-3"\h\u題型1柱體的體積 2題型2錐體的體積 3題型3臺(tái)體的體積 9題型4球體的體積 15題型5組合體的體積 18題型6祖暅原理的應(yīng)用 23知識(shí)點(diǎn)一.祖原理的含義及應(yīng)用1.內(nèi)容：冪勢(shì)既同，則積不容異.2.含義：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.3.應(yīng)用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等.知識(shí)點(diǎn)二.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3題型1柱體的體積【方法總結(jié)】柱體分類和柱體的體積公式。1.柱體分類：柱體可分為棱柱和圓柱。圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體。2.柱體體積的計(jì)算公式：柱體的體積都等于柱體的底面積與柱體高的乘積，即"柱體體積=柱體底面積×柱體高”?！纠}1-1】底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是（） B．1 C． D．【答案】A【解析】底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是故選：A【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為3的正方體A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分點(diǎn)，過(guò)A、D1、M作正方體的截面，則這個(gè)截面將正方體分成兩部分的體積之比（體積較小的與體積較大的之比）為（

）A．13 B．518 C．827【答案】D【分析】作出截面圖形，利用割補(bǔ)法求兩部分體積即可.【詳解】如圖所示，正方體的截面為D1AFM，將體積較小的部分補(bǔ)成一個(gè)三棱錐設(shè)B1E=x，由MB較小部分體積為V1較大部分體積為V2=3×3×3?故選：D【例題1-2】如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．πB．2πC．4πD．8π【解析】由于側(cè)面積為4π，∴2πrh＝4π，且h＝2r，∴r＝eq\f(h,2)＝1，∴V＝πr2h＝2π.【變式1-2】(多選)圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)12cm，寬8cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是()A．eq\f(288,π)cm3B．eq\f(192,π)cm3C．288πcm3D．192πcm3【解析】當(dāng)圓柱的高為8cm時(shí)，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))2×8＝eq\f(288,π)(cm3)，當(dāng)圓柱的高為12cm時(shí)，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))2×12＝eq\f(192,π)(cm3)．題型2錐體的體積【方法總結(jié)】錐體分類和錐體的體積公式。1.錐體分類：錐體可分為棱錐和圓錐。圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體。2.錐體體積的計(jì)算公式：錐體的體積都等于eq\f(1,3)錐體的底面積與錐體高的乘積，即"錐體體積=eq\f(1,3)錐體底面積×錐體高”。【例題2-1】如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱錐的體積為：故選：C【變式2-1】1.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，∴該四棱錐的體積.故選：C.【變式2-1】2．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，大正方形的中心與小正方形的中心重合，且大正方形邊長(zhǎng)為32，小正方形邊長(zhǎng)為2，截去圖中陰影部分后，翻折得到正四棱錐PA．233 B．253 C．【答案】C【分析】取BC的中點(diǎn)M，連接FM，連接AC交GF于N，根據(jù)題意可求出CN，進(jìn)而求出正四棱錐的高，代入棱錐體積公式求出體積.【詳解】如圖：取BC的中點(diǎn)M，連接FM，連接AC交GF于N，如圖.由題意知FM⊥BC，設(shè)∠FCB=θ在直角三角形CFN中，NFCF=sinπ所以23cosθ結(jié)合sin2θ+cos2所以CF=32過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面EFGH如圖則正四棱錐P?EFGH的高所以正四棱錐P?EFGH的體積故選：C【變式2-1】3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長(zhǎng)方體，分成兩個(gè)一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐，這個(gè)四棱錐稱為陽(yáng)馬，這個(gè)三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個(gè)鱉臑的體積是1，則原長(zhǎng)方體的體積是（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)柱體和錐體體積公式求得正確答案.【詳解】如圖所示，原長(zhǎng)方體ABCD?設(shè)矩形BCC1B1的面積為鱉臑D1?BC即13×1即原長(zhǎng)方體的體積是6.故選：B【變式2-1】4．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）在正四棱錐S?ABCD中，M為SC的中點(diǎn)，過(guò)AM作截面將該四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為V1【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，作出過(guò)AM的正四棱錐S?ABCD的截面，再求出【詳解】記正四棱錐S?ABCD的體積為V，V2V1設(shè)過(guò)AM的截面分別交SB和SD于E,F，平面SAC與平面SBD的交線為SO,SO與則SG=23SO，令SESBV=y當(dāng)且僅當(dāng)x=y=所以V2故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.