2024-2025學(xué)年山西省晉城市高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山西省晉城市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷分和兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘.請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案標(biāo)號(hào)涂?寫在答題紙上.第I卷（選擇題：共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【正確答案】C【分析】將復(fù)數(shù)的分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)整理即得.【詳解】由，可得的實(shí)部為2.故選：C.2.集合，，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】解不等式，得出整數(shù)的取值，即可得解.【詳解】解不等式，可得，所以，整數(shù)的取值有、、，又因?yàn)榧?，，則，即集合中的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.3.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律求出，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即與的夾角為.故選：D4.已知，則（）A.7 B.-7 C. D.【正確答案】D【分析】由可求，再由兩角和的正切可求.【詳解】因?yàn)?，故，故，而，故，故，而，故，所以，故，故，故選：D.5.若，則（）A.180 B. C. D.90【正確答案】A【分析】根據(jù)題意可知將二項(xiàng)式變形可得，求得含的項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】易知，其中展開式中含項(xiàng)為，因此.故選：A6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上沒有最小值，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)對(duì)稱性可得，再結(jié)合最小值點(diǎn)即可求解.【詳解】，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，故，即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，因?yàn)樵谏蠜]有最小值，所以，即，由解得，故，得.故選：B7.某種用保溫材料制成的管道在單位長(zhǎng)度上的熱損失單位：滿足，其中分別為管道的內(nèi)外半徑（單位：），分別為管道內(nèi)外表面的溫度（單位：），為保溫材料的導(dǎo)熱系數(shù)（單位：），某工廠準(zhǔn)備用這種管道傳輸?shù)母邷卣羝?，根?jù)安全操作規(guī)定，管道外表面溫度應(yīng)控制為，已知管道內(nèi)半徑為，當(dāng)管道壁的厚度為時(shí)，，則當(dāng)管道壁的厚度為時(shí)，約為（）參考數(shù)據(jù).A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意將已知數(shù)據(jù)代入求得的值，再代入即可得解.【詳解】由題意可得，，，，，代入得，得出；則當(dāng)管道壁的厚度為時(shí)，，則.故選：B，8.在三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先根據(jù)條件，結(jié)合正、余弦定理，得到角的關(guān)系，再用角的三角函數(shù)表示的面積，換元，利用導(dǎo)數(shù)的分析面積最大值，對(duì)應(yīng)的角的三角函數(shù)值，再利用角的關(guān)系，求.【詳解】因?yàn)?，又由余弦定理：，所以，所?由正弦定理得：，所以或（舍去），故.因?yàn)?，所?由正弦定理.所以.因?yàn)?，所?設(shè)，.則，由，由，所以在上單調(diào)遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.即當(dāng)時(shí)，的面積最大.此時(shí).故選：A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題用到了三倍角公式，因?yàn)橛行┙滩牟恢v這個(gè)公式，所以該公式的記憶或推導(dǎo)在該題中就格外重要.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分?在每小題給出的四個(gè)進(jìn)項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，是兩個(gè)平面，，是兩條直線，下列命題正確的是（）A.如果，，那么.B.如果，，那么.C.如果，，，那么.D.如果內(nèi)有兩條相交直線與平行，那么.【正確答案】ABD【分析】由立體幾何知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，由線面垂直的性質(zhì)知A正確對(duì)于B，由面面平行的性質(zhì)知B正確對(duì)于C，若，，，可得或，而位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，由面面平行的判定定理知D正確故選：ABD10.已知，雙曲線C：，則（）A.可能是第一象限角 B.可能是第四象限角C.點(diǎn)1,0可能在C上 D.點(diǎn)0,1可能在C上【正確答案】BD【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，可得，即在第三象限或第四象限，分情況討論得解.【詳解】根據(jù)題意，可得，即，即且，所以在第三象限或第四象限.故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)在第三象限時(shí)，有，，，雙曲線方程為，當(dāng)即，時(shí)，方程為，所以點(diǎn)在雙曲線上，故D正確；當(dāng)在第四象限時(shí)，有，，，雙曲線方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)不在雙曲線上，故C錯(cuò)誤.故選：BD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)為奇函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)D.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則【正確答案】BCD【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC，利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.【詳解】易知，同理，對(duì)A,先減后增，故A錯(cuò)誤；對(duì)B,為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)C,,則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，故函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D,易知，令，則，，,……..,則，故，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應(yīng)用，關(guān)鍵是利用利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.第Ⅱ卷（非選擇題：共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【正確答案】【分析】利用兩角和差的正切公式計(jì)算，再使用二倍角的正切公式即可.【詳解】由，且，得，整理得，解得（舍）或，所以．故答案為.13.在中，若，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，求得和，設(shè)為線段上靠近的四等分點(diǎn)，得到，設(shè)，求得，即可求解.【詳解】由，可得，即，可得，所以，又由，可得，即，設(shè)為線段上靠近的四等分點(diǎn)，則，設(shè)，則，所以，則，所以.故答案為.14.已知，函數(shù)恒成立，則的最大值為______.【正確答案】7【分析】當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，不符合題意，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，只需研究時(shí)，分離參數(shù)得恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值可解.