高中數(shù)學講義（人教B版2019必修四）第15講專題10-3復數(shù)軌跡問題

專題103復數(shù)軌跡問題TOC\o"13"\h\u題型1復數(shù)的軌跡形狀 1題型2復數(shù)的軌跡方程 6題型3與復數(shù)軌跡有關(guān)的計算問題 11題型1復數(shù)的軌跡形狀【例題1】（2021·高一課時練習）已知復數(shù)z滿足z2?2zA．圓 B．線段C．點 D．直線【答案】A【分析】求出z的值，利用復數(shù)模的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】因為z2?2z?3=0，且因此復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的軌跡是以原點為圓心，以3為半徑的圓.故選：A.【變式11】1．（2022秋·北京·高二北京市第五中學校考期末）設(shè)復數(shù)z滿足z?z=1，則zA．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義結(jié)合共軛復數(shù)的概念即可得解.【詳解】設(shè)z=x+由z?z=1得x2+故選：B.【變式11】2．（2022春·江西九江·高二九江一中?？茧A段練習）滿足條件z?1A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】設(shè)z=【詳解】設(shè)z=x+x?1兩邊平方得：x?1∴復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是圓.故選：A【變式11】3．（2022·全國·高一專題練習）復平面中有動點Z，Z所對應的復數(shù)z滿足|zA．直線 B．線段 C．兩條射線 D．圓【答案】A【分析】設(shè)出動點Z坐標為x,【詳解】設(shè)動點Z坐標為x,y，則z=x+yi故選：A【變式11】4．（多選）（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知eix=cosx+isinA．復數(shù)eiB．復數(shù)ei3C．復數(shù)eiπD．復數(shù)ei【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件、復數(shù)的概念、幾何意義可得結(jié)論.【詳解】對于A，eiπ2對于B，ei3=cos3+isin3，因為π2<3<π所以復數(shù)ei3對于C，eπ3i=cosπ3+isin故C錯誤；對于D，eiθ=cos由于θ∈[0,π]故復數(shù)ei故選:ABD．【變式11】5．（2021春·山西長治·高二?？茧A段練習）已知復數(shù)z滿足|z【答案】以0,?1,【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義分析即可【詳解】設(shè)復數(shù)z=x+yi(x,y∈R)，因為|故答案為：以0,?1,【變式11】6．（2022·全國·高一專題練習）已知復數(shù)z1＝3＋i，z2＝?(1)求|z1|及|z2|并比較大??；(2)設(shè)z∈C【答案】(1)z(2)以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)（包含圓周）【分析】（1）根據(jù)復數(shù)模的計算公式可求得|z1|（2）根據(jù)復數(shù)幾何意義可解決此問題．(1)解：（1）∵z1=∴|z1|=∴z1(2)解：由|z2|≤|根據(jù)復數(shù)幾何意義可知復數(shù)z對應的點到原點的距離，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圓外部所有點組成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圓內(nèi)部所有點組成的集合，所以復數(shù)z對應的點Z的軌跡是以原點O為圓心，以1和2為半徑的圓之間的部分（包括兩邊界）．【變式11】7．（多選）（2023春·貴州貴陽·高一校考階段練習）已知i為虛數(shù)單位，以下四種說法中正確的是（

