中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點練習(xí)考向27 圓的基礎(chǔ)知識 垂徑定理 圓周角和圓心角（含答案詳解）

試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁考向27圓的基礎(chǔ)知識垂徑定理圓周角和圓心角【考點梳理】知識點一：圓的有關(guān)概念1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.（3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角.（6）弦心距：圓心到弦的距離.知識點二：垂徑定理及其推論2.垂徑定理及其推論定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普?1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.延伸根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直徑.只要滿足其中兩個，另外三個結(jié)論一定成立，即推二知三.關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形.知識點三：圓心角、弧、弦的關(guān)系3.圓心角、弧、弦的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．知識點四：圓周角定理及其推論4.圓周角定理及其推論（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.(2)推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.【題型探究】題型一：圓的基本概念1．（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）下列語句：①平分弦的直徑垂直于弦；②三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；③在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；④過平面內(nèi)三點可以作一個圓；⑤經(jīng)過半徑并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；⑥的圓周角所對的弦是直徑；⑦相等的圓心角所對的弧相等．其中正確的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2022·安徽·統(tǒng)考一模）下列說法正確的有（

）①兩個半圓是等?、谥本€a上一點到圓心的距離等于半徑，則a和圓有公共點③過圓心的線段是半徑

④相等的圓心角所對的弧相等⑤一個三角形有唯一的一個外接圓A．5個 B．4個 C．3個 D．2個3．（2021·山東威海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC＝1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（

）A． B． C． D．題型二：垂徑定理4．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖的半徑為3，是弦，點C為弧的中點，若,則弦的長為（

）A． B．3 C． D．5．（2022·浙江杭州·?？寄M預(yù)測）如圖，是的直徑，C是上一點，點D是弧的中點，于點E，交于點F，已知，的半徑為2，則的長為（）A． B． C． D．6．（2022·浙江杭州·?？级＃┤鐖D，的半徑于點C，連接并延長交于點E，連接．若，，則為（

）A． B． C． D．題型三：垂徑定理的推論7．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點，在上，點是的中點，過點畫的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點A是的中點，過點A作⊙O的切線，交BC的延長線于點D，連接AC，EC．若∠ACE=32°，則∠ADB的度數(shù)為（

）A．48° B．52° C．58° D．68°9．（2022·廣東·一模）如圖，是的直徑，，是上的點，且，分別與，相交于點，，有下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤；⑥．其中一定成立的是（

）.A．②④⑤⑥ B．①③④⑤ C．②③④⑥ D．①③⑤⑥題型四：垂徑的實際應(yīng)用10．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個木材，鋸口深寸，鋸道尺（1尺寸），則這根圓柱形木材的直徑是（

）A．12寸 B．13寸C．24寸 D．26寸11．（2023秋·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為4米，半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是（

）A．1米 B．2米 C．米 D．米12．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長為6米，半徑長為4米．若點為運行軌道的最低點，則點到弦所在直線的距離是（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米題型五：弧弦圓周角的關(guān)系13．（2023·陜西西安·西安市慶華中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，的直徑的長為，弦長為，的平分線交于，則長為()A．7 B． C． D．914．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，以為直徑的分別與交于點F，D，點F是的中點，連接交于點E．若．連接，則弦的長為（

）A． B． C．4 D．515．（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，中，，過點A作的平行線交過點C的圓的切線于點D，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．題型六：圓心角和圓周角問題16．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，，為上的兩點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．17．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點A是外一點，連接交于點，連接并延長交于點．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．18．（2023·陜西西安·高新一中?？级＃┤鐖D，是的直徑，是的弦，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．題型七：圓的綜合問題19．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，點，點均在上，連接交于點，，．(1)若，求的長；(2)若記的面積為，的面積為，求的值．20．（2023·湖南衡陽·校考一模）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，，延長到點，使得，連接．(1)求證：；(2)若，，，求的值．21．（2022·浙江杭州·?？寄M預(yù)測）已知的直徑，弦與弦交于點，且，垂足為點F．(1)如圖1，若，求線段的長．(2)如圖2，若，求的正切值．(3)連結(jié)，，，若是的內(nèi)接正邊形的一邊，是的內(nèi)接正邊形的一邊，求的面積．【必刷基礎(chǔ)】一、單選題22．（2022·廣東揭陽·揭陽市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半徑，OC⊥AB交⊙O于點C，則∠AOC等于（）A． B． C． D．23．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°24．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖所示，，，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．25．（2023·全國·九年級習(xí)）是的直徑，弦，則（

