高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第18講 11.1.2構(gòu)成幾何體的基本元素

.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素TOC\o"1-3"\h\u題型1概念與符號(hào)的理解 4◆類(lèi)型1符號(hào)表示 4◆類(lèi)型2符號(hào)辨析 8◆類(lèi)型3位置關(guān)系的判斷 10題型2異面直線的概念及辨析 13題型3垂直關(guān)系的辨析 18題型4距離問(wèn)題 21知識(shí)點(diǎn)一.空間中的點(diǎn)、線、面1.構(gòu)成空間幾何體的基本元素有：點(diǎn)、線、面.2.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解空間基本圖形之間的關(guān)系：點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體.3.點(diǎn)、線、面的表示如圖所示的長(zhǎng)方體可以表示為長(zhǎng)方體ABCD?A個(gè)頂點(diǎn)，可表示為A，B，C，D，A1AB,BC,CD,DA,AA1,BB1,CC1,DD1,AB1,B個(gè)面可以表示為平面ABCD，平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面知識(shí)點(diǎn)二.空間中點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系1.空間中直線與直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系特點(diǎn)相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)2.異面直線：(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫(huà)法：①②3.點(diǎn)、線位置關(guān)系的符號(hào)表示（1）點(diǎn)A是直線l上的點(diǎn)，可簡(jiǎn)寫(xiě)為A∈l，點(diǎn)B不是直線l上的點(diǎn)，可簡(jiǎn)寫(xiě)為B?l（2）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．（3）直線m與直線l相交于點(diǎn)A，可簡(jiǎn)寫(xiě)為m∩l=A.（4）如果a，b是空間中的兩條直線，則必有a∩b≠?或a∩b=?.知識(shí)點(diǎn)三.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系1.平面的表示方法：習(xí)慣上，用小寫(xiě)希臘字母α，β，γ…表示平面.2.點(diǎn)與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示點(diǎn)在平面內(nèi)A∈α點(diǎn)在平面外B?α3.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示4.兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上)符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示知識(shí)點(diǎn)四.直線與平面垂直1.定義：如果直線l與平面α相交于一點(diǎn)A，且對(duì)平面α內(nèi)任意一條過(guò)點(diǎn)A的直線m，都有l(wèi)⊥m，則稱(chēng)直線l與平面α垂直，記作l⊥α.2.圖示3.點(diǎn)到平面的距離給定空間中一個(gè)平面α及一個(gè)點(diǎn)A，過(guò)A可以作而且只可以作平面α的一條垂線，如果記垂足為B，則稱(chēng)B為A在平面α內(nèi)的射影（也稱(chēng)為投影），線段AB為平面α的垂線段，AB的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面α的距離.4.線面、面面之間的距離直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱(chēng)為這條直線到這個(gè)平面的距離；當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱(chēng)為這兩平行平面之間的距離.題型1概念與符號(hào)的理解◆類(lèi)型1符號(hào)表示【例題1-1】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.（1）點(diǎn)P與直線AB；（2）C與直線AB；（3）M與平面AC；（4）點(diǎn)A1與平面AC（5）直線AB與直線BC；（6）直線AB與平面AC；（7）平面A1B與平面【答案】（1）P∈AB（2）C?AB（3）M∈平面AC（4）A1?平面（5）AB∩BC=（6）AB?平面AC（7）平面A1B∩平面AC【解析】先判斷位置關(guān)系,再根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言表示即可【詳解】由圖,（1）點(diǎn)P在直線AB上,所以P∈AB（2）點(diǎn)C不在直線AB上,所以C?AB（3）點(diǎn)M在平面AC上,所以M∈平面AC（4）點(diǎn)A1不在平面AC上,所以A1?（5）直線AB與直線BC交于點(diǎn)B,所以AB∩BC（6）直線AB在平面AC上,所以AB?平面AC（7）平面A1B與平面AC交于直線AB,所以平面A1B∩【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,考查用符號(hào)語(yǔ)言表示空間中的位置關(guān)系【變式1-1】1．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖中的長(zhǎng)方體，（1）直線AB可簡(jiǎn)記為l，此時(shí)，A，B都是l上的點(diǎn)，且A1，B1都不是（2）如果記圖中頂點(diǎn)B，B1確定的直線為m，頂點(diǎn)C，C1確定的直線為k，則有m與l相交（即有公共點(diǎn)），k與（3）因?yàn)閙與l相交于點(diǎn)B，所以____________________，一般簡(jiǎn)寫(xiě)為：_________________.【答案】