）A．z+z是純虛數(shù) B．若z=C．若z=1，則z=1z【答案】CD【分析】A.由z+z是實數(shù)判斷；B.化簡z=1+2i2，再利用復數(shù)的幾何意義判斷；C.由z【詳解】z+因為z=1+2i2=1+4i+4i2=?3+4i若z=1，則z?z令z=a+bi，則a+bi?1=故選：CD【變式11】8.（2021·高一課時練習）已知關(guān)于t的一元二次方程t2（1）求點x,（2）求此方程實根的取值范圍．【答案】（1）以點(2,?2)為圓心,22為半徑的圓.；（2）?8,0【分析】(1)由復數(shù)相等的定義化簡得出t0=y(2)將方程的根轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點問題，由圓心到直線的距離小于等于半徑，即可求得方程實根的取值范圍.【詳解】解:(1)設(shè)方程實根為t0根據(jù)題意得t02+(4+i)根據(jù)復數(shù)相等的充要條件,得t0由t0+x?y=0得即x2所以所求的點的軌跡方程是x2+y2?4(2)由(1)得圓心為(2,?2),半徑r=2直線t0從而有2?(?2)+t02?22故方程實根的取值范圍是[?8,0].題型2復數(shù)的軌跡方程【例題2】（2021春·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谥校┰O(shè)復數(shù)z滿足z?i=1，z在復平面內(nèi)對應的點為Px【答案】x【分析】設(shè)復數(shù)z=x+【詳解】由題意，設(shè)復數(shù)z=因為z?i=1，可得x2即復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為x,y則x,故答案為：x2【變式21】1．（2023·全國·高三專題練習）已知i為虛數(shù)單位，且z0=1?3i1+2i，復數(shù)z滿足A．x?12+C．x+12+【答案】C【分析】化簡z0【詳解】z0=1?3i故復數(shù)z的軌跡是以(?1,?1)為圓心，半徑為1的圓.故選：C【變式21】2．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)復數(shù)z=1+cosθ+i?sinθ（i【答案】x【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得x,【詳解】由題意，x,y=1+cosθ,sin故答案為：x【變式21】3．（2021·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）已知關(guān)于x得二次方程：x2(1)當方程有實數(shù)根時，求點(a(2)求方程實數(shù)根的取值范圍.【答案】(1)(2a(2)?4，0.【分析】（1）根據(jù)復數(shù)相等結(jié)合條件可列出關(guān)于a,b的方程，整理即可求得點（2）由題可得8a【詳解】（1）設(shè)方程的實數(shù)根為x0x0即(x所以x0兩式消去x0可得(整理可得(2a即點(a,b（2）由x02+2整理得8a∵a∴Δ=16x解得?4≤x∴方程的實數(shù)根的取值范圍是?4，0.【變式21】4．（2014春·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）復數(shù)z與點Z對應，z1,z2為兩個給定的復數(shù)，A過Z1A．線段Z1Z2C．以Z1【答案】A【詳解】試題分析：由復數(shù)的幾何意義可知點Z到點Z1的距離為|ZZ1|，點Z到點Z2的距離為|ZZ2|，因此點Z到點Z1考點：復數(shù)的幾何意義【變式21】5.（2021春·四川雅安·高二雅安中學?？计谥校蛿?shù)z=x+（1）求點P的軌跡方程；（2）若m=y?2【答案】（1）(x?1)【分析】（1）由z?1+2i=1（2）m=y?2x?1【詳解】（1）復數(shù)z=x由z?1+2i=1，得所以點P的軌跡方程為(x（2）m=y?2x?1當過點(1,2)的直線與圓相切時，不妨設(shè)直線方程為y?2=k則k+2?k+2k則m的取值范圍為?∞,?【點睛】方法點睛：線性規(guī)劃問題中幾種常見形式有：①截距型：z=ax+by，將問題轉(zhuǎn)化為②斜率型：z=y?bx③兩點間距離型：z=x?a2④點到直線距離型：z=Ax+By+C，將問題轉(zhuǎn)化為【變式21】6．