）A．π B．2π C． D．4π26．（2022·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，已知中，直徑于點，點在上，且，過點作于點，已知的周長為，且，則的半徑長為（

）A． B． C． D．27．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，，，則的長為（）A． B． C． D．28．（2022·浙江杭州·校考二模）如圖，是半圓O的直徑，D是的中點，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．29．（2023春·九年級課時練習(xí)）有下列說法：①任意三點確定一個圓；②圓的兩條平行弦所夾的弧相等；③任意一個三角形有且僅有一個外接圓；④平分弦的直徑垂直于弦；⑤直徑是圓中最長的弦，其中錯誤的個數(shù)有（）A．個 B．個 C．個 D．個30．（2022·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D，點A、B分別在x軸、y軸上（）；以為直徑的圓經(jīng)過原點O，C是的中點，連結(jié)，．下列結(jié)論：①；②；③若，，則的面積等于5；④若，則點C的坐標(biāo)是，其中正確的結(jié)論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個31．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點，，，在上，且，若，則的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．50°32．（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．33．（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D，且交⊙O于點F，連結(jié)BC，CF，AC．(1)求證：BC＝CF；(2)若，，求BE的長和的值．34．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于，BD為直徑，上點E，滿足，連接BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G，連接CE，．(1)求證：；(2)如圖2，連接CG，．若，求的周長．【必刷培優(yōu)】一、單選題35．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，是⊙O的直徑，C為圓上一點，點D是弧的中點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．36．（2023·山東泰安·校考一模）如圖，等邊的邊長為4，點是邊上的一動點，連接，以為斜邊向上作等腰，連接，則AE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．37．（2023·山東東營·東營市東營區(qū)實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，、是的切線，切點分別為A、B，是的直徑，交于E點，連接交于F，連接交于D點．下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤E是的內(nèi)心；⑥．其中一定成立的有（