A∈l，B∈l，A1?l，B1?l【解析】根據(jù)點(diǎn)與線，線與線位置關(guān)系，分別表示，即可直接得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)锳，B都是l上的點(diǎn)，且A1，B1都不是l上的點(diǎn)，所以A∈l，B∈（2）因?yàn)橹本€m與l相交于點(diǎn)B，k與l不相交，所以可分別表示為：m∩l=（3）因?yàn)閙與l相交于點(diǎn)B，所以B∈m且B∈故答案為：A∈l，B∈l，A1?l，B1?l；【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)線，線線關(guān)系的符號(hào)表示，屬于基礎(chǔ)題型.【變式1-1】2．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，試用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列點(diǎn)?直線和平面之間的關(guān)系:（1）點(diǎn)C與平面β:__________；（2）點(diǎn)A與平面α:__________；（3）直線AB與平面α:__________；（4）直線CD與平面α:__________；（5）平面α與平面β:__________；【答案】

C?β

A?α

AB【解析】用幾何符號(hào)表示點(diǎn)與平面、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系即可.【詳解】（1）點(diǎn)C不在平面β內(nèi)，所以C?β；（2）點(diǎn)A不在平面α內(nèi)，所以A?α；（3）直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，所以AB∩α=B；（4）直線CD在平面α內(nèi)，所以CD?【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系的幾何符號(hào)表示;屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】3．（2021·高一單元測(cè)試）在長(zhǎng)方體ABCD?（1）三對(duì)平行的平面；（2）三對(duì)垂直的平面；（3）直線AD1與平面（4）直線AD與平面AB【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）平行；（4）垂直相交.【解析】作出圖形進(jìn)行觀察可得.【詳解】如圖，（1）平面AB1與平面DC1，平面AD1與平面（2）平面AB1與平面AC，平面AB1與平面AD（3）直線AD1平行于平面（4）直線AD垂直于平面AB【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的判定，結(jié)合正方體的圖形，很容易得出平行關(guān)系和垂直關(guān)系，側(cè)重考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).◆類(lèi)型2符號(hào)辨析【例題1-2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面α內(nèi)，則Q，b，α之間的關(guān)系可記作（

）A．Q∈b∈α B．Q∈b【答案】B【分析】利用空間中點(diǎn)、線、面之間關(guān)系的符號(hào)表示即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上,所以Q∈又因?yàn)橹本€b(集合)在平面β(集合)內(nèi),所以b?β.所以故選：B【變式1-2】1．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)于點(diǎn)、線和面的關(guān)系表示錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)A?平面α B．直線l∩C．直線l?平面α D．平面α∩【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，結(jié)合符號(hào)語(yǔ)言，即可判斷.【詳解】根據(jù)點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系的符號(hào)表示，可知A.錯(cuò)誤，應(yīng)改為點(diǎn)A∈平面αBCD.正確.故選：A【變式1-2】2．（2022春·北京·高一?？计谀包c(diǎn)M在直線a上，a在平面α內(nèi)”可表示為（

）A．M∈α，a∈α C．M?α，a∈α 【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)與線，線與面的關(guān)系書(shū)寫(xiě)即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)M在直線a上，a在平面α內(nèi)。所以符號(hào)語(yǔ)言為：M∈a故選：B【變式1-2】3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表述為（

）A．α∩β=m，n?α，m∩C．α∩β=m，n?α，A?m，A?【答案】A【分析】利用圖形，表示為點(diǎn)，線，面的符號(hào)語(yǔ)言.【詳解】由圖形可知，α∩β=m，n?α，即A正確.故選：A【變式1-2】4.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()①平面的基本性質(zhì)1可用集合符號(hào)敘述為：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則必有l(wèi)∈α；②四邊形的兩條對(duì)角線必相交于一點(diǎn)；③用平行四邊形表示的平面，以平行四邊形的四條邊作為平面的邊界線．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】A【解析】①中，l∈α不對(duì)，應(yīng)為l?α；②中，當(dāng)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共面時(shí)，兩條對(duì)角線不能相交；③中，平面是無(wú)限延展的，用平行四邊形表示平面，平行四邊形的邊并不表示平面的邊界線，故選A．【變式1-2】5.文字語(yǔ)言敘述“平面內(nèi)有一條直線，則這條直線上的一點(diǎn)必在這個(gè)平面內(nèi)”用符號(hào)表述是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A?α,A?a))?A?αB．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,A∈a))?A∈αC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A?a))?A∈αD．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A∈a))?A?α【答案】B【解析】點(diǎn)與線或面之間的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”表示，線與面之間的關(guān)系是集合與集合的關(guān)系，用“?”表示．【變式1-2】6.如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?αB．l?αC．l∩α＝MD．l∩α＝N【答案】A【解析】∵M(jìn)∈a，a?α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.◆類(lèi)型3位置關(guān)系的判斷【例題1-3】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線AC與平面A1B1C【答案】