【例題2-2】已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面周長(zhǎng)為，則它的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，因?yàn)榈酌嬷荛L(zhǎng)為，所以，解得，又因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為5，所以h=4，所以圓錐的體積是故選：B【變式2-2】1.（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1cm，側(cè)面積為2πcm2，則該圓錐的體積為______【答案】3【分析】利用側(cè)面積求母線長(zhǎng)，然后求高即可.【詳解】底面半徑為1cm側(cè)面積：π所以l所以高：?=所以體積：V=故答案為：3【變式2-2】2.已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A．3 B． C．9 D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則母線長(zhǎng)為，則圓柱的側(cè)面積為，故表面積為，得①，又底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開半圓的弧長(zhǎng)，故，即，得②，聯(lián)立①②得：，.故該圓錐的體積為.故選：B.【變式2-2】3.若一個(gè)圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比是()A．1B．1∶2C.eq\r(3)∶2D．3∶4【解析】設(shè)圓柱、圓錐的高都為h，底面半徑分別為r，R，則有eq\f(1,2)·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(4,3)πr2h，V圓柱＝πr2h，故V圓柱∶V圓錐＝3∶4.【變式2-2】4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，一倒立的圓錐和一個(gè)底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高H的液體，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，H=3R【答案】1【分析】由題意可得H=【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面為等腰直角三角形，且H=則圓錐的水面圓的直徑為2H由V1所以V1＝V2，即V1故答案為：1題型3臺(tái)體的體積【方法總結(jié)】柱體、臺(tái)體、錐體的體積公式之間的關(guān)系V【例題3-1】（2023春·湖南岳陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某正四棱臺(tái)容器兩個(gè)底面邊長(zhǎng)分別為20cm和30cm，容積為19升，則它的高為（

）A．20cm B．24cm C．28cm D．30cm【答案】D【分析】設(shè)正四棱臺(tái)的高為?cm【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的高為?cm，則V∴?故選：D【變式3-1】1.正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中,O1,O分別是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=3,AB=23.(1)求正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積;【解析】由題意得,正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上底面面積為34×(3)2=334,下底面面積為34×(23)13×334+3(2)設(shè)A1B1,AB的中點(diǎn)分別為M1,M,則O1M1=12所以正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的斜高M(jìn)1M=(3)2所以正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的側(cè)面積為3×12×(3【變式3-1】2.我國(guó)古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載:“今有方錐,下廣二丈,高一丈.欲斬末為方亭,令上方六尺.問(wèn):斬高幾何?”大致意思是:有一個(gè)正四棱錐的下底面邊長(zhǎng)為二丈,高為三丈,現(xiàn)從上面截去一段,使之成為正四棱臺(tái),且正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為六尺,則截去的正四棱錐的高是多少?如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺(tái)的體積,則該正四棱臺(tái)的體積是(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺 B.3892立方尺C.7784立方尺 D.11676立方尺【解析】B如圖所示,正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2丈,即AB=20尺,高3丈,即SO=30尺.截去一段后,得正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1,且上底面邊長(zhǎng)A1B1=6尺,∴30?OO130=∴該正四棱臺(tái)的體積是13×21×(202+20×6+62【變式3-1】3.如圖所示,已知三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積為V,AB=2A1B1,截去三棱錐A1-ABC后,剩余部分的體積為()A.14V B.23V C.37V 【答案】C設(shè)三棱臺(tái)的高為h,上底面A1B1C1的面積為S上,下底面ABC的面積為S下.因?yàn)锳B=2A1B1,所以S下=4S上,所以三棱臺(tái)的體積V=13(S上+S下+S上S下)h=13(5S上+4S上2)h=73S上h.三棱錐A1-ABC的體積為1【變式3-1】4．