）個．A．5 B．4 C．3 D．238．（2023·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，則的半徑為（）A．4 B． C． D．二、填空題39．（2022·廣東云浮·校聯(lián)考三模）如圖，是的弦，半徑于點D，且，，則_____．40．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，的半徑為2，，，則弦的長為___________．41．（2023春·九年級課時練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點是反比例函數(shù)圖像上的一個動點，若以點為圓心，為半徑的圓與直線相交，交點為、，當(dāng)弦的長等于時，點的坐標(biāo)為______．42．（2022·湖北省直轄縣級單位·?？级＃┤鐖D，、是半徑為的上的兩點，若，點是的中點，則四邊形的周長為___________．43．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，為的直徑，點是弧的中點，過點作于點，延長交于點，若，，則的直徑長為______．44．（2023春·河南省直轄縣級單位·九年級專題練習(xí)）如圖，D是以為直徑的半圓O的中點，，E是直徑上一個動點，已知，則圖中陰影部分周長的最小值是___________．45．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考一模）如圖，C、D兩點在半圓O的弦上，點E在半圓O上，且為等邊三角形，已知，，，則劣弧的長為__________．46．（2022·湖北省直轄縣級單位·校考一模）如圖，點A，B，C在上，，，則的半徑為_____．47．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，，，是上與點關(guān)于圓心成中心對稱的點，是邊上一點，連接，，．已知，，是線段上一動點，連接并延長交四邊形的一邊于點，且滿足，則的值為______．48．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，為弦的中點，若，且，則的長是___________．49．（2023·河南·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，．點是上一動點，以為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形，使，連接．(1)若點恰好落在上，則的值為___________；(2)線段的最小值為___________．三、解答題50．（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）已知：兩條弦與相交于點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，直徑于點，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點，若，，求的長．51．（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖1，OA為的半徑，B，C為圓周上的點，連接AB，BC，若．(1)求證：；(2)如圖2，點D在上，連接BD，CD，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，E在上，連接OE，過B作，垂足為H，BF與交于點F，連接AF，DF，若，，，求的面積．52．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，D是的邊上一點，連結(jié)，作的外接圓O，將沿直線折疊，點C的對應(yīng)點E落在上．(1)若，如圖1．①求的度數(shù)．②若，求的度數(shù)．(2)若，如圖2．求的長．參考答案：1．A【分析】根據(jù)圓的相關(guān)知識以及內(nèi)心是角平分線的交點進行逐一判斷即可．【詳解】解：①平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，說法錯誤；②三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點，到三角形各邊的距離相等，說法正確；③在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補，說法錯誤；④過平面內(nèi)不在同一直線上的三點可以作一個圓，說法錯誤；⑤經(jīng)過圓上一點并且垂直于這點與圓心的連線的直線是圓的切線，說法錯誤；⑥的圓周角所對的弦是直徑，說法正確；⑦在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，說法錯誤；故選A．【點睛】本題主要考查了圓的相關(guān)知識，三角形內(nèi)心，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)圓的相關(guān)知識進行逐一判斷即可．【詳解】解：①同圓或等圓中兩個半圓是等弧，故說法錯誤；②直線a上一點到圓心的距離等于半徑，則a和圓有公共點，故說法正確；③過圓心的線段是不一定是半徑，故說法錯誤；④同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故說法錯誤；⑤一個三角形有唯一的一個外接圓，故說法正確；故選：D【點睛】本題主要考查圓的基本知識，熟知圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點C在半徑為1的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點時，OM最小，在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC=1，∴C在⊙B上，且半徑為1，取OD=OA=2，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=CD，當(dāng)OM最大時，即CD最大，而D，B，C三點共線時，當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴BD=2，∴CD=2+1，∴OM=CD=+，即OM的最大值為+；故選：B．【點睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時點C的位置是關(guān)鍵，也是難點．4．D【分析】連接與交于點,根據(jù)垂徑定理的推論可得,然后根據(jù)圓周角定理可得,最后利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接,與交于點點為的中點，在中,故選：D【點睛】此題考查的是垂徑定理的推論、圓周角定理和銳角三角函數(shù)，掌握垂徑定理的推論、圓周角定理和銳角三角函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．5．A【分析】延長交于點G，連接、，先由圓周角定理得，得，由圓周角定理得，勾股定理得，則，再由勾股定理求出，則，設(shè)，則，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：延長交于點G，連接、，如圖所示：∵點D是弧的中點，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵是的直徑，的半徑為2，∴，∴，，∴，∵∴，∴；即：，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，∴，故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、勾股定理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】連接，過C作于Q，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)勾股定理求出的半徑，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可．【詳解】解：連接，過C作于Q，設(shè)的半徑為R，∵，過O，，∴，，由勾股定理得：，即，解得：，即，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，由勾股定理得：，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，三角形的面積，解直角三角形等知識點，能求出的長度是解此題的關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，進而求出∠BAC，根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，進而得出答案．【詳解】解：∵AD是⊙O的切線，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58°，∴∠B=90°-∠ADB=32°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58°，∵點A是的中點，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=32°，故選：D．