【詳解】當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以為正奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，只需研究時(shí)，恒成立即可，當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)小于0，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)闉檎鏀?shù)，所以的最大值為7.故7思路點(diǎn)睛：分為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，之后采用分離參數(shù)的方法求參數(shù)的最值.四?解答題：本題共77分，解答題應(yīng)寫出文宇說明?證明過程和演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，且的面積為2．（1）若，求；（2）若，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意得，再用三角形面積公式可解得的值，在中，由余弦定理可求出的值，繼而可求出；（2）利用與的互補(bǔ)關(guān)系，在和中運(yùn)用余弦定理，結(jié)合題意可得的值，由面積公式可得，再由余弦定理可得，從而可得的值，由的范圍即可求解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以．而，由，，解得．在中，由余弦定理，，解得，則．【小問2詳解】在中，由余弦定理，，在中，由余弦定理，，而，，，所以，解得．又，得，在中，由余弦定理，，得，所以，，則．16.如圖，多面體中，為正方形，，二面角的余弦值為，且.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）通過證明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面；

（2）由（1）知，是二面角的平面角．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得平面與平面所成銳二面角的余弦值．【小問1詳解】證明：∵，由勾股定理得：，又正方形中，且，平面∴平面，又∵面，∴平面平面【小問2詳解】解：由（1）知是二面角的平面角作于，則且由平面平面，平面平面，面所以，面取中點(diǎn)，連結(jié)，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則∴又，知的一個(gè)方向向量是設(shè)面法向量，則取，得又面一個(gè)法向量為，∴設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，和是軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．（1）若為的焦點(diǎn)，求證：；（2）過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若，求直線的方程．【正確答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為(坐標(biāo)表示),從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可解答；或者由，可看作是以為直徑的圓與拋物線交點(diǎn)，從而求出的坐標(biāo)即可解答；（2）由，易得，即，所以點(diǎn)必在中垂線上，聯(lián)立直線與拋物線方程，再結(jié)合即可求解.【小問1詳解】法一：由題可知，，設(shè)，，則，．因?yàn)?，故，解之得，．，．．法二：由題可知，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，故點(diǎn)在圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)也在上，聯(lián)立與得．解之得．因?yàn)?，故．故，．．．【小?詳解】因，，所以，故．所以點(diǎn)必在中垂線上．方法一：設(shè)，直線的方程為，，．將代入得：，，．因?yàn)辄c(diǎn)在中垂線上，故．所以，即，左右兩邊同時(shí)除以得，解得：或，又因?yàn)樗?，．因?yàn)?，所以即．所以，，，．所以直線的方程為即．方法二：設(shè)，直線的方程為，，，將代入得：，，．因點(diǎn)必在中垂線上，且,所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，．因?yàn)椋约矗?，，．所以直線的方程為．即．18.現(xiàn)有n枚質(zhì)地不同的游戲幣，向上拋出游戲幣后，落下時(shí)正面朝上的概率為.甲、乙兩人用這n枚游戲幣玩游戲.（1）甲將游戲幣向上拋出10次，用表示落下時(shí)正面朝上的次數(shù)，求的期望，并寫出當(dāng)為何值時(shí)，最大（直接寫出結(jié)果，不用寫過程）；（2）甲將游戲幣向上拋出，用表示落下時(shí)正面朝上游戲幣的個(gè)數(shù)，求的分布列；（3）將這枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時(shí)正面朝上的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請(qǐng)判斷這個(gè)游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.【正確答案】（1），（2）分布列見解析（3）公平，理由見解析【分析】（1）依題意可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即可得出期望值，依據(jù)二項(xiàng)式性質(zhì)可得時(shí)，最大.（2）寫出的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率即可求得分布列；（3）根據(jù)題意可求得，可知游戲規(guī)則是公平的.【小問1詳解】依題意得：每次拋游戲幣落下時(shí)正面向上的概率均為，故，于是，當(dāng)時(shí)，最大.【小問2詳解】記事件為“第枚游戲幣向上拋出后，正面朝上”，則，Y可取.由事件相互獨(dú)立，則.；；；故分布列為：X0123P【小問3詳解】不妨假設(shè)按照的順序拋這n枚游戲幣；記拋第枚游戲幣后，正面朝上的游戲幣個(gè)數(shù)為奇數(shù)的概率為；于是；即，即.記，則，故數(shù)列bn為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列；故，則，故，則，因此公平.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，且兩切線間的距離為，其中.（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）若點(diǎn)分別在曲線上，求與之和的最大值;（3）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，四邊形為正方形，其面積為，證明:附:ln2≈0.693.【正確答案】（1），（2）（3）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）（法一）由（1）知：，記直線的傾斜角分別為，斜率分別為，則，則,利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，同理求得的最值；（法二）由（1）知：，點(diǎn)在圓，再證直線與圓和曲線均相切，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解；（3）由對(duì)稱性可知和分別關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，其中，所以，令，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，進(jìn)而證得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，解得，所以在處的切線方程為:，所以在處的切線方程為:，所以，解得.【小問2詳解】（法一）由（1）知：，記直線的傾斜角分別為，斜率分別為，所以，設(shè)且，所以,令，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以在均單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，最大為.同理，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且也關(guān)于直線對(duì)稱，所以最大為，所以與之和的最大值為.（法二）由（1）知:，點(diǎn)在圓上.下面證明：直線與圓和曲線均相切，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，即，除點(diǎn)外，圓上的點(diǎn)均在直線下方,又因?yàn)椋瑒t，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，除點(diǎn)外，曲線上的點(diǎn)均在直線上方.所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，最大為，同理，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且也關(guān)于直線對(duì)稱，所以最大為，綜上知:與