2024-2025學(xué)年天津市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第Ⅰ卷（共三部分；滿分150分）一、選擇題（在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，本大題共9小題，每小題5分，滿分45分）1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先解不等式求出集合，，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】由，，則，即，故選：C.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】分別化簡(jiǎn)和,再根據(jù)充分、必要條件判斷即可.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且,所以，即因?yàn)?，所?即,所以存在兩種情況：且，且，因此推不出,同樣推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.在一段時(shí)間內(nèi)，分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格（萬(wàn)元）和需求量之間的一組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，根據(jù)上述信息，如下判斷正確的是（）價(jià)格2需求量12107A.商品的價(jià)格和需求量存在正相關(guān)關(guān)系 B.與不具有線性相關(guān)關(guān)系C. D.價(jià)格定為萬(wàn)元，預(yù)測(cè)需求量大約為【正確答案】D【分析】由散點(diǎn)圖判斷A，根據(jù)回歸直線方程判斷B，求出，，根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)求出，令求出，即可判斷D.【詳解】由散點(diǎn)圖可知，商品的價(jià)格和需求量存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；又，，又經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，則，解得，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以價(jià)格定為萬(wàn)元，預(yù)測(cè)需求量大約為，故D正確．故選：D．4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域和奇偶性，排除BD，再求出特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到答案.【詳解】定義域?yàn)?，且，所以函?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除B、D．又，故A錯(cuò)誤.故選：C．5.已知，，，則（）.A. B. C. D.【正確答案】C【分析】借助對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得、、范圍，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，，?故選：C.6.已知，，為球的球面上的三點(diǎn)，圓為△的外接圓，若，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】應(yīng)用正弦定理求△的外接圓半徑，再根據(jù)外接球球心與截面圓心距離與截面圓半徑、球體半徑間的幾何關(guān)系求球的半徑，進(jìn)而求球的表面積.【詳解】由正弦定理得：△的外接圓半徑滿足，解得．設(shè)球的半徑為，由平面，得，∴球的表面積為．故選：．7.已知雙曲線：，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，且在第一象限，過(guò)作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出即可求解作答.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，令交于點(diǎn)，即有，由，直線的傾斜角為，得，則，，又，則為正三角形，，因此點(diǎn)，雙曲線：過(guò)點(diǎn)的漸近線為，于是，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B8.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)圖象向右移（）個(gè)單位后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為【正確答案】C【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，由最小正周期可求得，可判斷A錯(cuò)誤，將點(diǎn)代入驗(yàn)證可得B錯(cuò)誤，由平移規(guī)則并利用其對(duì)稱性可得C正確，由三角函數(shù)值域可得的最大值為，即D錯(cuò)誤.【詳解】易知；對(duì)于A，由最小正周期為可得，即可得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A可得，將代入檢驗(yàn)可得，可得B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若將函數(shù)圖象向右移（）個(gè)單位可得到，若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則可得，即，又因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，的最小值為，故C正確；對(duì)于D，若，，即，所以函數(shù)最大值為，即D錯(cuò)誤.故選：C9.如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C.存在最大值為9 D.的最大值為【正確答案】D【分析】將分別用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷AB；以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算判斷CD.【詳解】在邊長(zhǎng)為3的正中，，為的中點(diǎn)，則，對(duì)于A，由，得，則，A正確；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，顯然點(diǎn)在以為圓心，為半徑的下半圓上，設(shè)，則，，由，得，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，C正確；對(duì)于D，由，得，即，因此，則，而，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.故選：D關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是建立合適平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)，從而寫(xiě)出相關(guān)向量，計(jì)算其數(shù)量積，并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到其范圍.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)一個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則_______．【正確答案】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得出，即可根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及模長(zhǎng)計(jì)算得出答案.【詳解】由，得，所以，故答案為.11.的展開(kāi)式中的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)【正確答案】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)賦值即可得展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)所以展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為.12.兩個(gè)三口之家進(jìn)行游戲活動(dòng)，從6人中隨機(jī)選出2人，則這2人來(lái)自同一個(gè)家庭的概率為_(kāi)________；若選出的2人來(lái)自同一個(gè)家庭，游戲成功的概率為0.6，若來(lái)自不同的家庭，游戲成功的概率為0.3，則游戲成功的概率為_(kāi)________．【正確答案】①##②.0.42##【分析】先計(jì)算從6人中選2人的所有種數(shù)，再計(jì)算同一家庭的種數(shù)，求概率即可；由全概率公式計(jì)算即可得第二空.