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，求得∠BAC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥AD，進而得出答案．【詳解】解：∵點A是的中點，∴BA⊥EC，∵∠ACE=32°，∴∠BAC=90°-∠ACE=58°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=32°，∵AD是⊙O的切線，∴BA⊥AD，∴∠ADB=90°-∠B=58°，故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷②；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBC=∠DBC，進而可判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂徑定理的推論可判斷④；根據(jù)結(jié)論④和三角形的中位線性質(zhì)可判斷⑤；由于無法得到兩個三角形的對應(yīng)邊相等，故可判斷⑥．【詳解】解：①是的直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故①一定成立；②△AFO和△CFE中，∵∠AFO=∠CFE=90°，但∠A與∠C不一定相等，∴∠AOC與∠AEC不一定相等，故②不一定成立；③∵OC∥BD，∴∠DBC=∠OCB，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③一定成立；④∵OC∥BD，AD⊥BD，∴OC⊥AD，又OC是半徑，F(xiàn)為垂足，∴AF=DF，故④一定成立；⑤∵AF=DF，OA=OB，∴OF是△ABD的中位線，∴BD=2OF，故⑤一定成立；⑥∵△CEF和△BED中，無法判斷相等的邊，∴△CEF與△BED不一定全等，故⑥不一定成立，綜上，結(jié)論一定成立的是①③④⑤，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理的推論、平行線的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．10．D【分析】延長，交于點，連接，由題意知過點，且，由垂徑定理可得尺寸，設(shè)半徑，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑．【詳解】解：延長，交于點，連接，由題意知過點，且，為半徑，∴尺寸，設(shè)半徑，∵，∴在中，根據(jù)勾股定理可得：解得：，∴木材直徑為26寸；故選：D．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧及勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】連接OC交AB于點E．利用垂徑定理以及勾股定理求出OE，可得結(jié)論．【詳解】解：連接OC交AB于點E．由題意OC⊥AB，∴AE=BE=AB=2（米），在Rt△AEO中，（米），∴CE=OC-OE=（米），故選：C．【點睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．12．B【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點C為的中點，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點到弦所在直線的距離是（4﹣）米，故選：B．【點睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．13．B【分析】連，作于，根據(jù)是直徑，得出，得出，根據(jù)平分，得出，得出，在中得出，進而即可求解．【詳解】解：如圖，連，作于，是直徑，，，，，平分，，，，，，是直徑，，在中，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，角平分線的定義，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14．A【分析】連接，先根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，從而可得，然后利用勾股定理可得的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，為的直徑，，點是的中點，，，，（等腰三角形三線合一），，，，又，，解得或（舍去），，故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的三線合一等知識點，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．15．B【分析】連接OA．由可得出，從而可利用“SSS”證明，即得出，再根據(jù)等腰對等角可得出．由切線的性質(zhì)可得出，從而得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】如圖，連接OA．∵，∴．∵OB=OB，OC=OA，∴(SSS)，∴．∵OB=OC，∴，∵CD為⊙O切線，∴，∴．∵，∴．故選B．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，弧、弦、圓心角的關(guān)系，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．16．A【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角等于，得到，進而得到，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得到，即可得到答案．【詳解】解：連接，如下圖所示，為的直徑，，，，，，故選A．【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，同弧或等弧所對的圓周角相等，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．17．A【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，進而可根據(jù)，可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形可得，根據(jù)圓周角定理即可求得的大?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接是⊙O的直徑四邊形是的內(nèi)接四邊形故選A．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，直徑所對的圓周角相等，直角三角形的兩銳角互余，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．18．C【分析】根據(jù)是的直徑，可得，從而得到，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴．故選：C【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．(1)；(2)．【分析】（1）如圖，連接，證明，，結(jié)合，求解，再利用勾股定理可得答案；（2）過作于，由，設(shè)，可得，，，證明，可得，，，，再利用三角形的面積公式進行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴．（2）過作于，∵，設(shè)，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線，靈活運用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；(2)過點作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，進而求出，根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)正切的定義計算，得到答案．【詳解】（1）∵四邊形內(nèi)接于⊙，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）過點作于，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．(1)(2)(3)【分析】（1）由知，得，根據(jù)知，從而得，即可知，利用可得答案；（2）連接，，由題意易證，則有，設(shè)，則，然后根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)可進行求解；（3）先求出、、所對圓心角的度數(shù)，從而求得、，從而根據(jù)三角形面積公式計算可得．【詳解】（1）解：，，，又，，即，，，，，，，則；（2）解：如圖1，連接，，為直徑，，，，，，∴，∵，，∵，，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，