（2023春·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺(tái)為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺(tái)．已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為1:4，高為2，體積為563A．24 B．12 C．245 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得正四棱臺(tái)的側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，先計(jì)算側(cè)面的高，然后利用梯形的面積公式代入計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，記正四棱臺(tái)為ABCD?側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，把該四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐如圖，設(shè)M是底面ABCD上AC與BD的交點(diǎn)，N是底面A1B1C1則PM是正四棱錐P?ABCD的高，MN為正四棱臺(tái)設(shè)A1B1=a，AB由題意a2:b在△PAB中，PA1在△PAM中，PA1PA=又VABCD?A1B所以PA=所以側(cè)棱長(zhǎng)AA1是6，由勾股定理可得側(cè)面的高為所以側(cè)面積為S=4×故選：D【變式3-1】5．（2023春·全國(guó)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中國(guó)某些地方舉行婚禮時(shí)要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個(gè)裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意糧食滿園、稱心如意、十全十美，下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，該升斗外形是一個(gè)正四棱臺(tái)，上、下底邊邊長(zhǎng)分別為20cm，10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為10cm，忽略其壁厚，則該升斗的容積為_________cm3【答案】3500【分析】先求出四棱臺(tái)的高，再根據(jù)四棱臺(tái)的體積公式計(jì)算.【詳解】上下底面對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為：202,102，∴上底面的面積S1=202=400四棱臺(tái)的體積V=故答案為：35002【例題3-2】已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是____________.【解析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r和R，母線長(zhǎng)為l，高為h，則S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝π(r＋R)l＝6π，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋1×2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3)π,3).【變式3-2】1.（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)球內(nèi)接圓臺(tái)，已知圓臺(tái)上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為100π，則該圓臺(tái)的體積為（

）A．175π3 B．75π C．238π3 【答案】D【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過(guò)軸截面求出圓臺(tái)的高，進(jìn)一步求出圓臺(tái)的體積.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)外接球的表面積S=4πr2設(shè)圓臺(tái)的上?下底面圓心分別為O2,O連接OO因?yàn)閳A臺(tái)上?下底面的半徑分別為3和4，所以|OB|=|OA所以O(shè)O1=所以O(shè)1所以圓臺(tái)體積V=故選：D.【變式3-2】2.設(shè)圓臺(tái)的高為3，如圖，在軸截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，則圓臺(tái)的體積為____________.【解析】設(shè)上、下底面半徑，母線長(zhǎng)分別為r，R，l.作A1D⊥AB于點(diǎn)D，則A1D＝3，∠A1DA＝∠A1DB＝90°，又∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)＝eq\r(3)，∴R－r＝eq\r(3).∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3.∴V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.∴圓臺(tái)的體積為21π.題型4球體的體積【方法總結(jié)】球的體積公式：半徑是R的球的體積計(jì)算公式是V＝eq\f(4,3)πR3，公式中R為球的半徑，V為球的體積。【例題4】（2023春·北京海淀·高一人大附中?？奸_學(xué)考試）正方體ABCD?A1B1C1A．π6 B．π3 C．2π3【答案】A【分析】T表示的幾何體為以A為球心，1為半徑的18【詳解】由題意，可知T表示的幾何體為以A為球心，1為半徑的18則T=故選：A.【變式4-1】1．（2023秋·天津南開·高一校考階段練習(xí)）如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S?ABCD，該四棱錐的體積為A．23π B．429π 【答案】C【分析】設(shè)半球的半徑為R，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接SO，利用四棱錐的體積公式求出半徑【詳解】依題意，設(shè)半球的半徑為R，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接則有AO=BO=所以正四棱錐S?VS解得：R=所以半球的體積為：V=故選：C.【變式4-1】2．