【詳解】由題意可知從6人中隨機(jī)選出2人，則這2人來(lái)自同一個(gè)家庭的概率為；而來(lái)自不同家庭的概率為，則游戲成功的概率為.故；13.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______【正確答案】7【分析】利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑，若，則圓心到直線即距離，又由圓心到直線的距離，則有，解可得.故答案為.14.若，且，則的最小值為_(kāi)_____.【正確答案】5【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.【詳解】因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)椋?，則，即，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故5.15.設(shè)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【正確答案】，．【分析】設(shè)，結(jié)合題意可知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，分析時(shí)不符合題意，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的正負(fù)及的正負(fù)即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，即函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)最多有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，，所以，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上無(wú)零點(diǎn)，所以函數(shù)在，上有三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上只有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)，時(shí)，，令，解得或，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有1個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在，上有2個(gè)零點(diǎn)，則，即，所以；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有2個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在，上只有1個(gè)零點(diǎn)，則或或，即無(wú)解．綜上所述，的取值范圍是，．故，．本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.三、解答題（本大題5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為、、，已知，，.（1）求角的大??；（2）求邊；（3）求的值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意由三角恒等變換可得，即可求出；（2）利用余弦定理計(jì)算即可得；（3）利用正弦定理可求得，再由二倍角公式以及兩角和的正弦公式計(jì)算可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋运?，因?yàn)?，所以，所以又，所以；【小?wèn)2詳解】中，由余弦定理及，，，可得，解得.【小問(wèn)3詳解】由正弦定理，可得.因?yàn)?，?因此，.所以17.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面與平面的夾角的大??；（3）求點(diǎn)D到平面的距離．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面與平面夾角的大?。唬?）求出平面的法向量，利用向量法求出點(diǎn)D到平面的距離．【小問(wèn)1詳解】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過(guò)D作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，又，設(shè)平面的法向量，則，取，設(shè)平面與平面夾角的大小為，，所以，所以平面與平面夾角的大小為；【小問(wèn)3詳解】，由（2）知平面的法向量，所以點(diǎn)D到平面的距離．18.已知橢圓：（）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）由題意，，又，求得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，得到韋達(dá)定理，，所以所以，解得.試題解析：（1）聯(lián)立解得，故又，，聯(lián)立三式，解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立方程消元得，，∴，，又是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，∴，即，∴，.∵，∴.當(dāng)時(shí)，，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，滿足題意.19.設(shè)an是等比數(shù)列，bn是遞增的等差數(shù)列，bn的前項(xiàng)和為（），，，，.（1）求數(shù)列an和b（2）將數(shù)列an與數(shù)列bn的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前（3）x表示不超過(guò)的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個(gè)元素，求范圍.【正確答案】（1），（2）（3）【分析】(1)設(shè)出公比和公差，得到方程組，求出公比和公差，求出通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列，根據(jù)(1)可知在新數(shù)列中只有5項(xiàng)，其余45項(xiàng)為數(shù)列中項(xiàng)，分別計(jì)算數(shù)列前五項(xiàng)和與數(shù)列前45項(xiàng)和即可求解；(3)由，即可得，，令由值，可判斷的單調(diào)性，計(jì)算出前五項(xiàng)，即可得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為（），由已知條件得，即，解得.（舍去）或，所以，【小問(wèn)2詳解】數(shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列，，，，，，，新數(shù)列的前項(xiàng)和為：【小問(wèn)3詳解】，其中，所以，，集合，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.計(jì)算可得，，，，，因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，.20.已知函數(shù)，.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，求證.【正確答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，并判斷，并根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論得到取值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（3）首先方程等價(jià)于，并構(gòu)造函數(shù)，注意到1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在0,+∞上有2個(gè)零點(diǎn)，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求的取值范圍，由，判斷，將所證明不等式轉(zhuǎn)化為，再利用，將不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.小問(wèn)1詳解】由函數(shù)，可得f1=0且，則，曲線y=fx在1,f1處的切線方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，等價(jià)于，設(shè)，則，，（?。┊?dāng)，x∈1,+∞時(shí)，，故，在1,+∞上單調(diào)遞增，因此；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令得，.由和得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】由等價(jià)于，令.注意到，，依題意，除了1之外，還有兩個(gè)零點(diǎn)，又由，令（），當(dāng)時(shí)，恒成立，故這時(shí)