∴；（3）解：如圖2，是的內(nèi)接正邊形的一邊，是的內(nèi)接正邊形的一邊，、，則，解得：，、，，，，則，．【點睛】本題主要考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角和圓心角定理、中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點．22．D【分析】弦AB等于⊙O的半徑，可得△AOB是等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵弦AB等于⊙O的半徑，∴OA=OB=AB，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∵OC⊥AB，∴．故選：D【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．D【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線的性質(zhì)可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【詳解】如圖：連接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝OD，∴OC＝OB．∵OC⊥AB，∴,∴∠OBC＝30°．∵，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故選D．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．24．C【分析】先求得OA的長，從而求出OC的長即可．【詳解】解：∵，∴OA=，∵，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，∴，∴，∵點C為x軸負半軸上的點，∴C，故選：C．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確AB=AC是解題的關(guān)鍵．25．C【分析】先求出，再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)得，及，然后根據(jù)勾股定理求出，進而得出，同理求出，，最后根據(jù)得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴.∵，過圓心O，，∴，.∴.在中，，∴，根據(jù)勾股定理，得，解得（負數(shù)舍去），∴，同理，，∴，∴.故選：C．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，扇形的面積等，將求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．26．D【分析】設(shè)與交于點G，延長至T，使，連接，可推出，，從而得出點T、B、G、A共圓，從而得出，從而得出是等腰三角形，進而求得，然后在中求得半徑．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點G，延長至T，使，連接，∴，∵，∴，∵直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴點T、B、G、A共圓，∴，∴，∴，∵，∴，∵的周長為，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，確定圓的條件，勾股定理，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線．27．C【分析】連接，過點O作于D，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【詳解】解：連接，過點O作于D，則，由圓周角定理得，，∵，∴，∴，，即，∴(負值已舍)，∴的長，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、弧長的計算、垂徑定理的應(yīng)用，掌握圓周角定理、垂徑定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．28．B【分析】由是半圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得的度數(shù)，繼而求得的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得的度數(shù)，繼而求得答案．【詳解】解：∵是半圓O的直徑，∴，∵，∴，∴，∵D是的中點，∴，∴．故選：B．【點睛】此題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．29．A【分析】根據(jù)圓的確定條件，圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形的外接圓的定義，垂徑定理逐項判斷即可．【詳解】解：不在同一直線上的三點確定一個圓，故①錯誤；圓的兩條平行弦所夾的弧相等，故②正確；任意一個三角形有且僅有一個外接圓，故③正確；平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故④錯誤；直徑是圓中最長的弦，故⑤正確．綜上可知錯誤的個數(shù)有2個．故選A．【點睛】本題考查圓的確定條件、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)知識點，準(zhǔn)確進行判斷．30．A【分析】根據(jù)圓周角定理判斷①，弧、弦、圓心角的關(guān)系判斷②，求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷③，作軸于，軸于，通過構(gòu)造全等三角形，可判斷④．【詳解】解：是直徑，，故①符合題意；是中點，，故②符合題意；，，是等腰直角三角形，，的面積為，故③符合題意；作軸于，軸于，，，，，，，，是正方形，設(shè)正方形的邊長為，，，，點坐標(biāo)為：，故④符合題意，故選：A．【點睛】本題考查圓的有關(guān)知識及三角形全等，關(guān)鍵是綜合運用幾何知識點．31．C【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系得到，則，由此利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，弧與圓心角的關(guān)系，正確求出是解題的關(guān)鍵．32．A【分析】由圓周角定理可求出，結(jié)合題意可求出，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】∵，∴．∵，∴．∵，∴．故選A．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半是解題關(guān)鍵．33．(1)證明見解析(2)；【分析】（1）如圖，連接OC，由題意知OC⊥DE，則，，則，進而可證；（2）在中，由勾股定理得，設(shè)，則，證明，則，即，求出、的值，進而可求、的值，根據(jù)，求正切值即可．（1）證明：如圖，連接OC，∵DE為過點C的切線，∴OC⊥DE，又∵AD⊥CE，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：在中，由勾股定理得，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對等角，弧、弦、圓周角的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正切等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．34．(1)見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，則，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先在中，解直角三角形和勾股定理可得，再根據(jù)可得，從而可得，然后根據(jù)解直角三角形和勾股定理分別求出的長，最后根據(jù)三角形的周長公式即可得．（1）證明：為的直徑，，，，，由圓周角定理得：，，，即，在和中，，，．（2）解：如圖，連接，，設(shè)，則，，解得，，，，即，，由（1）已證：，，，，，，，則的周長為．【點睛】本題考查了圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識點，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．35．C【分析】根據(jù)是⊙O的直徑得到，結(jié)合即可得到，根據(jù)點D是弧的中點即可得答案；【詳解】解：∵是⊙O的直徑，∴，∵，∴，∵點D是弧BC的中點，∴，故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理及直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理．