平行

異面

相交

平行【分析】利用線面平行的判定定理判斷直線AC與平面A1B1C1D1的位置關(guān)系；利用線面平行的判定定理判斷直線AD1與直線CC1的位置關(guān)系；根據(jù)平面AC【詳解】如圖所示：因?yàn)锳C//A1C1，AC?平面A1B1因?yàn)镃C1//DD1，CC1?平面AA1D1D，DD1?因?yàn)槠矫鍭CD1∩與平面A平面B1CC1即為平面BB1C1C故答案為：平行；異面；相交；平行【變式1-3】1.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖是安裝好的門(mén)，圖中AC所在直線與水平地面的位置關(guān)系是______；直線ED與水平地面的位置關(guān)系是______；直線ED與平面ABC的位置關(guān)系是______.【答案】

平行##//

垂直##⊥

平行##//【分析】第一空，由AC//第二空，由AB⊥BD,AB⊥第三空，由ED//【詳解】（1）由于門(mén)ACFB為矩形，故AC又AC?地面，BF故AC//（2）由于AB又BD∩∴AB⊥∴ED（3）由于ABDE為矩形，故ED又ED?平面ABC，AB?故ED//平面故答案為：平行、垂直、平行【變式1-3】2．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD?①A1B與D1C________；

②③D1D與平面BCC1B⑤平面ABB1與平面DCC1_________；

⑥平面【答案】

平行

異面

平行

相交

平行

垂直【解析】根據(jù)圖形可得答案.【詳解】由圖可知，四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B與因?yàn)镈1D//CC1，D1D?平面BCAB1與平面平面ABB1與平面平面ABB1與平面故答案為：平行，異面，平行，相交，平行，垂直.【點(diǎn)睛】本題考查的是空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，較簡(jiǎn)單.題型2異面直線的概念及辨析【方法總結(jié)】1.不是相交和平行的兩條直線就是異面的。2.異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。3.特點(diǎn)：既不平行，也不相交。4.判定方法：定義法：由定義判定兩直線永遠(yuǎn)不可能在同一平面內(nèi)。5.定理：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線?！纠}2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（

）A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可容易判斷.【詳解】a和b是異面直線，b和c是異面直線，根據(jù)異面直線的定義可得：a,也可以相交也可以平行故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線之間的位置關(guān)系，屬簡(jiǎn)單題.【變式2-1】1．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，金字塔的棱AC，BD所在直線的位置關(guān)系是______.【答案】異面【分析】根據(jù)異面直線的定義，即可判斷【詳解】由題意，BD?平面BCD，C∈平面BCD，且C?直線BD，故棱AC，BD所在直線的位置關(guān)系是異面故答案為：異面【變式2-1】2．（多選）（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（多選）如圖，在棱柱ABC?A．AC∩BC=C C．AC與B1C1是異面直線 D．ACE．平面AA1【答案】ABC【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的定義即可求解.【詳解】通過(guò)觀察題圖，根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的定義可得，選項(xiàng)A、B、C正確，因?yàn)锳C與A1C1是共面直線，故D錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫鍭故選：ABC.【變式2-1】3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知空間三條直線l,A．m與n異面 B．m與n相交C．m與n平行 D．m與n異面、相交、平行均有可能【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，則可能平行（圖1），也可能相交（圖2），也m與n可能異面（如圖3），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線的位置關(guān)系，著重考查學(xué)生的理解與轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．【變式2-1】4．（2021春·安徽亳州·高一安徽省渦陽(yáng)第一中學(xué)?？计谀┤羝矫姒梁椭本€a，b滿(mǎn)足a∩α=A，b?A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面【答案】D【分析】當(dāng)A∈b時(shí)a與b相交，當(dāng)A?b時(shí)【詳解】當(dāng)A∈b時(shí)a與b相交，當(dāng)A?b時(shí)故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.【變式2-1】5．（2022春·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）在正方體ABCD?A1A．8條 B．6條 C．4條 D．2條【答案】C【分析】在正方體12條棱中，找到與AA1平行的、相交的棱，然后計(jì)算出與棱【詳解】正方體共有12條棱，其中與AA1平行的有BB1、CC1、【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查了異面直線的判斷.題型3垂直關(guān)系的辨析【方法總結(jié)】定義：直線與平面垂直是指直線和平面相交且和這個(gè)平面過(guò)交點(diǎn)的任何直線都垂直。這里的“任何直線”能代表平面內(nèi)的所有直線.需要注意的是：無(wú)數(shù)條直線不能代表所有直線，即一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，直線不一定與平面垂直，因?yàn)檫@無(wú)數(shù)條直線可以是互相平行的?！纠}3】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）下面敘述中：①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；③若直線l是平面α的一條垂線，則直線l垂直于平面α內(nèi)的所有直線；④若直線l垂直于平面α，則稱(chēng)平面α是直線l的一個(gè)垂面．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)線面垂直的定義，以及線面垂直的判定定理，逐個(gè)判定，即可得出結(jié)果.【詳解】由線面垂直的判定定理可得：若直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則線面垂直，因此①錯(cuò)；由線面垂直的概念可得，若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，則這個(gè)直線與該平面垂直，該直線稱(chēng)為該平面的一條垂線，該平面稱(chēng)為該直線的一個(gè)垂面，故②③④都正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的相關(guān)判定，考查線面垂直的概念以及判定定理，屬于基礎(chǔ)題型.【變式3-1】1．（2019·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列四個(gè)命題：①若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥③若直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直其中真命題的個(gè)數(shù)是．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】運(yùn)用線面垂直的判定定理判斷①②，當(dāng)直線不與平面垂直，斜交時(shí)，存在無(wú)數(shù)條直線與該直線垂直【詳解】由線面垂直的判定定理判斷①②，都缺少直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，故①②為假命題運(yùn)用三垂線定理，當(dāng)直線不與平面垂直，斜交時(shí)，過(guò)斜足做射影的垂線，可得此直線與斜線垂直，通過(guò)平移，可得無(wú)數(shù)條平行直線，這些直線都和斜線垂直，③錯(cuò)，④對(duì)故真命題的個(gè)數(shù)是1個(gè)，答案選B【點(diǎn)睛】可熟記本題結(jié)論，當(dāng)l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直．要證線面垂直，一定要證直線與平面內(nèi)的兩條交線垂直【變式3-1】2．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD?①AD1//平面BC1；②AC與BC1相交；③點(diǎn)A1、【答案】①③【解析】作出圖形，結(jié)合空間中線線、線面的位置關(guān)系以及點(diǎn)到平面距離的定義可判斷出各命題的正誤.【詳解】如下圖所示：對(duì)于①，平面AD1//平面BC1，AD1對(duì)于②，AC與BC對(duì)于③，∵A1B1⊥平面BCC1所以，點(diǎn)A1、D1到平面對(duì)于④，與AB平行的平面有平面A1B1C1D1和平面C故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查正方體中線線、線面位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.【變式3-1】3．（2021·高一單元測(cè)試）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1【答案】