（2023·福建廈門·統(tǒng)考二模）西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實(shí)用的泡茶工具（如圖1）．西施壺的壺身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體．球缺的體積V＝A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml【答案】A【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，進(jìn)而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)球的體積公式和球缺的體積求解即可.【詳解】如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，依題意，AB=6cm，O為球心，D為壺口所在圓的圓心，所以AD因?yàn)镈E=8cm，所以O(shè)D=OE=4，且所以球的半徑R=5cm，所以球缺的高?所以球缺的體積V＝π（3所以該壺壺身的容積約為：V=故選：A.【變式4-1】3．（2021春·陜西漢中·高一統(tǒng)考期中）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為43的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為4π【答案】256π3##【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑，再求出球的體積作答.【詳解】依題意，球被正方體的面所截小圓半徑r=2，而球心到截面小圓距離為d因此該球的半徑R=所以該球的體積V=故答案為：256π題型5組合體的體積【方法總結(jié)】求組合體體積的方法求解幾何體的體積時(shí)還經(jīng)常用割補(bǔ)法．補(bǔ)法是指把不規(guī)則的(或復(fù)雜的)幾何體延伸或補(bǔ)成規(guī)則的(或簡(jiǎn)單的)幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形；割法是把不規(guī)則的(或復(fù)雜的)幾何體切割成規(guī)則的(或簡(jiǎn)單的)幾何體．【例題5】如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高_(dá)______．【答案】8【解析】由題意得半球的半徑和圓錐底面圓的半徑，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則半球的體積等于圓錐的體積所以故答案為：8【變式5-1】1.如右圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周．求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．【答案】如題圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a.∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a.∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐．由上述計(jì)算知，圓柱的母線長(zhǎng)為eq\r(3)a，底面半徑為2a，圓錐的母線長(zhǎng)為2a，底面半徑為a.∴圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2.∴組合體上底面面積S5＝S3－S4＝3πa2.∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個(gè)圓柱的體積減去一個(gè)圓錐的體積．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3.V錐＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.【變式5-1】2．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱燈節(jié)，很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈．下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為40cm和20cm，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為10cm和60cm，則該花燈的體積為（

）A．460003cm3C．500003cm3【答案】C【分析】根據(jù)給定的幾何體，求出正六棱臺(tái)兩底面積，再利用臺(tái)體、柱體的體積公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，花燈的體積等于上面的正六棱臺(tái)體積與下面的正六棱柱體積的和，正六棱臺(tái)的兩個(gè)底面積分別為S1=6×3所以花燈的體積V=500003故選：C【變式5-1】3.如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，H，G分別是BD，CD的中點(diǎn)，若將正三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積．【答案】該旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐挖去一個(gè)圓柱后形成的幾何體．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，則R＝2，r＝1，l＝4，h＝eq\r(3).所以圓錐的表面積S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圓柱的側(cè)面積S2＝2πrh＝2π×1×eq\r(3)＝2eq\r(3)π.所以所求幾何體的表面積S＝S1＋S2＝12π＋2eq\r(3)π＝(12＋2eq\r(3))π.【變式5-1】4.若直角梯形的一個(gè)底角為45°，下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的eq\f(3,2)，這個(gè)梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積是(5＋eq\r(2))π，求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積．