36．B【分析】過點作于點，作射線，可證點，點，點，點四點共圓，可得，則點在的角平分線上運動，即當(dāng)時，的長度有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，作射線，是等邊三角形，，，，點，點，點，點四點共圓，，點在的角平分線上運動，當(dāng)時，的長度有最小值，，，的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，四點共圓，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．37．A【分析】連接，，①根據(jù)、是的切線，即可判斷；②根據(jù)，，可得是的垂直平分線，進而可以判斷；③根據(jù)是的垂直平分線，可得，進而可以判斷；④根據(jù)，，即可判斷；⑤證明，，即可判斷；⑥根據(jù)，可得，進而可以判斷．【詳解】解：如圖，連接，，①、是的切線，，故①正確；②，，是的垂直平分線，，故②正確；③是的垂直平分線，，，平分，故③正確；④是的直徑，，，，，，，故④正確；⑤是的切線，，是的直徑，，，，，，是的內(nèi)心，故⑤正確；⑥，，故⑥錯誤；∴其中一定成立的是①②③④⑤，共5個故選：A．【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了圓周角定理、切線的性質(zhì)、三角形中位線定理、線段垂直平分線的判定，直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及圓周角定理．38．B【分析】連接，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，則有，進而根據(jù)勾股定理可進行求解．【詳解】解：連接，，∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∴，由勾股定理得：，∵，∴，∴的半徑為：．故選：B．【點睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．39．##【分析】如圖，連接，根據(jù)垂徑定理證是等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理和線段的加減運算求得、，最后根據(jù)計算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，是等腰直角三角形，在中，，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及求角的正切值；解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和勾股定理求線段長度．40．【分析】連接，，由圓周角定理知，又因為，，由銳角三角函數(shù)知，所以．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，連接運用垂徑定理，特殊角的三角函數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．41．或【分析】當(dāng)點在直線上方時，作，利用垂徑定理可得，由勾股定理易得，作軸交直線于點，由可得，設(shè)，則，易得，，因為點在反比例函數(shù)圖像上，所以易得可得，易得點的坐標(biāo)，當(dāng)點在直線下方時，利用對稱性可得點的另一坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)點在直線上方時，連接，作，，而，．作軸交直線于點，∵∠,∴，，∴，設(shè)，則，，∵點是反比例函數(shù)圖像上的一個動點，，，（負值舍去），當(dāng)點在直線下方時，由對稱性可知．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點、勾股定理等知識點，正確作出恰當(dāng)?shù)妮o助線、利用勾股定理和垂徑定理解得是解答此題的關(guān)鍵．42．8【分析】連接，證明再證明為等邊三角形，從而可得結(jié)論．【詳解】解：連接．∵點是的中點，∴，∵，∴，∵，∴和都是等邊三角形，∴，所以四邊形的周長等于8．故答案為：8．【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．43．15【分析】根據(jù)點是弧的中點，得到；根據(jù)為的直徑，，得到，從而得到，得到，得到，得到，設(shè)圓的半徑為R，連接，根據(jù)勾股定理，得到，計算2R的值即可．【詳解】如圖，因為點是弧的中點，所以；因為為的直徑，，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)圓的半徑為R，連接，根據(jù)勾股定理，得到，解得．故答案為：15．【點睛】本題考查了垂徑定理及其推論，弧、弦的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．44．【分析】取點C連關(guān)于對稱的點，連接交于點E，當(dāng)D、E、三點在同一直線上時最?。驹斀狻拷猓鹤鲌D如下：取點C連關(guān)于對稱的點，連接交于點E，即為的最小值，過點D作交延長線于F，，，，圖中陰影部分周長的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查的核心原理在于兩點之間的線段最短和垂線段最短，通常在求最值的時候我們會借助于幾何三大變化，軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換進行線段的轉(zhuǎn)移，從而轉(zhuǎn)換成兩大核心原理進行求解．45．【分析】先利用圓周角定理求得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求得，，利用相似三角形的判定證明得到，進而求得、，過O作于F，利用垂徑定理和銳角三角函數(shù)值求得，然后利用弧長公式求解即可．【詳解】解：連接、，∵，，∴，，∵為等邊三角形，，∴，∴，，，∴，∴，∴，又，∴，則，∴，過O作于F，則，，在中，，∴，∴劣弧的長為，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用相似三角形的性質(zhì)求解線段長是解答的關(guān)鍵．46．【分析】過點A作交的延長線于點E，連接，先求出，則，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，則，利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】解：過點A作交的延長線于點E，連接．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．47．1或【分析】先根據(jù)圓周角定理和對稱性質(zhì)證明四邊形是正方形，得到，，根據(jù)題意，分點R在線段上和點R在線段上兩種情況，利用全等三角形的判定與性質(zhì)分別求解即可．【詳解】解：∵內(nèi)接于，，∴是的直徑，∵是上與點關(guān)于圓心成中心對稱的點，∴，，又，∴，∴四邊形是菱形，又，∴四邊形是正方形，∴，．當(dāng)點R在線段上時，如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴；當(dāng)點R在線段上時，如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上，滿足條件的的值為1或．【點睛】本題考查圓周角定理、對稱性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理和正方形的判定與性質(zhì)，證得四邊形是正方形，利用分類討論思想結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和等面積法求解是解答的關(guān)鍵．48．4【分析】先由垂徑定理的推論得出，從而得，再由圓周角定理得出，然后由直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵為的直徑，為弦的中點，∴，∴，∵，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理的推論，圓周角定理，含量30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題詞的關(guān)鍵．49．

##【分析】（1）若點恰好落在上時，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得出，繼而求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，即可求解；（2）以為斜邊在右側(cè)作等腰直角三角形，邊與交于點，連接延