面ADD1A1；面BCC1B【解析】根據(jù)在長(zhǎng)方體中，每條棱與和它相交的平面垂直，可得答案.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的每一表面均為矩形，由ABCD,所以有CD⊥BC,所以CD⊥面BC同理CD⊥面AD同理可得長(zhǎng)方體中每條棱與和它相交的平面垂直，所以與面DCC1D1垂直的平面有：面ADD【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體中的線面、面面的垂直關(guān)系.題型4距離問(wèn)題【方法總結(jié)】點(diǎn)到平面的距離有如下三條性質(zhì)：存在性：對(duì)于任意一個(gè)平面和這個(gè)平面外任意一點(diǎn)都存在著距離。唯一性：一個(gè)平面和平面外一點(diǎn)到平面間的距離是唯一的。（3）最小性：平面外一點(diǎn)到平面的距離是這點(diǎn)到這個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)的連接線段長(zhǎng)度的最小值?！纠}4】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）線段AB長(zhǎng)為5cm，在水平面上向右移動(dòng)4cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動(dòng)3cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動(dòng)4cm后記為A′B′，依次連接構(gòu)成長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′.（1）該長(zhǎng)方體的高為_(kāi)_______cm；（2）平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為_(kāi)_______cm；（3）點(diǎn)A到平面BCC′B′的距離為_(kāi)_______cm.【答案】

3

4

5【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出長(zhǎng)方體，數(shù)形結(jié)合即可求得所有結(jié)果.【詳解】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4cm，CC′＝3cm，∴長(zhǎng)方體的高為3cm；平面A′B′BA與平面CDD′C′之間的距離為4cm；點(diǎn)A到平面BCC′B′的距離為5cm.故答案為：3；4；5.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的構(gòu)成要素，涉及長(zhǎng)方體的幾何特征，屬簡(jiǎn)單題.【變式4-1】1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1（1）點(diǎn)A到平面DCC（2）直線AA1到平面（3）平面ABCD與平面A1【答案】

4cm

6cm

3cm【解析】根據(jù)長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征，確定垂直關(guān)系，再由題中條件，即可分別求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD?A1B1又DC∩DD1=D，DC?所以AD⊥平面DCC1D1，因此點(diǎn)A（2）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD?A1B1又BC∩BB1=B，BC?所以AB⊥平面BCC1所以AB為直線AA1與平面因此直線AA1到平面BCC（3）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD?即AA1⊥平面ABCD，A所以平面ABCD與平面A1B1故答案為：4cm；6cm；3cm.【點(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體中，點(diǎn)到面、線到面，面到面的距離，熟記長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型.【變式4-1】2．（2021·高一