【答案】如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，繞AB邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成的幾何體．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)CD＝x，AB＝eq\f(3,2)x，則AD＝CE＝BE＝AB－CD＝eq\f(x,2)，BC＝eq\f(\r(2),2)x.S表＝S圓柱底＋S圓柱側(cè)＋S圓錐側(cè)＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC＝π·eq\f(x2,4)＋2π·eq\f(x,2)·x＋π·eq\f(x,2)·eq\f(\r(2),2)x＝eq\f(5＋\r(2),4)πx2.根據(jù)題設(shè)，eq\f(5＋\r(2),4)πx2＝(5＋eq\r(2))π，則x＝2.所以旋轉(zhuǎn)體的體積V＝π·AD2·CD＋eq\f(π,3)·CE2·BE＝π×12×2＋eq\f(π,3)×12×1＝eq\f(7π,3).【變式5-1】5．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）對(duì)食道和胃粘膜有刺激性的粉末或顆粒，或口感不好、易于揮發(fā)、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入氣管的藥需要裝入膠囊，既保護(hù)了藥物藥性不被破壞，也保護(hù)了消化器官和呼吸道．在數(shù)學(xué)探究課中某同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)“膠囊形”的幾何體，由一個(gè)圓柱和兩個(gè)半球構(gòu)成，已知圓柱的高是底面半徑的4倍，若該幾何體表面積為108π，則它體積為（

）A．72π B．96π C．108π D．144π【答案】D【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，可求得該幾何體表面積為12πr2=108π【詳解】∵設(shè)圓柱的底面半徑為r，則球的半徑為r，圓柱的高是4r∴圓柱的側(cè)面積為2πr×4r∴該幾何體表面積為8πr2+4π∴該幾何體的體積為πr故選：D．【變式5-1】6．（2022秋·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）如圖1是唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕很杯，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）.當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積為Scm2，半球的半徑為RcmA．2π,10C．2π,+∞ 【答案】D【分析】設(shè)圓柱的高為?，根據(jù)圓柱的表面積公式求得?，再根據(jù)圓柱和球的體積公式求出酒杯的容積，結(jié)合?>0【詳解】設(shè)圓柱的高為?，則S=2πR又?>0，∴S?2πR酒杯的容積V由酒杯的容積不大于半球體積的2倍，∴SR∴S≤103π所以SR的取值范圍是2π故選：D【變式5-1】7．（多選）（2022春·安徽蕪湖·高一?？计谥校┤鐖D1，一個(gè)密閉圓柱體容器的底部鑲嵌了同底的圓錐實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水.平放在水平的地面上，水面正好過(guò)圓錐的頂點(diǎn)P，若將容器倒置如圖2，水面也恰過(guò)點(diǎn)P.以下命題正確的是（

）A．圓錐的高等于圓柱高的1B．圓錐的高等于圓柱高的3C．將容器一條母線貼地，水面也恰過(guò)點(diǎn)PD．將容器任意擺放，當(dāng)水面靜止時(shí)都過(guò)點(diǎn)P【答案】BC【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】設(shè)圓柱的高為h，其內(nèi)部圓錐的高為h1，圓柱的底面積為S，因?yàn)闊o(wú)論如何擺放，水的體積保持不變，所以S?1?13S?1=故選：BC.題型6祖暅原理的應(yīng)用【方法總結(jié)】運(yùn)用祖暅原理來(lái)證明兩個(gè)兒何體的體積和等，需要三個(gè)條件，分別是：（1）這兩個(gè)幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間。（2）平行于兩個(gè)平行平面的每一個(gè)平面可截得兩個(gè)截面。（3）兩個(gè)截面的面積總相等?！纠}6】（2023春·上海徐匯·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）早在公元5世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅在求球的體積時(shí)，就創(chuàng)造性的提出了一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.如圖，已知兩個(gè)體積分別為V1，V2的幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間，任意一個(gè)平行于這兩個(gè)平面的平面截這兩個(gè)幾何體，截得的截面面積分別為S1，S2，則“A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根據(jù)祖暅原理，判斷“V1=V【詳解】根據(jù)祖暅原理可知，當(dāng)S1=S反之，當(dāng)V1=V比如兩個(gè)完全相同的三棱錐，正置和倒置時(shí)，S1，S故“V1=V故選：B.【變式6-1】1．（多選）祖暅（公元5—6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上，用平行于平面且與距離為的平面截兩個(gè)幾何體得到及兩截面，可以證明總成立，若橢半球的短軸，長(zhǎng)半軸，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢半球體的體積為30πB．橢半球體的體積為15πC．如果，以為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當(dāng)球體積最大時(shí)，該橢半球體挖去球后，體積為D．