2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.2函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版必修第一冊(cè)

第三章函數(shù)3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.如圖所示的四個(gè)函數(shù)圖像,在區(qū)間(-∞,0)內(nèi),函數(shù)fi(x)(i=1,2,3,4)中有零點(diǎn)的是()A.f1(x) B.f2(x) C.f3(x) D.f4(x)解析由函數(shù)圖像可知,f2(x)在(-∞,0)內(nèi)與x軸有交點(diǎn),故f2(x)在(-∞,0)內(nèi)有零點(diǎn).答案B2.(多選題)函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能是()A.0,52 B.52C.1,74解析由于f(0)<0,f(-2)<0,f(4)>0,f(1)<0,f52>0,f74所以零點(diǎn)在區(qū)間74,52,0,5答案AD3.已知函數(shù)f(x)與g(x)滿意的關(guān)系為f(x)-g(x)=-x-3,依據(jù)所給數(shù)表,推斷f(x)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為()x-10123g(x)0.3712.727.3920.39A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3]答案C4.函數(shù)f(x)是[-1,1]上的增函數(shù),且f-12·f12<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[-A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根 B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C.有唯一的實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根解析∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),且f-12·f12<0,∴f(x)=0在-12,12上有唯一實(shí)根,∴f答案C5.若函數(shù)f(x)在定義域{x|x≠0}內(nèi)是偶函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),f(2)=0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有()A.一個(gè) B.兩個(gè)C.至少兩個(gè) D.無(wú)法推斷解析∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),f(2)=0,∴f(x)在(0,+∞)內(nèi)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),又∵f(x)在定義域{x|x≠0}上是偶函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)內(nèi)的圖像與x軸也只有一個(gè)交點(diǎn),即f(-2)=0.故選B.答案B6.設(shè)a<-1,則關(guān)于x的不等式a(x-a)x-1a<0的解集為.

解析因?yàn)閍<-1,所以a(x-a)x-1a<0?(x-a)x-1a>0.又a<-1,所以1a>a所以原不等式的解集是xx答案x7.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x-3-2-101234f(x)60-4-6-6-406則不等式ax2+bx+c>0的解集是.