（2021·全國·高三專題練習）復數(shù)z1所對應的點在點1,1及1,?1為端點的線段上運動，復數(shù)z2滿足（1）復數(shù)z1（2）復數(shù)z1【答案】（1）1,2；（2）y【分析】(1)根據(jù)條件可設(shè)z1=1?ti,t（2）復數(shù)z12對應的點的軌跡方程即求點的橫、縱坐標的等量關(guān)系，將【詳解】（1）設(shè)z1則z1（2）z1【點睛】復數(shù)形式不確定時，可利用待定系數(shù)法，將復數(shù)表示出來，然后進行分析解題；求點的軌跡方程即求點的橫、縱坐標的等量關(guān)系，常見方法有常見曲線的定義、參數(shù)方程等方法．【變式21】7．（2021·高一課時練習）已知復數(shù)z1=m+ni，z2=22i和z=x+yi，設(shè)z=z1iz2，m，n，x，y∈R.若復數(shù)z1所對應的點M(m，n)在曲線y=12(x+2)2+【答案】y【分析】求出復數(shù)z=(n?2)+(m+2)i【詳解】∵z1=m+ni,又點M(m,∴x整理上式,得點P(x,y)【變式21】8．（2021春·福建福州·高二校考階段練習）已知復數(shù)z1滿足z1?2（1）求z1（2）若復數(shù)z滿足z?z1=1，求復數(shù)【答案】（1）z1=2?i；（2）【分析】（1）結(jié)合復數(shù)的除法運算和加法運算即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合復數(shù)的減法運算以及復數(shù)的模長公式即可求出結(jié)果.【詳解】解析：（1）∵z1?2，∴z1（2）設(shè)z=x+yi，x,y∈R，由z?z題型3與復數(shù)軌跡有關(guān)的計算問題【例題3】（2022·北京·高三校考強基計劃）已知復數(shù)z，滿足z2與2z的實部和虛部均屬于?1,1，則【答案】12?2【分析】設(shè)滿足要求的復數(shù)z=x+yi【詳解】解：設(shè)滿足要求的復數(shù)z=則原命題即為2xx2+y因此?1≤2整理后得?2≤x(x因此點z的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個邊長為4的正方形，此區(qū)域面積為8×2×2故答案為：12?2π【變式31】1．（2022·全國·高一專題練習）若復數(shù)z滿足z?1+2i【答案】4【分析】設(shè)復數(shù)z=a+結(jié)合圓的定義和面積公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)復數(shù)z=則z?1+2i得(a所以復數(shù)z對應的點所成的軌跡是以圓心為(1,2)，2為半徑的圓，故該圓的面積為22故答案為：4π【變式31】2．（2022春·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）滿足條件|z|=|3+4i|的復數(shù)【答案】25π【分析】設(shè)z對應的點為(x，y)，根據(jù)題意可求(x，y)的軌跡，據(jù)此即可求出其圍成的面積．【詳解】|z設(shè)z＝x＋yi，x、y∈R，則z在復平面對應點為(x，y)，則x2∴z在復平面上對應點的軌跡圍成的圖形為以原點為圓心，半徑為5的圓，∴其面積為25π．故答案為：25π﹒【變式31】3．（2022秋·陜西西安·高二西安中學?？计谀┤魪蛿?shù)z滿足z?1+i=3，則復數(shù)A．3 B．9 C．6π D．9【答案】D【分析】利用復數(shù)的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.【詳解】復數(shù)z滿足z?1?i=3，表示復數(shù)z對應的點的軌跡是以點故選：D【變式31】4．（2021·高一課時練習）若復數(shù)z滿足1<|zA．π B．2π C．3π 【答案】C【分析】首先根據(jù)復數(shù)的幾何意義，確定復數(shù)z對應的點的軌跡，再求面積.【詳解】利用復數(shù)模的幾何意義，復數(shù)z對應的點的軌跡是如圖的圓環(huán)內(nèi)，小圓的半徑r=1，大圓的半徑R=2，所以圓環(huán)的面積故選：C【變式31】5．（2022·全國·高三專題練習）已知復平面內(nèi)A點對應的復數(shù)為2+i，B點對應的復數(shù)為1?i，z=x+y?2ix,y【答案】S【分析】先求出點C軌跡為圓，與直線AB的方程，再求出AB的長度，最后用點到直線的距離求AB邊上的高，轉(zhuǎn)化為圓上的點到直線的距離的最值問題求解即可【詳解】因為z=1，所以C點軌跡為x又因為A點對應的復數(shù)為2+i，B點對應的復數(shù)為1?i，則線段AB的方程為：y=2AB的長度