2024-2025學年高中數(shù)學第二章平面解析幾何初步2.2.1直線方程的概念與直線的斜率學案新人教B版必修2

PAGEPAGE12．2．1直線方程的概念與直線的斜率1．了解直線的方程與方程的直線的概念．2．理解直線的傾斜角和斜率的概念．3．駕馭過兩點的直線斜率的計算公式．1．直線的方程與方程的直線的概念假如以一個方程的解為坐標的點都在某條直線上，且這條直線上點的坐標都是這個方程的解，那么這個方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線．2．直線的傾斜角與斜率名稱斜率傾斜角定義直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角關(guān)系當k＝0時，直線與x軸平行或重合當k>0時，傾斜角為銳角當k<0時，傾斜角為鈍角特殊地，當傾斜角為直角時，斜率k不存在3．斜率的計算公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，令Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則斜率的計算公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(Δy,Δx)(x1≠x2)．1．若直線x＝1的傾斜角為α，則α()A．等于0° B．等于45°C．等于90° D．不存在答案：C2．直線l經(jīng)過原點和(－1，2)，則直線l的斜率等于．解析：k＝eq\f(2－0,－1－0)＝－2．答案：－23．過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1＝x2的直線的傾斜角和斜率怎樣？解：此時，傾斜角為90°，斜率不存在．直線的傾斜角(1)設(shè)直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，假如將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當0°≤α<135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾斜角為α－135°(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為．【解析】(1)因為0°≤α<180°，明顯A，B，C未分類探討，均不全面，不合題意，通過畫圖(如圖所示)可知：當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．故選D．(2)設(shè)直線l2的傾斜角為α2，因為l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．【答案】(1)D(2)135°eq\a\vs4\al()分類探討思想——求直線的傾斜角(1)求直線的傾斜角主要依據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要依據(jù)狀況分類探討．(2)結(jié)合圖形求角時，應(yīng)留意平面幾何學問的應(yīng)用，如三角形內(nèi)角和定理及其有關(guān)推論．一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為()A．α B．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α解析：選D．如圖，當l向上方向的部分在y軸左側(cè)時，傾斜角為90°＋α；當l向上方向的部分在y軸右側(cè)時，傾斜角為90°－α．故選D．求直線的斜率已知直線l經(jīng)過兩點A(2，－1)，B(t，4)，求直線l的斜率．【解】(1)當t＝2時，x1＝x2＝2，直線l與x軸垂直，所以直線l的斜率不存在．(2)當t≠2時，直線l的斜率k＝eq\f(4－(－1),t－2)＝eq\f(5,t－2)．綜上所述，當t＝2時，斜率不存在；當t≠2時，k＝eq\f(5,t－2)．eq\a\vs4\al()應(yīng)用斜率公式求斜率應(yīng)留意的問題(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后依次無關(guān)，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置．1．過點P(－2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，則m的值為．解析：由斜率公式k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1．答案：12．已知過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135°，則y＝．解析：直線AB的斜率k＝tan135°＝－1，又k＝eq\f(－3－y,2－4)，由eq\f(－3－y,2－4)＝－1，得y＝－5．答案：－5三點共線問題求證：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三點共線．【證明】因為A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，所以kAB＝eq\f(－7－(－1),－2－1)＝2，kAC＝eq\f(－3－(－1),0－1)＝2．所以kAB＝kAC．因為直線AB與直線AC的傾斜角相同且過同一點A，所以直線AB與直線AC為同始終線．故A，B，C三點共線．eq\a\vs4\al()用斜率公式解決三點共線問題時，首先要估測三點中是否隨意兩點的連線垂直于x軸．當隨意兩點的連線垂直于x軸，且過同一點時，三點共線．否則，直線的斜率存在，只要證明過同一點的兩直線的斜率相等即可．假如三點A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一條直線上，求m的值．解：kAB＝eq\f(m－1,－2－2)＝eq\f(1－m,4)，kAC＝eq\f(8－1,6－2)＝eq\f(7,4)，因為A、B、C三點共線，所以kAB＝kAC，即eq\f(1－m,4)＝eq\f(7,4)，所以m＝－6．1．理解直線的傾斜角應(yīng)弄清的幾個問題(1)傾斜角定義中含有三個條件：①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負角．(2)從運動改變的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角．(3)直線的傾斜角α的取值范圍是：0°≤α＜180°．2．求直線傾斜角的方法(1)定義法：依據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角．(2)分類法：依據(jù)題意把傾斜角α分為以下四類探討：α＝0°，0°<α<90°，α＝90°，90°<α<180°．3．對斜率公式的相識(1)斜率公式從數(shù)的角度分析了直線的傾斜程度，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法刻畫幾何圖形的思想．因此，以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標干脆求得；(2)斜率公式與P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的先后依次無關(guān)，即x1與x2，y1與y2可以同時互換位置，但分子分母不行以互換．(3)利用斜率公式計算斜率比先求直線的傾斜角再求直線的斜率更便利．