解析由題表可知f(-2)=f(3)=0,且當(dāng)x∈(-2,3)時(shí),f(x)<0,所以當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(3,+∞)時(shí),ax2+bx+c>0.答案{x|x<-2或x>3}8.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0一根大于1,另一根小于1,求k的取值范圍.解設(shè)f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.∵f(x)=0的一根大于1,另一根小于1,且函數(shù)圖像開口向上,∴f(1)<0,即3k-2<0.∴k<23,即k的取值范圍是-∞,23.9.在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里,從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障,這是一條10km長(zhǎng)的線路,問(wèn)如何快速查出故障所在?假如沿著線路一小段一小段查找,困難許多,每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿,10km長(zhǎng),大約有200多根電線桿.想一想,修理線路的工人師傅怎樣工作最合理?解可以利用二分法的原理進(jìn)行查找.如圖所示,他首先從中點(diǎn)C查,用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí),發(fā)覺(jué)AC段正常,斷定故障在BC段,再到BC段中點(diǎn)D查,這次發(fā)覺(jué)BD段正常,可見(jiàn)故障在CD段,再到CD中點(diǎn)E來(lái)查.這樣每查一次,就可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半,故經(jīng)過(guò)7次查找,即可將故障發(fā)生的范圍縮小到50m~100m之間,即一、二根電線桿旁邊.實(shí)力提升練1.(多選題)(2024山東高一期末)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)的最小值為-4B.函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù)D.若方程f(|x-1|)=a在R上有4個(gè)不等實(shí)根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=4解析f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,最小值為-4,所以選項(xiàng)A正確;f(x)的對(duì)稱軸為x=1,單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),所以選項(xiàng)B不正確;令g(x)=f(|x|)=x2-2|x|-3,g(-x)=x2-2|x|-3=g(x),所以g(x)為偶函數(shù),所以選項(xiàng)C正確;令h(x)=f(|x-1|)=(x-1)2-2|x-1|-3,f(|x-1|)=a零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=h(x)與y=a的交點(diǎn),作出h(x)圖像如圖所示:圖像關(guān)于x=1對(duì)稱,當(dāng)y=h(x)與y=a有四個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩兩分別關(guān)于x=1對(duì)稱,所以x1+x2+x3+x4=4,所以選項(xiàng)D正確.故選ACD.答案ACD2.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解,則a的取值范圍是()A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.(-1,1) D.[0,1)解析令f(x)=2ax2-x-1.當(dāng)a=0時(shí),不符合題意;當(dāng)a≠0時(shí),若Δ=0,即a=-18,此時(shí)x=-2,不符合題意;若Δ>0,即a>-18,則有f(0)·f(1)=-1×(2a-2)<0,所以a>答案B3.函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖所示,則()A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c<0C.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b<0,c<0解析圖像經(jīng)過(guò)(0,0),(-2,0),(1,0)三個(gè)點(diǎn).由圖像過(guò)原點(diǎn)(0,0),知d=0.由圖像過(guò)另外兩點(diǎn),可知f(x)=ax(x+2)(x-1),即f(x)=ax3+ax2-2ax.又由圖像,得f(2)=2a(2+2)×(2-1)>0,可得a>0.又f(x)=ax3+bx2+cx+d,所以b=a>0,c=-2a<0.綜上可知a>0,b>0,c<0.答案B4.在R上定義運(yùn)算☉:A☉B(tài)=A(1-B),若不等式(x-a)☉(x+a)<1對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(-1,1) B.(0,2)C.-12,32 D.-3解析∵(x-a)☉(x+a)=(x-a)(1-x-a),∴不等式(x-a)☉(x+a)<1,即(x-a)(1-x-a)<1對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立,即x2-x-a2+a+1>0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-12<a<32答案C5.(2024陜西西安高新一中模擬)函數(shù)f(x)=x2-1x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A.0 B.1 C.2 D.3解析令f(x)=0得x2-1x+1=0,∴x2+1=1x,作出函數(shù)y=x2+1與y=1答案B6.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一個(gè)近似解時(shí),現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)上,則下一步可判定該根所在區(qū)間為.

解析令函數(shù)f(x)=x3-2x-1,則可得f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0,又f32=323-2×32-1答案37.定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為12,求f(x2-x)<0的解集解∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x)=f(|x|),又函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為12,∴f12=由f(x)在[0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),得f(x2-x)=f(|x2-x|)<0=f12,可化為|x2-x|>12,解得x<1-3∴f(x2-x)<0的解集為xx8.已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零點(diǎn).(1)求m的范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn),且其倒數(shù)之和為-4,求m的值.解(1)當(dāng)m+6=0,即m=-6時(shí),函數(shù)為y=-14x-5明顯有零點(diǎn),當(dāng)m+6≠0,即m≠-6時(shí),∵由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0,得m≤-59∴當(dāng)m≤-59,且m≠-6時(shí),二次函數(shù)有零點(diǎn)綜上,m的取值范圍為-∞,-59.(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),則有x1+x2=-2(m-1)m+6,∵1x1+1x∴-2(m-1)當(dāng)m=-3時(shí),m+6≠0,Δ>0符合題意,∴m的值為-3.素養(yǎng)培優(yōu)練已知函數(shù)f(x)=2x2-8x+m+3為R上的連續(xù)函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若m=-4,推斷f(x)在(-1,1)上是否存在零點(diǎn)?若存在,請(qǐng)?jiān)诰_度為0.2的條件下,用二分法求出這個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)易知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,∵f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),∴f∴-13≤m≤3,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-13,3].(2)存在.當(dāng)m=-4時(shí),f(x)=2x2-8x-1,易求出f(-1)=9,f(1)=-7.∵f(-1)·f(1)<0,f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)在(-1,1)上存在唯一零點(diǎn)x0.∵f(0)=-1<0,