如果，以為球心的球在該半球內(nèi)，那么當(dāng)球體積最大時(shí)，該橢半球體挖去球后，體積為【來(lái)源】湖北省華大新高考聯(lián)盟2022屆高一下學(xué)期開學(xué)收心考試數(shù)學(xué)試題【答案】AC【解析】【分析】由題可得，可判斷AB，利用橢圓的性質(zhì)可得球F的最大半徑為1，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】由題意知，短軸，長(zhǎng)半軸的橢半球體的體積為，∴A正確，B錯(cuò)誤；橢球的軸截面是橢圓，它的短半軸長(zhǎng)為3，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5，所以半焦距為4，由于，所以F橢圓的焦點(diǎn)，因此FD是橢圓的最小焦半徑，即球F的最大半徑為1，該橢半球體挖去球F后，體積為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.【變式6-1】2．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.根據(jù)祖暅原理，對(duì)于3D打印制造的零件，如果能找到另一個(gè)與其高相等，并在所有等高處的水平截面的面積均相等的幾何體，就可以通過(guò)計(jì)算幾何體的體積得到打印的零件的體積.現(xiàn)在要用3D打印技術(shù)制造一個(gè)高為2的零件，該零件的水平截面面積為，隨高度的變化而變化，變化的關(guān)系式為，則該零件的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由恰好與一個(gè)半徑為2的半球在高為的水平截面面積一致，由祖眶原理，該零件的體積等于該半球的體積，從而可得答案.【詳解】由祖眶原理，該零件在高為的水平截面的面積為.而恰好與一個(gè)半徑為2的半球在高為的水平截面面積一致，所以該零件的體積等于該半球的體積：故選：C【變式6-1】3．祖暅原理，“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即高度相等的兩個(gè)幾何體，在任意等高處被一個(gè)平面所截，如果截面面積總相等，則兩個(gè)幾何體體積相等．祖在研究《九章算術(shù)》中利用該原理解決了“牟合方蓋”的體積計(jì)算問(wèn)題，其中重要的思想如下：圖1是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，以左下棱和后下棱為軸，棱長(zhǎng)為半徑作四分之一的圓柱面，兩次分割該正方體得到牟合方蓋（如圖2），圖3也為一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，為倒立的四棱錐，用一個(gè)平面在任意等高處去截圖1和圖3這兩個(gè)幾何體，袒暅通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)陰影部分的截面面積總相等，則由祖暅原理，牟合方蓋的體積為（

）A． B． C． D．【來(lái)源】云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】【分析】由祖暅原理可知，四棱錐的體積與圖（1）中正方體去掉“牟合方蓋”的體積相等，即可得出答案.【詳解】由祖暅原理可知，四棱錐的體積與圖（1）中正方體去掉“牟合方蓋”的體積相等，所以牟合方蓋的體積為.故選：C．【變式6-1】4．中國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉微的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，即：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等，上述原理稱為“祖暅原理”.一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（

）A． B． C． D．21【來(lái)源】江蘇省鹽城市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】【分析】由“祖暅原理”，結(jié)合已知求出正六棱臺(tái)的上下底面面積，再由棱臺(tái)體積公式求解即可．【詳解】解：由“祖暅原理”知，該不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺(tái)的體積相等，因?yàn)檎馀_(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，設(shè)上底面面積為，下底面面積為，高為h，則，，,所以，所以該不規(guī)則幾何體的體積為21.故選：D．【變式6-1】5．祖暅，又名祖暅之，是我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之的兒子.他在《級(jí)術(shù)》中提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”的結(jié)論，其中“冪”是面積.“勢(shì)”是高，意思就是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任一平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等（如圖①）.這一原理主要應(yīng)用于計(jì)算一些復(fù)雜幾何體的體積，若某藝術(shù)品如圖②所示，高為40cm，底面為邊長(zhǎng)20cm的正三角形挖去以底邊為直徑的圓（如圖③），則該藝術(shù)品的體積為（

）A． B．C． D．【來(lái)源】山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】【分析】先求出陰影部分的面積，其面積為邊長(zhǎng)20cm的正三角形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的正三角形的面積，再減去圓心角為，半徑為10cm的扇形面積，然后利用柱體的體積公式求解即可【詳解】由圖知陰影部分的面積為，所以藝術(shù)品的體積為.故選：B【變式6-1】6．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”“勢(shì)”即是高，“冪”即是面積，意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖所示，扇形的半徑為，圓心角為，若扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體與某不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)同”