任始終線均有傾斜角α，α∈[0°，180°)，但并不是全部的直線都有斜率．當α＝90°時，斜率不存在．有關(guān)斜率的問題要分斜率不存在和斜率存在兩種狀況探討．1．直線l過點M(－eq\r(3)，eq\r(2))，N(－eq\r(2)，eq\r(3))，則l的斜率為()A．eq\f(\r(6),2) B．1C．eq\f(\r(6),3) D．eq\r(6)解析：選B．l的斜率為eq\f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－(－\r(3)))＝1．2．對于下列命題①若θ是直線l的傾斜角，則0°≤θ<180°；②若k是直線的斜率，則k∈R；③任一條直線都有傾斜角，但不肯定都有斜率；④任一條直線都有斜率，但不肯定都有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案：C3．a(chǎn)、b、c是兩兩不等的實數(shù)，則經(jīng)過P(b，b＋c)、C(a，c＋a)的直線的傾斜角為．解析：因為k＝eq\f(b＋c－(a＋c),b－a)＝1，所以傾斜角為45°．答案：45°4．如圖，設(shè)直線AB，BC，CD的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為．答案：k1<k2<k3[學生用書P109(單獨成冊)])[A基礎(chǔ)達標]1．關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說法正確的是()A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大B．平行于x軸的直線的傾斜角為0°或180°C．若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率k＝tanαD．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)答案：D2．直線l過(m，n)，(n，m)兩點，其中m≠n，mn≠0，則()A．l與x軸垂直B．l與y軸垂直C．l的傾斜角為45°D．l的傾斜角為135°解析：選D．由斜率公式可得k＝eq\f(m－n,n－m)＝－1，即tanα＝－1，所以α＝135°．故選D．3．若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2解析：選D．由題圖可知k1<0，k2>0，k3>0，又由當傾斜角為銳角時，傾斜角越大，斜率越大，得k2>k3，所以k1<k3<k2．4．經(jīng)過兩點A(2，1)，B(1，m)的直線的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是()A．m<1 B．m>－1C．－1<m<1 D．m>1或m<－1解析：選A．kAB＝eq\f(m－1,1－2)＝1－m，因為直線AB的傾斜角為銳角，所以kAB>0，即1－m>0，所以m<1．5．在平面直角坐標系中，正三角形ABC的邊BC所在直線的斜率是0，則AC，AB所在直線的斜率之和為()A．－2eq\r(3) B．0C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：選B．易知kAB＝eq\r(3)，kAC＝－eq\r(3)，所以kAB＋kAC＝0．6．已知三點A(－3，－1)，B(0，2)，C(m，4)在同始終線上，則實數(shù)m的值為．解析：因為A、B、C三點在同始終線上，所以kAB＝kBC，所以eq\f(2－(－1),0－(－3))＝eq\f(4－2,m－0)，所以m＝2．答案：27．已知O(O為坐標原點)是等腰直角三角形OAB的直角頂點，點A在第一象限，∠AOy＝15°，則斜邊AB的斜率為．解析：如圖，設(shè)直線AB與x軸的交點為C，則∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°．所以kAB＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)．答案：eq\f(\r(3),3)8．已知點A(2，－1)，若在坐標軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為45°，則點P的坐標為．解析：設(shè)x軸上點P(m，0)或y軸上點P(0，n)．由kPA＝1，得eq\f(0＋1,m－2)＝eq\f(n＋1,0－2)＝1，得m＝3，n＝－3．故點P的坐標為(3，0)或(0，－3)．答案：(3，0)或(0，－3)9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值．解：由題意直線AC的斜率存在，即m≠－1．所以kAC＝eq\f((－m＋3)－4,m＋1)，kBC＝eq\f((m－1)－4,2－(－1))．所以eq\f((－m＋3)－4,m＋1)＝3·eq\f((m－1)－4,2－(－1))．整理得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，所以m＝4或m＝－1(舍去)．所以m＝4．10．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段BC上(包括端點)移動時，求直線AD的斜率的改變范圍．解：(1)由斜率公式可得：直線AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7)，直線AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3)．(2)如圖，當點D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的改變范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3)))．[B實力提升]11．已知直線l經(jīng)過點A(1，2)，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率k的取值范圍是()A．(－1，0] B．[0，1]C．[1，2] D．[0，2]解析：選D．由圖，可知當直線位于如圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時，滿意題意，所以直線l的斜率滿意0≤k≤2．故選D．12．已知函數(shù)f(x)＝log3(x＋2)，若a>b>c>0，則eq\f(f(a),a)，eq\f(f(b),b)，eq\f(f(c),c)的大小關(guān)系為()A．eq\f(f(a),a)>eq\f(f(b),b)>eq\f(f(c),c) B．eq\f(f(a),a)<eq\f(f(b),b)<eq\f(f(c),c)C．eq\f(f(b),b)>eq\f(f(a),a)>eq\f(f(c),c) D．eq\f(f(a),a)<eq\f(f(c),c)<eq\f(f(b),b)解析：選B．作出函數(shù)f(x)＝log3(x＋2)的大致圖象，如圖所示．由圖象可知曲線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小，因為a>b>c>0，所以eq\f(f(a),a)<eq\f(f(b),b)<eq\f(f(c),c)，故選B．13．若直線l沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來的位置，求直線l的斜率．解：設(shè)P(a，b)為l上任一點，經(jīng)過平移后，點P到達點Q(a－3，b＋1)，此時直線PQ與